Decimal de repetição - Repeating decimal

Um decimal repetido ou decimal recorrente é a representação decimal de um número cujos dígitos são periódicos (repetindo seus valores em intervalos regulares) e a parte repetida infinitamente não é zero . Pode-se mostrar que um número é racional se e somente se sua representação decimal está se repetindo ou terminando (ou seja, todos, exceto finitamente muitos dígitos, são zero). Por exemplo, a representação decimal de1/3torna-se periódico logo após o ponto decimal , repetindo o único dígito "3" para sempre, ou seja, 0,333 .... Um exemplo mais complicado é3227/555, cujo decimal torna-se periódico no segundo dígito após o ponto decimal e então repete a sequência "144" para sempre, ou seja, 5,8144144144 .... No momento, não há uma notação ou frase aceita universalmente para a repetição de decimais.

A seqüência de dígitos infinitamente repetida é chamada de repetição ou repetição . Se o repetido for zero, essa representação decimal é chamada de decimal de terminação em vez de decimal de repetição, uma vez que os zeros podem ser omitidos e o decimal termina antes desses zeros. Cada representação decimal final pode ser escrita como uma fração decimal , uma fração cujo denominador é uma potência de 10 (por exemplo, 1,585 =1585/1000); também pode ser escrito como uma proporção da formak/2 ⁿ 5 ^m(por exemplo, 1.585 =317/2 ³ 5 ²) No entanto, todo número com uma representação decimal final também tem trivialmente uma segunda representação alternativa como um decimal repetido cujo repetido é o dígito 9 . Isso é obtido diminuindo o dígito diferente de zero final (mais à direita) em um e acrescentando uma repetição de 9. 1.000 ... = 0,999 ... e 1,585000 ... = 1,584999 ... são dois exemplos disso. (Este tipo de decimal repetido pode ser obtido por divisão longa se usarmos uma forma modificada do algoritmo de divisão usual .)

Qualquer número que não possa ser expresso como uma proporção de dois inteiros é considerado irracional . Sua representação decimal não termina nem se repete infinitamente, mas se estende para sempre sem repetição regular. Exemplos de tais números irracionais são a raiz quadrada de 2 e π .

Fundo

Notação

Existem várias convenções de notação para representar decimais repetidos. Nenhum deles é aceito universalmente.

• Nos Estados Unidos , Canadá , Índia , França , Alemanha , Suíça , Tcheca e Eslováquia, a convenção é traçar uma linha horizontal (um vínculo ) acima da repetição. (Veja exemplos na tabela abaixo, coluna Vinculum.)
• No Reino Unido , Nova Zelândia , Austrália , Índia, Coréia do Sul e China continental , a convenção é colocar os pontos acima dos algarismos externos da repetição. (Veja exemplos na tabela abaixo, coluna Pontos.)
• Em partes da Europa , Vietnã e Rússia , a convenção é colocar a repetição entre parênteses . (Veja exemplos na tabela abaixo, coluna Parênteses.) Isso pode causar confusão com a notação para incerteza padrão .
• Na Espanha e em alguns países da América Latina, a notação de arco sobre a repetição também é usada como uma alternativa para a notação de vinculo e de pontos. (Veja exemplos na tabela abaixo, coluna Arc.)
• Informalmente, os decimais repetidos são frequentemente representados por reticências (três pontos, 0,333 ...), especialmente quando as convenções de notação anteriores são ensinadas pela primeira vez na escola. Essa notação introduz incerteza quanto a quais dígitos devem ser repetidos e até mesmo se a repetição está ocorrendo, uma vez que tais elipses também são empregadas para números irracionais ; π , por exemplo, pode ser representado como 3,14159 ....

Exemplos

Fração	Vinculum	Pontos	Parênteses	Arco	Elipse
1/9	0. 1	${\ displaystyle 0. {\ dot {1}}}$	0. (1)	${\ displaystyle 0. {\ overset {\ frown} {1}}}$	0,111 ...
1/3 = 3/9	0. 3	${\ displaystyle 0. {\ dot {3}}}$	0. (3)	${\ displaystyle 0. {\ overset {\ frown} {3}}}$	0,333 ...
2/3 = 6/9	0. 6	${\ displaystyle 0. {\ dot {6}}}$	0. (6)	${\ displaystyle 0. {\ overset {\ frown} {6}}}$	0,666 ...
9/11 = 81/99	0. 81	${\ displaystyle 0. {\ dot {8}} {\ dot {1}}}$	0. (81)	${\ displaystyle 0. {\ overset {\ frown} {81}}}$	0,8181 ...
7/12 = 525/900	0,58 3	${\ displaystyle 0,58 {\ dot {3}}}$	0,58 (3)	${\ displaystyle 0,58 {\ overset {\ frown} {3}}}$	0,58 333 ...
1/7 = 142857/999999	0. 142857	${\ displaystyle 0. {\ dot {1}} 4285 {\ dot {7}}}$	0. (142857)		0,142857 142857 ...
1/81 = 12345679/999999999	0. 012345679	${\ displaystyle 0. {\ dot {0}} 1234567 {\ dot {9}}}$	0. (012345679)		0.012345679 012345679 ...
22/7 = 3142854/999999	3. 142857	${\ displaystyle 3. {\ dot {1}} 4285 {\ dot {7}}}$	3. (142857)		3,142857 142857 ...

Em inglês, existem várias maneiras de ler decimais repetidos em voz alta. Por exemplo, 1,2 34 pode ser lido "um ponto dois repetindo três quatro", "um ponto dois repetido três quatro", "um ponto dois recorrentes três quatro", "um ponto dois repetindo três quatro" ou "um ponto dois no infinito três quatro".

Expansão decimal e sequência de recorrência

Para converter um número racional representado como uma fração na forma decimal, pode-se usar a divisão longa . Por exemplo, considere o número racional5/74:

        0.0675
   74 ) 5.00000
        4.44
          560
          518
           420
           370
            500

etc. Observe que a cada passo temos um resto; os sucessivos remanescentes exibidos acima são 56, 42, 50. Quando chegamos a 50 como o restante e baixamos o "0", nos encontramos dividindo 500 por 74, que é o mesmo problema com o qual começamos. Portanto, o decimal se repete: 0,0675 675 675 .....

Cada número racional é um decimal final ou repetido

Para qualquer divisor dado, apenas muitos restos diferentes podem ocorrer. No exemplo acima, os 74 possíveis restos são 0, 1, 2, ..., 73. Se em qualquer ponto da divisão o resto for 0, a expansão termina nesse ponto. Então, a duração da repetição, também chamada de “período”, é definida como 0.

Se 0 nunca ocorrer como um resto, então o processo de divisão continua para sempre e, eventualmente, um resto deve ocorrer, o que ocorreu antes. A próxima etapa da divisão produzirá o mesmo novo dígito no quociente e o mesmo novo resto, pois da vez anterior o resto era o mesmo. Portanto, a seguinte divisão repetirá os mesmos resultados. A seqüência de repetição de dígitos é chamada de “repetição” que tem um certo comprimento maior que 0, também chamado de “período”.

Cada repetição ou terminação decimal é um número racional

Cada número decimal repetido satisfaz uma equação linear com coeficientes inteiros e sua solução única é um número racional. Para ilustrar o último ponto, o número α = 5,8144144144 ... acima satisfaz a equação 10000 α - 10 α = 58144,144144 ... - 58,144144 ... = 58086 , cuja solução é α =58086/9990 = 3227/555. O processo de como encontrar esses coeficientes inteiros é descrito abaixo .

Tabela de valores

Assim, a fração é a fração unitária 1/ne ℓ ₁₀ é o comprimento da repetição (decimal).

Os comprimentos das repetições de 1/n, n = 1, 2, 3, ..., são:

0, 0, 1, 0, 0, 1, 6, 0, 1, 0, 2, 1, 6, 6, 1, 0, 16, 1, 18, 0, 6, 2, 22, 1, 0, 6, 3, 6, 28, 1, 15, 0, 2, 16, 6, 1, 3, 18, 6, 0, 5, 6, 21, 2, 1, 22, 46, 1, 42, 0, 16, 6, 13, 3, 2, 6, 18, 28, 58, 1, 60, 15, 6, 0, 6, 2, 33, 16, 22, 6, 35, 1, 8, 3, 1, ... (sequência A051626 no OEIS ).

As repetições de 1/n, n = 1, 2, 3, ..., são:

0, 0, 3, 0, 0, 6, 142857, 0, 1, 0, 09, 3, 076923, 714285, 6, 0, 0588235294117647, 5, 052631578947368421, 0, 047619, 45, 0434782608695652173913, 6, 0, 384615, 037, 571428, 0344827586206896551724137931, 3, ... (sequência A036275 no OEIS ).

Os comprimentos repetidos de 1/p, p = 2, 3, 5, ... ( n- ésimo), são:

0, 1, 0, 6, 2, 6, 16, 18, 22, 28, 15, 3, 5, 21, 46, 13, 58, 60, 33, 35, 8, 13, 41, 44, 96, 4, 34, 53, 108, 112, 42, 130, 8, 46, 148, 75, 78, 81, 166, 43, 178, 180, 95, 192, 98, 99, 30, 222, 113, 228, 232, 7, 30, 50, 256, 262, 268, 5, 69, 28, ... (sequência A002371 no OEIS ).

Os menos primos p para os quais1/ptem comprimento repetido n , n = 1, 2, 3, ..., são:

3, 11, 37, 101, 41, 7, 239, 73, 333667, 9091, 21649, 9901, 53, 909091, 31, 17, 2071723, 19, 1111111111111111111, 3541, 43, 23, 1111111111111111111111111, 99990001, 21401, 859, 757, 29, 3191, 211, ... (sequência A007138 no OEIS ).

Os menos primos p para os quaisk/ptem n ciclos diferentes ( 1 ≤ k ≤ p −1 ), n = 1, 2, 3, ..., são:

7, 3, 103, 53, 11, 79, 211, 41, 73, 281, 353, 37, 2393, 449, 3061, 1889, 137, 2467, 16189, 641, 3109, 4973, 11087, 1321, 101, 7151, 7669, 757, 38629, 1231, ... (sequência A054471 no OEIS ).

Para comparação, os comprimentos das repetições das frações binárias 1/n, n = 1, 2, 3, ..., são:

1, 2, 1, 4, 2, 3, 1, 6, 4, 10, 2, 12, 3, 4, 1, 8, 6, 18, 4, 6, 10, 11, 2, 20, 12, 18, 3, 28, 4, 5, 1, 10, 8, 12, 6, 36, 18, 12, 4, 20, 6, 14, 10, 12, 11, ... (sequência A007733 no OEIS ) .

Frações com denominadores principais

Uma fração em termos mais baixos com um denominador primo diferente de 2 ou 5 (ou seja, coprime para 10) sempre produz um decimal repetido. O comprimento da repetição (período do segmento decimal de repetição) de1/pé igual à ordem de 10 módulo p . Se 10 é uma raiz primitiva do módulo p , o comprimento repetido é igual a p  - 1; se não, o comprimento repetido é um fator de p  - 1. Esse resultado pode ser deduzido do pequeno teorema de Fermat , que afirma que 10 ^{p −1} ≡ 1 (mod p ) .

A repetição de base 10 do recíproco de qualquer número primo maior que 5 é divisível por 9.

Se o comprimento repetido de 1/ppara o primo p é igual a p  - 1, então a repetição, expressa como um inteiro, é chamada de número cíclico .

Números cíclicos

Exemplos de frações pertencentes a este grupo são:

• 1/7= 0. 142857 , 6 dígitos repetidos
• 1/17= 0. 0588235294117647 , 16 dígitos repetidos
• 1/19= 0. 052631578947368421 , 18 dígitos repetidos
• 1/23= 0. 0434782608695652173913 , 22 dígitos repetidos
• 1/29= 0. 0344827586206896551724137931 , 28 dígitos repetidos
• 1/47= 0. 0212765957446808510638297872340425531914893617 , 46 dígitos repetidos
• 1/59= 0. 0169491525423728813559322033898305084745762711864406779661 , 58 dígitos repetidos
• 1/61= 0. 016393442622950819672131147540983606557377049180327868852459 , 60 dígitos repetidos
• 1/97= 0. 010309278350515463917525773195876288659793814432989690721649484536082474226804123711340206185567 , 96 dígitos repetidos

A lista pode continuar incluindo as frações 1/109, 1/113, 1/131, 1/149, 1/167, 1/179, 1/181, 1/193, etc. (sequência A001913 no OEIS ).

Cada múltiplo adequado de um número cíclico (ou seja, um múltiplo com o mesmo número de dígitos) é uma rotação:

• 1/7 = 1 × 0,142857 ... = 0,142857 ...
• 2/7 = 2 × 0,142857 ... = 0,285714 ...
• 3/7 = 3 × 0,142857 ... = 0,428571 ...
• 4/7 = 4 × 0,142857 ... = 0,571428 ...
• 5/7 = 5 × 0,142857 ... = 0,714285 ...
• 6/7 = 6 × 0,142857 ... = 0,857142 ...

A razão para o comportamento cíclico é aparente a partir de um exercício aritmético de longa divisão de 1/7: os restos sequenciais são a sequência cíclica {1, 3, 2, 6, 4, 5} . Consulte também o artigo 142.857 para obter mais propriedades desse número cíclico.

Uma fração que é cíclica, portanto, tem um decimal recorrente de comprimento par que se divide em duas sequências na forma de complemento de noves . Por exemplo1/7 começa '142' e é seguido por '857' enquanto 6/7(por rotação) começa '857' seguido por seu complemento de noves '142'.

Um primo próprio é um primo p que termina no dígito 1 na base 10 e cujo recíproco na base 10 tem uma repetição com comprimento p  - 1. Nesses primos, cada dígito 0, 1, ..., 9 aparece na repetição seqüência o mesmo número de vezes que cada um dos outros dígitos (ou seja,p  - 1/10vezes). Eles são:

61, 131, 181, 461, 491, 541, 571, 701, 811, 821, 941, 971, 1021, 1051, 1091, 1171, 1181, 1291, 1301, 1349, 1381, 1531, 1571, 1621, 1741, 1811, 1829, 1861, ... (sequência A073761 no OEIS ).

Um primo é um primo próprio se e somente se for um primo reptendo completo e congruente com 1 mod 10.

Se um primo p é tanto cheia nobre reptend e nobre seguro , em seguida,1/pirá produzir um fluxo de p  - 1 dígitos pseudo-aleatórios . Esses primos são

7, 23, 47, 59, 167, 179, 263, 383, 503, 863, 887, 983, 1019, 1367, 1487, 1619, 1823, ... (sequência A000353 no OEIS ).

Outros recíprocos de primos

Alguns recíprocos de primos que não geram números cíclicos são:

• 1/3= 0. 3 , que tem um período (duração repetida) de 1.
• 1/11= 0. 09 , que tem um período de 2.
• 1/13= 0 , 076923 , que tem um período de 6.
• 1/31= 0. 032258064516129 , que tem um período de 15.
• 1/37= 0,027 , que tem um período de 3.
• 1/41= 0,02439 , que tem um período de 5.
• 1/43= 0. 023255813953488372093 , que tem um período de 21.
• 1/53= 0. 0188679245283 , que tem um período de 13.
• 1/67= 0. 014925373134328358208955223880597 , que tem um período de 33.

(sequência A006559 no OEIS )

A razão é que 3 é um divisor de 9, 11 é um divisor de 99, 41 é um divisor de 99999, etc. Para encontrar o período de 1/p, podemos verificar se o primo p divide algum número 999 ... 999 no qual o número de dígitos divide p  - 1. Como o período nunca é maior que p  - 1, podemos obter isso calculando10 ^{p −1} - 1/p. Por exemplo, por 11, obtemos

${\ displaystyle {\ frac {10 ^ {11-1} -1} {11}} = 909090909}$

e então, por inspeção, encontre o repetido 09 e o período de 2.

Esses recíprocos de primos podem ser associados a várias sequências de decimais repetidos. Por exemplo, os múltiplos de1/13pode ser dividido em dois conjuntos, com diferentes repetições. O primeiro conjunto é:

• 1/13 = 0,076923 ...
• 10/13 = 0,769230 ...
• 9/13 = 0,692307 ...
• 12/13 = 0,923076 ...
• 3/13 = 0,230769 ...
• 4/13 = 0,307692 ...,

onde a repetição de cada fração é um rearranjo cíclico de 076923. O segundo conjunto é:

• 2/13 = 0,153846 ...
• 7/13 = 0,538461 ...
• 5/13 = 0,384615 ...
• 11/13 = 0,846153 ...
• 6/13 = 0,461538 ...
• 8/13 = 0,615384 ...,

onde a repetição de cada fração é um rearranjo cíclico de 153846.

Em geral, o conjunto de múltiplos próprios de recíprocos de um primo p consiste em n subconjuntos, cada um com comprimento repetido  k , onde nk  =  p  - 1.

Regra de Totient

Para um número inteiro arbitrário n , o comprimento L ( n ) da repetição decimal de1/ndivide φ ( n ), onde φ é a função totiente . O comprimento é igual a φ ( n ) se e somente se 10 for uma raiz primitiva módulo n .

Em particular, segue-se que L ( p ) = p - 1 se e somente se p for primo e 10 for uma raiz primitiva módulo p . Então, as expansões decimais den/ppara n = 1, 2, ..., p  - 1, todos têm período p  - 1 e diferem apenas por uma permutação cíclica. Esses números p são chamados de números primos completos repetidos .

Recíprocos de inteiros compostos coprime a 10

Se p for um primo diferente de 2 ou 5, a representação decimal da fração1/p ² repete:

1/49= 0. 020408163265306122448979591836734693877551 .

O período (comprimento repetido) L (49) deve ser um fator de λ (49) = 42, onde λ ( n ) é conhecido como a função de Carmichael . Isso segue do teorema de Carmichael, que afirma que se n é um inteiro positivo, então λ ( n ) é o menor inteiro m tal que

${\ displaystyle a ^ {m} \ equiv 1 {\ pmod {n}}}$

para cada inteiro a que é coprime com n .

O período de 1/p ²é geralmente pT _p , onde T _p é o período de1/p. Existem três primos conhecidos para os quais isso não é verdade, e para aqueles o período de1/p ² é o mesmo que o período de 1/pporque p ² divide 10 ^{p −1} −1. Esses três primos são 3, 487 e 56598313 (sequência A045616 no OEIS ).

Da mesma forma, o período de 1/p ^ké geralmente p ^{k -1} T _p

Se p e q são primos diferentes de 2 ou 5, a representação decimal da fração1/pqrepete. Um exemplo é1/119:

119 = 7 × 17

λ (7 × 17) = LCM ( λ (7), λ (17)) = LCM (6, 16) = 48,

onde LCM denota o mínimo múltiplo comum .

O período T de1/pqé um fator de λ ( pq ) e passa a ser 48 neste caso:

1/119= 0. 008403361344537815126050420168067226890756302521 .

O período T de1/pqé LCM ( T _p ,  T _q ), onde T _p é o período de1/pe T _q é o período de1/q.

Se p , q , r , etc. forem primos diferentes de 2 ou 5 e k , ℓ , m , etc. forem inteiros positivos, então

${\ displaystyle {\ frac {1} {p ^ {k} q ^ {\ ell} r ^ {m} \ cdots}}}$

é um decimal repetido com um ponto final de

${\ displaystyle \ operatorname {LCM} (T_ {p ^ {k}}, T_ {q ^ {\ ell}}, T_ {r ^ {m}}, \ ldots)}$

onde T _{p ^k} , T _{q ^ℓ} , T _{r ^m} , ... são respectivamente o período dos decimais de repetição1/p ^k, 1/q ^ℓ, 1/r ^m, ... conforme definido acima.

Recíprocos de inteiros não coincidem com 10

Um número inteiro que não é coprime de 10, mas tem um fator primo diferente de 2 ou 5, tem um recíproco que é eventualmente periódico, mas com uma sequência não repetitiva de dígitos que precedem a parte repetida. O recíproco pode ser expresso como:

${\ displaystyle {\ frac {1} {2 ^ {a} 5 ^ {b} p ^ {k} q ^ {\ ell} \ cdots}} \ ,,}$

onde a e b não são ambos zero.

Esta fração também pode ser expressa como:

${\ displaystyle {\ frac {5 ^ {ab}} {10 ^ {a} p ^ {k} q ^ {\ ell} \ cdots}} \ ,,}$

se a > b , ou como

${\ displaystyle {\ frac {2 ^ {ba}} {10 ^ {b} p ^ {k} q ^ {\ ell} \ cdots}} \ ,,}$

se b > a , ou como

${\ displaystyle {\ frac {1} {10 ^ {a} p ^ {k} q ^ {\ ell} \ cdots}} \ ,,}$

se a = b .

O decimal tem:

• Um transiente inicial de max ( a ,  b ) dígitos após o ponto decimal. Alguns ou todos os dígitos do transiente podem ser zeros.
• Uma repetição subsequente que é a mesma para a fração 1/p ^k q ^ℓ ⋯.

Por exemplo 1/28= 0,03 571428 :

• a = 2, b = 0, e os outros fatores p ^k q ^ℓ ⋯ = 7
• existem 2 dígitos iniciais não repetidos, 03; e
• há 6 dígitos repetidos, 571428, a mesma quantidade que 1/7 tem.

Converter decimais repetidos em frações

Dado um decimal repetido, é possível calcular a fração que o produziu. Por exemplo:

${\ displaystyle {\ begin {alignat} {1} x & = 0.333333 \ ldots \\ 10x & = 3.333333 \ ldots \ quad & {\ text {(multiplicando cada lado da linha acima por 10)}} \\ 9x & = 3 & { \ text {(subtraindo a 1ª linha da 2ª)}} \\ x & = {\ frac {3} {9}} = {\ frac {1} {3}} & {\ text {(reduzindo aos termos mais baixos) }} \\\ end {alinhado}}}$

Outro exemplo:

${\ displaystyle {\ begin {alignat} {1} x & = \ \ \ \ 0.836363636 \ ldots \\ 10x & = \ \ \ \ 8.36363636 \ ldots \ quad & {\ text {(multiplicando por uma potência de 10 para mover decimal para início da repetição)}} \\ 1000x & = 836.36363636 \ ldots & {\ text {(multiplicando por uma potência de 100 para mover o decimal para o final do primeiro decimal repetido)}} \\ 990x & = 828 & {\ text {(subtraindo para limpar decimais)}} \\ x & = {\ frac {828} {990}} = {\ frac {18 \ times 46} {18 \ times 55}} = {\ frac {46} {55}}. \ end { alinhado}}}$

Um atalho

O procedimento abaixo pode ser aplicado em particular se a repetição tiver n dígitos, todos os quais são 0, exceto o final que é 1. Por exemplo, para n  = 7:

${\ displaystyle {\ begin {alinhados} x & = 0,000000100000010000001 \ ldots \\ 10 ^ {7} x & = 1.000000100000010000001 \ ldots \\\ left (10 ^ {7} -1 \ right) x = 9999999x & = 1 \\ x & = {\ frac {1} {10 ^ {7} -1}} = {\ frac {1} {9999999}} \ end {alinhado}}}$

Portanto, este decimal repetido em particular corresponde à fração 1/10 ⁿ  - 1, onde o denominador é o número escrito como n dígitos 9. Sabendo exatamente isso, um decimal geral de repetição pode ser expresso como uma fração sem ter que resolver uma equação. Por exemplo, pode-se raciocinar:

${\ displaystyle {\ begin {alinhados} 7,48181818 \ ldots & = 7.3 + 0,18181818 \ ldots \\ [8pt] & = {\ frac {73} {10}} + {\ frac {18} {99}} = {\ frac {73} {10}} + {\ frac {9 \ times 2} {9 \ times 11}} = {\ frac {73} {10}} + {\ frac {2} {11}} \\ [ 12pt] & = {\ frac {11 \ vezes 73 + 10 \ vezes 2} {10 \ vezes 11}} = {\ frac {823} {110}} \ end {alinhado}}}$

É possível obter uma fórmula geral expressando um decimal repetido com um período de n dígitos (comprimento repetido), começando logo após o ponto decimal, como uma fração:

${\ displaystyle {\ begin {alinhados} x & = 0. {\ overline {a_ {1} a_ {2} \ cdots a_ {n}}} \\ 10 ^ {n} x & = a_ {1} a_ {2} \ cdots a_ {n}. {\ overline {a_ {1} a_ {2} \ cdots a_ {n}}} \\\ esquerda (10 ^ {n} -1 \ direita) x = 99 \ cdots 99x & = a_ {1} a_ {2} \ cdots a_ {n} \\ x & = {\ frac {a_ {1} a_ {2} \ cdots a_ {n}} {10 ^ {n} -1}} = {\ frac {a_ {1} a_ {2} \ cdots a_ {n}} {99 \ cdots 99}} \ end {alinhado}}}$

Mais explicitamente, temos os seguintes casos:

Se o decimal de repetição estiver entre 0 e 1, e o bloco de repetição tiver n dígitos, ocorrendo primeiro logo após o ponto decimal, a fração (não necessariamente reduzida) será o número inteiro representado pelo bloco de n dígitos dividido pelo um representado por n dígitos 9. Por exemplo,

• 0,444444 ... = 4/9 uma vez que o bloco de repetição é 4 (um bloco de 1 dígito),
• 0,565656 ... = 56/99 uma vez que o bloco de repetição é 56 (um bloco de 2 dígitos),
• 0,012012 ... = 12/999uma vez que o bloco de repetição é 012 (um bloco de 3 dígitos); isso se reduz ainda mais a4/333.
• 0,999999 ... = 9/9 = 1, uma vez que o bloco de repetição é 9 (também um bloco de 1 dígito)

Se o decimal repetido for como acima, exceto que existem k (extras) dígitos 0 entre o ponto decimal e o bloco de repetição de n dígitos, então pode-se simplesmente adicionar k dígitos 0 após os n dígitos 9 do denominador (e, como antes, a fração pode ser posteriormente simplificada). Por exemplo,

• 0,000444 ... = 4/9000 uma vez que o bloco de repetição é 4 e este bloco é precedido por 3 zeros,
• 0,005656 ... = 56/9900 uma vez que o bloco de repetição é 56 e é precedido por 2 zeros,
• 0,00012012 ... = 12/99900 = 1/8325 uma vez que o bloco de repetição é 012 e é precedido por 2 zeros.

Qualquer decimal repetido que não tenha a forma descrita acima pode ser escrito como a soma de um decimal final e um decimal repetido de um dos dois tipos acima (na verdade, o primeiro tipo é suficiente, mas isso pode exigir que o decimal final seja negativo). Por exemplo,

• 1,23444 ... = 1,23 + 0,00444 ... = 123/100 + 4/900 = 1107/900 + 4/900 = 1111/900
  • ou alternativamente 1,23444 ... = 0,79 + 0,44444 ... = 79/100 + 4/9 = 711/900 + 400/900 = 1111/900
• 0,3789789 ... = 0,3 + 0,0789789 ... = 3/10 + 789/9990 = 2997/9990 + 789/9990 = 3786/9990 = 631/1665
  • ou alternativamente 0,3789789 ... = −0,6 + 0,9789789 ... = -6/10 + 978/999 = -5994/9990 + 9780/9990 = 3786/9990 = 631/1665

Um método ainda mais rápido é ignorar completamente a vírgula decimal e continuar assim

• 1.23444 ... = 1234 - 123/900 = 1111/900 (o denominador tem um 9 e dois 0s porque um dígito se repete e há dois dígitos não repetitivos após o ponto decimal)
• 0,3789789 ... = 3789-3/9990 = 3786/9990 (o denominador tem três 9s e um 0 porque três dígitos se repetem e há um dígito não repetitivo após o ponto decimal)

Daqui se conclui que qualquer decimal repetindo com período n , e k algarismos após a casa decimal que não pertencem à parte de repetição, pode ser escrita como uma (não necessariamente reduzida) fracção cujo denominador é (10 ⁿ  - 1) 10 ^k .

Inversamente, o período do decimal repetido de uma fração c/dserá (no máximo) o menor número n tal que 10 ⁿ  - 1 é divisível por d .

Por exemplo, a fração 2/7tem d = 7, e o menor k que torna 10 ^k  - 1 divisível por 7 é k = 6, porque 999999 = 7 × 142857. O período da fração2/7 é, portanto, 6.

Repetindo decimais como séries infinitas

Um decimal repetido também pode ser expresso como uma série infinita . Ou seja, um decimal repetido pode ser considerado a soma de um número infinito de números racionais. Para pegar o exemplo mais simples,

${\ displaystyle 0. {\ overline {1}} = {\ frac {1} {10}} + {\ frac {1} {100}} + {\ frac {1} {1000}} + \ cdots = \ soma _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {1} {10 ^ {n}}}}$

A série acima é uma série geométrica com o primeiro termo como1/10 e o fator comum 1/10. Como o valor absoluto do fator comum é menor que 1, podemos dizer que a série geométrica converge e encontrar o valor exato na forma de uma fração usando a seguinte fórmula onde a é o primeiro termo da série e r é o fator comum.

${\ displaystyle {\ frac {a} {1-r}} = {\ frac {\ frac {1} {10}} {1 - {\ frac {1} {10}}}} = {\ frac {1 } {10-1}} = {\ frac {1} {9}}}$

De forma similar,

${\ displaystyle {\ begin {alinhados} 0. {\ overline {142857}} & = {\ frac {142857} {10 ^ {6}}} + {\ frac {142857} {10 ^ {12}}} + {\ frac {142857} {10 ^ {18}}} + \ cdots = \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {142857} {10 ^ {6n}}} \\ [6px] \ implica & \ quad {\ frac {a} {1-r}} = {\ frac {\ frac {142857} {10 ^ {6}}} {1 - {\ frac {1} {10 ^ {6} }}}} = {\ frac {142857} {10 ^ {6} -1}} = {\ frac {142857} {999999}} = {\ frac {1} {7}} \ fim {alinhado}}}$

Multiplicação e permutação cíclica

O comportamento cíclico de repetir decimais na multiplicação também leva à construção de inteiros que são ciclicamente permutados quando multiplicados por certos números. Por exemplo, 102564 × 4 = 410256 . 102564 é a repetição de4/39 e 410256 a repetição de 16/39.

Outras propriedades de comprimentos repetidos

Várias propriedades de comprimentos repetidos (períodos) são fornecidas por Mitchell e Dickson.

• O período de 1/kpara o número inteiro k é sempre ≤  k  - 1.
• Se p é primo, o período de1/pdivide-se uniformemente em p  - 1.
• Se k for composto, o período de1/ké estritamente menor que k  - 1.
• O período de c/k, para c coprime para k , é igual ao período de1/k.
• Se k  = 2 ^uma 5 ^b n onde n  > 1 e n não é divisível por 2 ou 5, então o comprimento do transiente de1/ké max ( a ,  b ), e o período é igual a r , onde r é o menor inteiro tal que 10 ^r ≡ 1 (mod n ) .
• Se p , p ′ , p ″ , ... são primos distintos, então o período de1/p p ′ p ″ ⋯ é igual ao menor múltiplo comum dos períodos de 1/p, 1/p ′, 1/p ″, ....
• Se k e k ′ não têm fatores primos comuns diferentes de 2 ou 5, então o período de1/kk ′ é igual ao mínimo múltiplo comum dos períodos de 1/k e 1/k ′.
• Para primo p , se

${\ displaystyle {\ text {period}} \ left ({\ frac {1} {p}} \ right) = {\ text {period}} \ left ({\ frac {1} {p ^ {2}} } \ right) = \ cdots = {\ text {period}} \ left ({\ frac {1} {p ^ {m}}} \ right)}$

por alguns m , mas

${\ displaystyle {\ text {period}} \ left ({\ frac {1} {p ^ {m}}} \ right) \ neq {\ text {period}} \ left ({\ frac {1} {p ^ {m + 1}}} \ direita),}$

então para c  ≥ 0 temos

${\ displaystyle {\ text {period}} \ left ({\ frac {1} {p ^ {m + c}}} \ right) = p ^ {c} \ cdot {\ text {period}} \ left ( {\ frac {1} {p}} \ right).}$

• Se p é um primo adequado terminando em 1, isto é, se a repetição de1/pé um número cíclico de comprimento p  - 1 ep = 10 h  + 1 para algum h , então cada dígito 0, 1, ..., 9 aparece na repetição exatamente h = p  - 1/10 vezes.

Para algumas outras propriedades de repetições, consulte também.

Extensão para outras bases

Vários recursos de decimais repetidos estendem-se à representação de números em todas as outras bases inteiras, não apenas na base 10:

• Qualquer número real pode ser representado como uma parte inteira seguida por um ponto de raiz (a generalização de um ponto decimal para sistemas não decimais) seguido por um número finito ou infinito de dígitos .
• Se a base for um inteiro, uma sequência de terminação obviamente representa um número racional.
• Um número racional tem uma seqüência final se todos os fatores primos do denominador da forma fracionária totalmente reduzida também são fatores da base. Esses números compõem um conjunto denso em Q e R .
• Se o sistema numérico posicional for padrão, isso significa que ele tem base

${\ displaystyle b \ in \ mathbb {Z} \ smallsetminus \ {- 1,0,1 \}}$

combinado com um conjunto consecutivo de dígitos

${\ displaystyle D: = \ {d_ {1}, d_ {1} +1, \ dots, d_ {r} \}}$

com r  : = | b | , d _r  : = d ₁ + r - 1 e 0 ∈ D , então uma sequência de terminação é obviamente equivalente à mesma sequência com parte repetitiva não terminada consistindo no dígito 0. Se a base for positiva, então existe uma ordem homomorfismo da ordem lexicográfica das cordas infinitas do lado direito sobre o alfabeto D em algum intervalo fechado dos reais, que mapeia as cordas 0. A ₁ A ₂ ... A _n d _b e 0. A ₁ A ₂ .. . ( A _n +1) d ₁ com A _i ∈ D e A _n ≠ d _b com o mesmo número real - e não há outras imagens duplicadas. No sistema decimal, por exemplo, não é 0. 9  = 1. 0  = 1; no sistema ternário balanceado existe 0. 1  = 1. T  = 1/2.

• Um número racional tem uma seqüência de repetição indefinida de comprimento finito l , se o denominador da fração reduzida contém um fator primo que não é um fator da base. Se q é o fator máximo do denominador reduzido que é coprime da base, l é o menor expoente tal que q divide b ^l - 1 . É a ordem multiplicativa ord _q ( b ) do resíduo classe b mod q que é um divisor da função de Carmichael λ ( q ) que por sua vez é menor que q . A sequência de repetição é precedida por um transiente de comprimento finito se a fração reduzida também compartilha um fator primo com a base. Uma sequência repetitiva

${\ displaystyle \ left (0. {\ overline {A_ {1} A_ {2} \ ldots A _ {\ ell}}} \ right) _ {b}}$

representa a fração

${\ displaystyle {\ frac {(A_ {1} A_ {2} \ ldots A _ {\ ell}) _ {b}} {b ^ {l} -1}}.}$

• Um número irracional tem uma representação de comprimento infinito que não é, de nenhum ponto, uma sequência de repetição indefinida de comprimento finito.

Por exemplo, em duodecimal ,1/2 = 0,6, 1/3 = 0,4, 1/4 = 0,3 e 1/6 = 0,2 todos terminam; 1/5= 0. 2.497 repetições com duração de período 4, em contraste com a expansão decimal equivalente de 0,2;1/7= 0. 186A35 tem período 6 em duodecimal, assim como em decimal.

Se b é uma base inteira ek é um número inteiro,

${\ displaystyle {\ frac {1} {k}} = {\ frac {1} {b}} + {\ frac {(bk) ^ {1}} {b ^ {2}}} + {\ frac { (bk) ^ {2}} {b ^ {3}}} + {\ frac {(bk) ^ {3}} {b ^ {4}}} + {\ frac {(bk) ^ {4}} {b ^ {5}}} + \ cdots + {\ frac {(bk) ^ {N-1}} {b ^ {N}}} + \ cdots}$

Por exemplo 1/7 em duodecimal:

1/7 = (1/10 + 5/10 ² + 21/10 ³ + A5/10 ⁴ + 441/10 ⁵ + 1985/10 ⁶+ ...) _{base 12}

que é 0. 186A35 (base 12). 10 (base de 12) é de 12 (base 10), 10 ² (base 12) é de 144 (base 10), 21 (base de 12) é de 25 (base 10), A5 (base 12) é de 125 (base 10),. ..

Algoritmo para bases positivas

Para um racional 0 <p/q<1 (e base b ∈ N _{> 1} ) existe o seguinte algoritmo produzindo a repetição junto com seu comprimento:

function b_adic(b,p,q) // b ≥ 2; 0 < p < q
  static digits = "0123..."; // up to the digit with value b–1
begin
  s = "";   // the string of digits
  pos = 0; // all places are right to the radix point
  while not defined(occurs[p]) do
    occurs[p] = pos;  // the position of the place with remainder p
    bp = b*p;
    z = floor(bp/q); // index z of digit within: 0 ≤ z ≤ b-1
    p = b*p − z*q;    // 0 ≤ p < q
    if p = 0 then L = 0; return (s); end if
    s = s . substring(digits, z, 1); // append the character of the digit
    pos += 1;
  end while
  L = pos - occurs[p]; // the length of the repetend (being < q)
  // mark the digits of the repetend by a vinculum:
  for i from occurs[p] to pos-1 do
    substring(s, i, 1) = overline(substring(s, i, 1));
  end for
  return (s);
end function

A primeira linha destacada calcula o dígito z .

A linha subsequente calcula o novo resto p ′ do módulo de divisão do denominador q . Como consequência da função de piso floor , temos

${\ displaystyle {\ frac {bp} {q}} - 1 \; \; <\; \; z = \ left \ lfloor {\ frac {bp} {q}} \ right \ rfloor \; \; \ leq \; \; {\ frac {bp} {q}},}$

portanto

${\ displaystyle bp-q <zq \ quad \ implica \ quad p ': = bp-zq <q}$

e

${\ displaystyle zq \ leq bp \ quad \ implica \ quad 0 \ leq bp-zq =: p '\ ,.}$

Como todos esses restos p são inteiros não negativos menores que q , pode haver apenas um número finito deles com a conseqüência de que devem ocorrer novamente no whileloop. Essa recorrência é detectada pela matriz associativa occurs . O novo dígito z é formado na linha amarela, onde p é a única não constante. O comprimento L da repetição é igual ao número dos restos (veja também a seção Todo número racional é um decimal final ou repetitivo ).

Aplicações para criptografia

Decimais repetidos (também chamados de sequências decimais) encontraram aplicativos criptográficos e de codificação de correção de erros. Nessas aplicações, a repetição de decimais até a base 2 é geralmente usada, o que dá origem a sequências binárias. A sequência binária de comprimento máximo para1/p(quando 2 é uma raiz primitiva de p ) é dado por:

${\ displaystyle a (i) = 2 ^ {i} {\ bmod {p}} {\ bmod {2}}}$

Essas sequências do período p  - 1 têm uma função de autocorrelação que tem um pico negativo de -1 para mudança dep  - 1/2. A aleatoriedade dessas sequências foi examinada por testes obstinados .

Veja também

• Representação decimal
• Reptend prime completo
• Teorema de Midy
• Número parasita
• Zero à direita
• Primo único
• 0,999 ... , um decimal repetido igual a um
• Princípio de buraco de pombo

Referências e observações

links externos

• Weisstein, Eric W. "Repeating Decimal" . MathWorld .