Espectroscopia de fotoemissão de ângulo resolvido - Angle-resolved photoemission spectroscopy

Espectro ARPES de um estado eletrônico bidimensional localizado na superfície (111) do cobre. A energia tem livre de electrões -like impulso dependência, p ² /2 m , onde m = 0,46 m _{de e} . A escala de cores representa a contagem de elétrons por energia cinética e canal de ângulo de emissão. Quando fótons de 21,22  eV são usados, o nível de Fermi é visualizado em 16,64 eV.

A espectroscopia de fotoemissão de ângulo resolvido ( ARPES ) é uma técnica experimental usada na física da matéria condensada para sondar as energias e momentos permitidos dos elétrons em um material, geralmente um sólido cristalino . É baseado no efeito fotoelétrico , no qual um fóton de energia suficiente ejeta um elétron da superfície de um material. Medindo diretamente a energia cinética e as distribuições dos ângulos de emissão dos fotoelétrons emitidos, a técnica pode mapear a estrutura da banda eletrônica e as superfícies de Fermi . ARPES é mais adequado para o estudo de materiais unidimensionais ou bidimensionais. Ele tem sido usado por físicos para investigar supercondutores de alta temperatura , grafeno , materiais topológicos , estados quânticos de poços e materiais que exibem ondas de densidade de carga .

Os sistemas ARPES consistem em uma fonte de luz monocromática para fornecer um feixe estreito de fótons, um suporte de amostra conectado a um manipulador usado para posicionar a amostra de um material e um espectrômetro de elétrons . O equipamento está contido em um ambiente de ultra-alto vácuo (UHV), que protege a amostra e evita o espalhamento dos elétrons emitidos. Depois de serem dispersos ao longo de duas direções perpendiculares em relação à energia cinética e ao ângulo de emissão, os elétrons são direcionados a um detector e contados para fornecer espectros ARPES - fatias da estrutura de banda ao longo de uma direção de momento. Alguns instrumentos ARPES podem extrair uma parte dos elétrons ao lado do detector para medir a polarização de seu spin .

Princípio

Elétrons em sólidos cristalinos podem preencher apenas estados de certas energias e momentos, outros sendo proibidos pela mecânica quântica . Eles formam um continuum de estados conhecido como estrutura de banda do sólido. A estrutura de banda determina se um material é um isolante , um semicondutor ou um metal , como ele conduz eletricidade e em que direções ele conduz melhor ou como se comporta em um campo magnético .

A espectroscopia de fotoemissão com resolução angular determina a estrutura da banda e ajuda a compreender os processos de espalhamento e as interações dos elétrons com outros constituintes de um material. Ele faz isso observando os elétrons ejetados pelos fótons de seu estado de energia e momento inicial para o estado cuja energia é, pela energia do fóton, superior à energia inicial e superior à energia de ligação do elétron no sólido. No processo, o momento do elétron permanece virtualmente intacto, exceto por seu componente perpendicular à superfície do material. A estrutura de banda é, portanto, traduzida de energias nas quais os elétrons estão ligados dentro do material, para energias que os libertam da ligação do cristal e permitem sua detecção fora do material.

Medindo a energia cinética do elétron liberado, sua velocidade e momento absoluto podem ser calculados. Ao medir o ângulo de emissão em relação à normal à superfície, o ARPES também pode determinar os dois componentes no plano do momento que estão preservados no processo de fotoemissão. Em muitos casos, se necessário, o terceiro componente também pode ser reconstruído.

Instrumentação

Configuração típica de laboratório de um experimento ARPES: lâmpada de descarga de hélio como fonte de luz ultravioleta, suporte de amostra que se conecta a um manipulador de vácuo e analisador hemisférico de energia eletrônica .

Um instrumento típico para fotoemissão de ângulo resolvido consiste em uma fonte de luz, um suporte de amostra conectado a um manipulador e um espectrômetro de elétrons. Tudo isso faz parte de um sistema de ultra-alto vácuo que fornece a proteção necessária contra adsorvidos para a superfície da amostra e elimina o espalhamento dos elétrons em seu caminho para o analisador.

A fonte de luz fornece à amostra um feixe monocromático , geralmente polarizado , focalizado e de alta intensidade de ~ 10 ¹² fótons / s com propagação de energia de alguns meV . As fontes de luz variam de lâmpadas ultravioleta compactas de descarga de gás nobre e fontes de plasma de radiofrequência (10 – ⁠40 eV), lasers ultravioleta (5 – ⁠11 eV) a dispositivos de inserção síncrotron que são otimizados para diferentes partes do espectro eletromagnético (de 10 eV no ultravioleta a 1000 eV raios X).

O porta-amostras acomoda amostras de materiais cristalinos, cujas propriedades eletrônicas devem ser investigadas. Facilita sua inserção no vácuo, clivagem para expor superfícies limpas e posicionamento preciso. O suporte funciona como a extensão de um manipulador que faz translações ao longo de três eixos e rotações para ajustar os ângulos polar, azimute e de inclinação da amostra possíveis. O suporte possui sensores ou termopares para medição e controle preciso da temperatura. O arrefecimento para temperaturas tão baixas como 1 Kelvin é fornecida por gases criogénicos liquefeitos , uso espacial , e refrigerador de diluição . Aquecedores resistivos presos ao suporte fornecem aquecimento de até algumas centenas de ° C, enquanto os dispositivos de bombardeio de feixe de elétrons na parte traseira em miniatura podem produzir temperaturas de amostra de até 2.000 ° C. Alguns suportes também podem ter acessórios para foco e calibração do feixe de luz .

Trajetórias de elétrons em lentes eletrostáticas do espectrômetro ARPES mostradas no plano de dispersão angular. O instrumento mostra um certo grau de foco no mesmo canal de detecção dos elétrons que saem do cristal no mesmo ângulo, mas se originam de dois pontos separados na amostra. Aqui, a separação simulada é de 0,5 mm.

O espectrômetro de elétrons dispersa os elétrons ao longo de duas direções espaciais de acordo com sua energia cinética e seu ângulo de emissão ao sair da amostra; em outras palavras, ele fornece o mapeamento de diferentes energias e ângulos de emissão para diferentes posições no detector. No tipo mais comumente usado, o analisador hemisférico de energia eletrônica , os elétrons passam primeiro por uma lente eletrostática . A lente possui um ponto focal estreito localizado a cerca de 40 mm da entrada da lente. Ele aumenta ainda mais a propagação angular da pluma de elétrons e a fornece com energia ajustada para a estreita fenda de entrada da parte de dispersão de energia.

Espectrômetro de elétrons com resolução de ângulo e energia para ARPES (esquemático)

A dispersão de energia é realizada para uma faixa estreita de energias em torno da chamada energia de passagem na direção perpendicular à direção de dispersão angular, que é perpendicular ao corte de uma fenda de ~ 25 mm de comprimento e ± 0,1 mm de largura. A dispersão angular anteriormente alcançada em torno do eixo da lente cilíndrica é preservada apenas ao longo da fenda e, dependendo do modo da lente e da resolução angular desejada, geralmente é definida como ± 3 °, ± 7 ° ou ± 15 °. Os hemisférios do analisador de energia são mantidos em tensões constantes de forma que a trajetória central seja seguida por elétrons que possuem energia cinética igual à energia de passagem definida; aqueles com energias mais altas ou mais baixas terminam mais perto do hemisfério externo ou interno na outra extremidade do analisador. É aqui que um detector de elétrons é montado, geralmente na forma de uma placa de microcanais de 40 mm emparelhada com uma tela fluorescente . Os eventos de detecção de elétrons são registrados usando uma câmera externa e são contados em centenas de milhares de ângulos separados versus canais de energia cinética. Alguns instrumentos são equipados adicionalmente com um tubo de extração de elétrons em um lado do detector para permitir a medição da polarização de spin dos elétrons .

Analisadores modernos são capazes de resolver os ângulos de emissão de elétrons tão baixos quanto 0,1 °. A resolução de energia depende da energia de passagem e da largura da fenda, de modo que o operador escolhe entre medições com resolução ultra-alta e baixa intensidade (<1 meV em energia de passagem de 1 eV) ou resoluções de energia mais baixas de 10 ou mais meV em energias de passagem mais altas e com fendas mais largas resultando em maior intensidade de sinal. A resolução do instrumento aparece como uma ampliação artificial das características espectrais: um corte de energia Fermi mais amplo do que o esperado apenas da temperatura da amostra e a função espectral do elétron teórico convolvida com a função de resolução do instrumento em energia e momento / ângulo.

Às vezes, em vez de analisadores hemisféricos, analisadores de tempo de voo são usados. Estes, no entanto, requerem fontes de fótons pulsados ​​e são mais comuns em laboratórios ARPES baseados em laser .

Relações básicas

A espectroscopia de fotoemissão de ângulo resolvido é um refinamento potente da espectroscopia de fotoemissão comum . A luz de frequência composta de fótons de energia , onde é a constante de Planck , é usada para estimular as transições dos elétrons do estado eletrônico ocupado para o não ocupado do sólido. Se a energia de um fóton for maior do que a energia de ligação de um elétron , o elétron acabará deixando o sólido sem ser espalhado e será observado com energia cinética${\ displaystyle \ nu}$${\ displaystyle h \ nu}$${\ displaystyle h}$${\ displaystyle E_ {B}}$

${\ displaystyle E_ {k} = h \ nu -E_ {B}}$

no ângulo em relação à normal da superfície , ambos característicos do material estudado. ${\ displaystyle \ vartheta}$

Esquerda : Ângulo do analisador - Mapa de energia I ₀ (α, E _k ) em torno da emissão vertical. Direita : Ângulo do analisador - Mapas de energia I _θ (α, E _k ) em vários ângulos polares longe da emissão vertical.

Os mapas de intensidade de emissão de elétrons medidos pelo ARPES em função e são representativos da distribuição intrínseca dos elétrons no sólido expressa em termos de sua energia de ligação e o vetor de onda de Bloch , que está relacionado ao momento do cristal dos elétrons e à velocidade do grupo . No processo de fotoemissão, o vetor de onda de Bloch está ligado ao momento do elétron medido , onde a magnitude do momento é dada pela equação ${\ displaystyle E_ {k}}$${\ displaystyle \ vartheta}$${\ displaystyle E_ {B}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {k}}$${\ displaystyle \ mathbf {p}}$${\ displaystyle | \ mathbf {p} |}$

${\ displaystyle | \ mathbf {p} | = {\ sqrt {2m_ {e} E_ {k}}}}$.

Conforme o elétron atravessa a barreira da superfície, perdendo parte de sua energia devido à função de trabalho da superfície , apenas o componente que é paralelo à superfície ,, é preservado. Da ARPES, portanto, só é conhecido com certeza e sua magnitude é dada por ${\ displaystyle \ mathbf {p}}$${\ displaystyle \ mathbf {p} _ {||}}$${\ displaystyle \ mathbf {k} _ {||} = {\ tfrac {1} {\ hbar}} \ mathbf {p} _ {||}}$

${\ displaystyle | \ mathbf {k} _ {||} | = {\ tfrac {1} {\ hbar}} | \ mathbf {p_ {||}} | = {\ tfrac {1} {\ hbar}} {\ sqrt {2m_ {e} E_ {k}}} \ sin \ vartheta}$.

Aqui está a constante de Planck reduzida . ${\ displaystyle \ hbar}$

Devido à determinação incompleta do vetor de onda tridimensional e à pronunciada sensibilidade da superfície do processo de fotoemissão elástica, o ARPES é mais adequado para a caracterização completa da estrutura de banda em sistemas ordenados de baixa dimensão , como materiais bidimensionais , filmes ultrafinos e nanofios . Quando é usado para materiais tridimensionais, o componente perpendicular do vetor de onda é geralmente aproximado, com a suposição de um estado final parabólico , semelhante ao elétron livre, com o fundo na energia . Isto dá: ${\ displaystyle k _ {\ perp}}$${\ displaystyle -V_ {0}}$

${\ displaystyle k _ {\ perp} = {\ tfrac {1} {\ hbar}} {\ sqrt {2m_ {e} (E_ {k} \ cos ^ {2} \! \ vartheta + V_ {0})} }}$.

Mapeamento de superfície Fermi

Esquerda : Mapa de energia constante próximo a E _F no ângulo do analisador - unidades de ângulo polar (movimento polar perpendicular à fenda do analisador). À direita : Mapa de energia constante próximo a E _F em unidades de momento do cristal (transformado do ângulo do analisador - mapa de ângulo polar).

Analisadores de elétrons que usam uma fenda para evitar a mistura de canais de momento e energia são capazes apenas de obter mapas angulares ao longo de uma direção. Para obter mapas de energia e espaço de momento bidimensional, ou a amostra é girada na direção adequada para que a fenda receba elétrons de ângulos de emissão adjacentes ou a nuvem de elétrons é direcionada para dentro da lente eletrostática com a amostra fixa. A largura da fenda determinará o tamanho do passo das varreduras angulares. Por exemplo, quando uma pluma de ± 15 ° dispersa em torno do eixo da lente é servida em uma fenda de 30 mm de comprimento e 1 mm de largura, cada milímetro da fenda recebe uma porção de 1 ° - em ambas as direções; mas, no detector, a outra direção é interpretada como a energia cinética do elétron e a informação do ângulo de emissão é perdida. Esse cálculo da média determina a resolução angular máxima da varredura na direção perpendicular à fenda: com uma fenda de 1 mm, os passos mais grossos do que 1 ° levam à perda de dados e os passos mais finos às sobreposições. Os analisadores modernos têm fendas tão estreitas quanto 0,05 mm. Os mapas de energia-ângulo-ângulo são geralmente processados ​​posteriormente para fornecer mapas de energia - k _x - k _y , e fatiados de forma a exibir superfícies de energia constante na estrutura de banda e, mais importante, o mapa de superfície de Fermi quando são cortados perto do nível Fermi.

Ângulo de emissão para conversão de momento

Geometria de um experimento ARPES. Nesta posição, ϑ = 0 ° e τ = 0 °, o analisador está aceitando elétrons emitidos verticalmente da superfície e α≤8 ° ao redor.

O espectrômetro ARPES mede a dispersão angular em uma fatia α ao longo de sua fenda. Os analisadores modernos registram esses ângulos simultaneamente, em seu referencial, normalmente na faixa de ± 15 °. Para mapear a estrutura da banda em um espaço de momento bidimensional, a amostra é girada enquanto mantém o ponto de luz na superfície fixo. A escolha mais comum é alterar o ângulo polar ϑ em torno do eixo que é paralelo à fenda e ajustar a inclinação τ ou azimute φ para que a emissão de uma região particular da zona de Brillouin possa ser alcançada.

Os componentes do momento dos elétrons podem ser expressos em termos das quantidades medidas no referencial do analisador como

${\ displaystyle \ mathbf {P} = [0, P \ sin \ alpha, P \ cos \ alpha]}$, onde .${\ displaystyle P = {\ sqrt {2m_ {e} E_ {k}}}}$

ϑ

ϑ e τ

ϑ, τ e φ

Rotações do referencial da amostra. o analisador mede uma faixa de ângulos α em seu próprio referencial.

Esses componentes podem ser transformados em componentes apropriados de momento no referencial da amostra, usando matrizes de rotação . Quando a amostra é girada em torno do eixo y por ϑ, há componentes . Se a amostra também é inclinada em torno de x por τ, isso resulta em , e os componentes do momento do cristal do elétron determinados por ARPES nesta geometria de mapeamento são ${\ displaystyle \ mathbf {p}}$ ${\ displaystyle R _ {\ textrm {axis}} ({\ textrm {ângulo}})}$${\ displaystyle \ mathbf {P}}$${\ displaystyle R_ {y} (\ vartheta) \, \ mathbf {P}}$${\ displaystyle \ mathbf {p} = R_ {x} (\ tau) R_ {y} (\ vartheta) \, \ mathbf {P}}$

${\ displaystyle k_ {x} = {\ tfrac {1} {\ hbar}} p_ {x} = {\ tfrac {1} {\ hbar}} {\ sqrt {2m_ {e} E_ {k}}} \ , \ cos \ alpha \ sin \ vartheta}$

${\ displaystyle k_ {y} = {\ tfrac {1} {\ hbar}} p_ {y} = {\ tfrac {1} {\ hbar}} {\ sqrt {2m_ {e} E_ {k}}} \ , (\ pm \ sin \ alpha \ cos \ tau + \ cos \ alpha \ sin \ tau \ cos \ vartheta)}$

escolha o sinal dependendo se é proporcional${\ displaystyle \ vartheta = 0}$${\ displaystyle k_ {y}}$

para ou${\ displaystyle \ sin (\ alpha + \ tau)}$${\ displaystyle \ sin (\ alpha - \ tau)}$

Se eixos de alta simetria da amostra são conhecidos e precisam ser alinhados, uma correção por azimute φ pode ser aplicada girando em torno de z, quando ou girando o mapa transformado I ( E , k _x , k _y ) em torno da origem em dois- planos de momento dimensional. ${\ displaystyle \ mathbf {p} = R_ {z} (\ varphi) R_ {x} (\ tau) R_ {y} (\ vartheta) \, \ mathbf {P}}$

Teoria das relações de intensidade de fotoemissão

A teoria da fotoemissão é a das transições ópticas diretas entre os estados e de um sistema de N-elétrons. A excitação de luz é introduzida como o potencial do vetor magnético através da substituição mínima na parte cinética do hamiltoniano quântico para os elétrons no cristal. A parte da perturbação do hamiltoniano acaba sendo: ${\ displaystyle | i \ rangle}$${\ displaystyle | f \ rangle}$ ${\ displaystyle \ mathbf {A}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {p} \ mapsto \ mathbf {p} + e \ mathbf {A}}$

${\ displaystyle H '= {\ frac {e} {2m}} (\ mathbf {A} \ cdot \ mathbf {p} + \ mathbf {p} \ cdot \ mathbf {A}) + {\ frac {e ^ {2}} {2m}} | \ mathbf {A} | ^ {2}}$.

Neste tratamento, o acoplamento de spin do elétron ao campo eletromagnético é desprezado. O potencial escalar é zerado pela imposição do medidor de Weyl ou pelo trabalho no medidor de Coulomb no qual se torna desprezivelmente pequeno longe das fontes. De qualquer forma, o comutador é considerado zero. Especificamente, no medidor de Weyl, porque o período de para a luz ultravioleta é cerca de duas ordens de magnitude maior do que o período da função de onda do elétron . Em ambos os medidores, presume-se que os elétrons na superfície tiveram pouco tempo para responder à perturbação de entrada e não adicionam nada a nenhum dos dois potenciais. Para a maioria dos usos práticos, é seguro negligenciar o termo quadrático . Por isso, ${\ displaystyle \ phi}$ ${\ displaystyle \ phi = 0}$ ${\ displaystyle \ nabla \ cdot \ mathbf {A} = 0}$${\ displaystyle \ phi}$ ${\ displaystyle \ left [\ mathbf {A}, \ mathbf {p} \ right] = i \ hbar \, \ nabla \ cdot \ mathbf {A}}$${\ displaystyle \ nabla \ cdot \ mathbf {A} \ aprox 0}$${\ displaystyle \ mathbf {A}}$${\ displaystyle | A | ^ {2}}$

${\ displaystyle H '= {\ frac {e} {m}} \ mathbf {A} \ cdot \ mathbf {p}}$.

A probabilidade de transição é calculada na teoria de perturbação dependente do tempo e é dada pela regra de ouro de Fermi :

${\ displaystyle \ Gamma _ {i \ to f} = {\ frac {2 \ pi} {\ hbar}} | \ langle f | H '| i \ rangle | ^ {2} \ delta (E_ {f} - E_ {i} -h \ nu) \ propto | \ langle f | \ mathbf {A} \ cdot \ mathbf {p} | i \ rangle | ^ {2} \, \ delta (E_ {f} -E_ {i } -h \ nu)}$,

A distribuição delta acima é uma forma de dizer que a energia é conservada quando um fóton de energia é absorvido . ${\ displaystyle h \ nu}$${\ displaystyle E_ {f} = E_ {i} + h \ nu}$

Se o campo elétrico de uma onda eletromagnética é escrito como , onde , o potencial vetorial herda sua polarização e é igual a . A probabilidade de transição é então dada em termos do campo elétrico como ${\ displaystyle \ mathbf {E} (\ mathbf {r}, t) = \ mathbf {E_ {0}} \ sin (\ mathbf {k} \ cdot \ mathbf {r} - \ omega t)}$${\ displaystyle \ omega = 2 \ pi \ nu}$${\ displaystyle \ mathbf {A} (\ mathbf {r}, t) = {\ tfrac {1} {\ omega}} \ mathbf {E_ {0}} \ cos (\ mathbf {k} \ cdot \ mathbf { r} - \ omega t)}$

${\ displaystyle \ Gamma _ {i \ to f} \ propto | \ langle f | {\ tfrac {1} {\ nu}} \ mathbf {E_ {0}} \ cdot \ mathbf {p} | i \ rangle | ^ {2} \, \ delta (E_ {f} -E_ {i} -h \ nu)}$.

Na aproximação repentina , o qual assume um electrão é instantaneamente removido do sistema de electrões de N, os estados finais e iniciais do sistema são tomados como produtos adequadamente antisymmetrized dos estados de partículas individuais do de fotoelectrs , e os estados que representam o N- restante Sistemas de 1 elétron. ${\ displaystyle | k_ {i} \ rangle}$${\ displaystyle | k_ {f} \ rangle}$

A corrente de fotoemissão de elétrons de energia e momento é então expressa como os produtos de ${\ displaystyle E_ {f} = E_ {k}}$${\ displaystyle \ mathbf {p} = \ hbar \ mathbf {k}}$

• ${\ displaystyle | \ langle k_ {f} | \ mathbf {E_ {0}} \ cdot \ mathbf {p} | k_ {i} \ rangle | ^ {2} = M_ {fi}}$, conhecidas como regras de seleção de dipolo para transições ópticas, e
• ${\ displaystyle A (\ mathbf {k}, E)}$, a função espectral de remoção de um elétron conhecida da teoria de muitos corpos da física da matéria condensada

somados todos os estados iniciais e finais permitidos que conduzem à energia e ao momento a serem observados. Aqui, E é medido em relação ao nível de Fermi E _F , e E _k em relação ao vácuo, então onde , a função de trabalho , é a diferença de energia entre os dois níveis referentes. A função de trabalho depende do material, da orientação da superfície e da condição da superfície. Uma vez que os estados iniciais permitidos são apenas aqueles que são ocupados, o sinal de fotoemissão irá reflectir a distribuição de Fermi-Dirac função sob a forma de uma função da temperatura sigmóide gota em forma de intensidade na vizinhança de E _F . No caso de um sistema eletrônico bidimensional de uma banda, a relação de intensidade reduz ainda mais para ${\ displaystyle E_ {k} = E + h \ nu -W}$${\ displaystyle W}$${\ displaystyle f (E) = {\ frac {1} {1 + e ^ {(E-E_ {F}) / k_ {B} T}}}}$

${\ displaystyle I (E_ {k}, \ mathbf {k_ {||}}) = I_ {M} (\ mathbf {k_ {||}}, \ mathbf {E_ {0}}, \ nu) \, f (E) \, A (\ mathbf {k_ {||}}, E)}$.

Regras de seleção

Os estados eletrônicos em cristais são organizados em bandas de energia , que têm dispersões de banda de energia associadas que são autovalores de energia para elétrons deslocalizados de acordo com o teorema de Bloch. Do fator de onda plana na decomposição de Bloch das funções de onda, segue-se as únicas transições permitidas quando nenhuma outra partícula está envolvida está entre os estados cujos momentos de cristal diferem pelos vetores de rede recíprocos , ou seja, aqueles estados que estão no esquema de zona reduzida um acima do outro (daí o nome transições ópticas diretas ). ${\ displaystyle E (k)}$${\ displaystyle \ exp (i \ mathbf {k} \ cdot \ mathbf {r})}$${\ displaystyle \ mathbf {G}}$

Um outro conjunto de regras de selecção vem (ou ) quando a polarização de fotões contido em (ou ) e as simetrias de uma electrões Bloch estados iniciais e finais e são tidos em conta. Esses podem levar à supressão do sinal de fotoemissão em certas partes do espaço recíproco ou podem falar sobre a origem orbital atômica específica dos estados inicial e final. ${\ displaystyle M_ {fi}}$${\ displaystyle I_ {M}}$${\ displaystyle \ mathbf {A}}$${\ displaystyle \ mathbf {E_ {0}}}$${\ displaystyle | k_ {i} \ rangle}$${\ displaystyle | k_ {f} \ rangle}$

Efeitos de muitos corpos

Espectro ARPES da banda π renormalizada do grafeno dopado com elétrons ; luz de 40eV polarizada p, T = 80K. A linha pontilhada é a faixa nua. A torção em -0,2 eV é devido aos fônons do grafeno .

A função espectral de um elétron que é medida diretamente no ARPES mapeia a probabilidade de que o estado do sistema de N elétrons do qual um elétron foi removido instantaneamente seja qualquer um dos estados fundamentais do sistema de partículas N − 1:

${\ displaystyle A (\ mathbf {k}, E) = \ sum _ {m} \ left | \, \ left \ langle {\ begin {matrix} {\ scriptstyle (N-1) \, \ mathrm {eigenstate} } \\ {\ scriptstyle m} \ end {matrix}} \, \, | \, \, {\ begin {matrix} {\ scriptstyle (N) \, \ mathrm {eigenstate}} \\ {\ scriptstyle \ mathrm {com \,} \ mathbf {k} \ mathrm {\, removido}} \ end {matriz}} \ right \ rangle \, \ right | ^ {2} \, \ delta (E-E_ {m} ^ { N-1} + E ^ {N})}$.

Se os elétrons fossem independentes um do outro, o estado do elétron N com o estado removido seria exatamente um estado próprio do sistema de partículas N-1 e a função espectral se tornaria uma função delta infinitamente nítida na energia e momento da partícula removida; rastrearia a dispersão das partículas independentes no espaço de energia-momento . No caso de correlações eletrônicas aumentadas, a função espectral se amplia e começa a desenvolver características mais ricas que refletem as interações no sistema subjacente de muitos corpos . Estes são normalmente descritos pela correção complexa para a dispersão de energia de uma única partícula que é chamada de autoenergia de quase - partícula , ${\ displaystyle | k_ {i} \ rangle}$${\ displaystyle E_ {o} (\ mathbf {k})}$

${\ textstyle \ Sigma (\ mathbf {k}, E) = \ Sigma '(\ mathbf {k}, E) + i \ Sigma' '(\ mathbf {k}, E)}$.

Esta função contém todas as informações sobre a renormalização da dispersão eletrônica devido às interações e ao tempo de vida do orifício criado pela excitação. Ambos podem ser determinados experimentalmente a partir da análise de espectros ARPES de alta resolução sob algumas suposições razoáveis. Ou seja, pode-se supor que a parte do espectro é quase constante ao longo de direções de alta simetria no espaço de momento e que a única parte variável vem da função espectral, que em termos de , onde os dois componentes de são geralmente considerados como sendo apenas dependente de , lê ${\ displaystyle M_ {fi}}$${\ displaystyle \ Sigma}$${\ displaystyle \ Sigma}$${\ displaystyle E}$

${\ displaystyle A (\ mathbf {k}, E) = - {\ frac {1} {\ pi}} {\ frac {\ Sigma '' (E)} {\ left [E-E_ {o} (\ mathbf {k}) - \ Sigma '(E) \ direita] ^ {2} + \ esquerda [\ Sigma' '(E) \ direita] ^ {2}}}}$

Os cortes de energia constante da função espectral são aproximadamente Lorentzianos, cuja largura na metade do máximo é determinada pela parte imaginária da energia própria , enquanto seu desvio da banda nua é dado por sua parte real.

Esta função é conhecida no ARPES como uma varredura ao longo de uma direção escolhida no espaço de momento e é um mapa bidimensional da forma . Quando cortado em uma energia constante , uma curva do tipo Lorentzian em é obtida, cuja posição de pico renormalizada é dada por e cuja largura na metade do máximo é determinada por , como segue: ${\ displaystyle A (k, E)}$${\ displaystyle E_ {m}}$${\ displaystyle k}$${\ displaystyle k_ {m}}$${\ displaystyle \ Sigma '(E_ {m})}$${\ displaystyle w}$${\ displaystyle \ Sigma '' (E_ {m})}$

1. ${\ displaystyle \ Sigma '(E_ {m}) = E_ {m} -E_ {o} (k_ {m})}$
2. ${\ displaystyle \ Sigma '' (E_ {m}) = {\ frac {1} {2}} \ left [E_ {o} (k_ {m} + {\ textstyle {\ frac {1} {2}} } w) -E_ {o} (k_ {m} - {\ textstyle {\ frac {1} {2}}} w) \ right]}$

A única incógnita remanescente na análise é a banda nua . A banda nua pode ser encontrada de uma forma autoconsistente, impondo a relação de Kramers-Kronig entre os dois componentes da função complexa que é obtida a partir das duas equações anteriores. O algoritmo é o seguinte: comece com uma banda nua de ansatz , calcule pela eq. (2), transforme-o em usando a relação Kramers-Kronig , então use esta função para calcular a dispersão de banda nua em um conjunto discreto de pontos pela eq. (1), e alimentar o algoritmo com seu ajuste a uma curva adequada como uma nova banda nua de ansatz; a convergência é geralmente alcançada em algumas iterações rápidas. ${\ displaystyle E_ {o} (k)}$${\ displaystyle \ Sigma (E)}$${\ displaystyle \ Sigma '' (E)}$${\ displaystyle \ Sigma '(E)}$${\ displaystyle k_ {m}}$

A partir da autoenergia obtida dessa maneira, pode-se julgar a força e a forma das correlações elétron-elétron, interação elétron- fônon (mais geralmente, elétron- bóson ), energias ativas de fônon e tempos de vida de quasipartículas .

Em casos simples de achatamento de banda próximo ao nível de Fermi por causa da interação com os fônons de Debye , a massa da banda é aumentada por (1 + λ) e o fator de acoplamento elétron-fônon λ pode ser determinado a partir da dependência linear das larguras de pico na temperatura .

Usos

ARPES foi usado para mapear a estrutura de banda ocupada de muitos metais e semicondutores , estados que aparecem nas lacunas de banda projetadas em suas superfícies, estados de poços quânticos que surgem em sistemas com dimensionalidade reduzida , materiais de um átomo de espessura, como dichalcogenetos de metal de transição de grafeno , e muitos sabores de materiais topológicos . Ele também foi usado para mapear a estrutura de banda subjacente, lacunas e dinâmica de quasipartículas em materiais altamente correlacionados, como supercondutores de alta temperatura e materiais exibindo ondas de densidade de carga .

Quando a dinâmica do elétron nos estados ligados logo acima do nível de Fermi precisa ser estudada, a excitação de dois fótons em configurações de bomba-sonda ( 2PPE ) é usada. Lá, o primeiro fóton de energia baixa o suficiente é usado para excitar elétrons em bandas desocupadas que ainda estão abaixo da energia necessária para a fotoemissão (ou seja, entre os níveis de Fermi e de vácuo). O segundo fóton é usado para chutar esses elétrons para fora do sólido para que eles possam ser medidos com o ARPES. Ao cronometrar com precisão o segundo fóton, geralmente usando a multiplicação da frequência do laser pulsado de baixa energia e o atraso entre os pulsos alterando seus caminhos ópticos , o tempo de vida do elétron pode ser determinado na escala abaixo de picossegundos .

Notas

Referências

links externos

• Introdução ao ARPES na linha de luz Diamond Light Source i05