Potencial de vetor magnético - Magnetic vector potential
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Vetor potencial magnético , A , é a quantidade do vetor no eletromagnetismo clássico definido de modo a que a sua onda é igual ao campo magnético: . Juntamente com o potencial eléctrico φ , o potencial vector magnética pode ser utilizada para especificar o campo eléctrico E bem. Portanto, muitas equações do electromagnetismo pode ser escrito quer em termos dos campos E e B , ou de modo equivalente, em termos dos potenciais & Phi e um . Em teorias mais avançadas, como a mecânica quântica , a maioria das equações usa potenciais em vez de campos.
O potencial magnético vetorial foi introduzido pela primeira vez por Franz Ernst Neumann e Wilhelm Eduard Weber em 1845 e em 1846, respectivamente. Lord Kelvin também introduziu o potencial vetorial em 1847, junto com a fórmula que o relaciona com o campo magnético.
Potencial de vetor magnético
O potencial vetorial magnético A é um campo vetorial , definido juntamente com o potencial elétrico ϕ (um campo escalar ) pelas equações:
onde B é o campo magnético e E é o campo elétrico . Em magnetostática, onde não há distribuição de carga variável no tempo , apenas a primeira equação é necessária. (No contexto da eletrodinâmica , os termos potencial vetorial e potencial escalar são usados para o potencial vetorial magnético e potencial elétrico , respectivamente. Em matemática, o potencial vetorial e o potencial escalar podem ser generalizados para dimensões superiores.)
Se os campos elétricos e magnéticos são definidos como acima a partir dos potenciais, eles satisfazem automaticamente duas das equações de Maxwell : a lei de Gauss para o magnetismo e a lei de Faraday . Por exemplo, se A for contínuo e bem definido em todos os lugares, é garantido que não resultará em monopólos magnéticos . (Na teoria matemática dos monopólos magnéticos, A pode ser indefinido ou de valor múltiplo em alguns lugares; consulte o monopolo magnético para obter detalhes).
Começando com as definições acima e lembrando que a curvatura do gradiente é zero:
Alternativamente, a existência de A e ϕ é garantida a partir dessas duas leis usando o teorema de Helmholtz . Por exemplo, uma vez que o campo magnético é divergência -livre (lei de Gauss para o magnetismo, isto é, ∇ ⋅ B = 0 ), Uma existe sempre que corresponde à definição acima.
O potencial vetorial A é usado ao estudar o Lagrangiano na mecânica clássica e na mecânica quântica (ver equação de Schrödinger para partículas carregadas , equação de Dirac , efeito Aharonov-Bohm ).
No sistema SI , as unidades de A são V · s · m −1 e são as mesmas do momento por unidade de carga , ou força por unidade de corrente . No acoplamento mínimo , q A é chamado de momento potencial e é parte do momento canônico .
A integral de linha de A sobre um circuito fechado, Γ, é igual ao fluxo magnético , Φ B , através de uma superfície, S , que inclui:
Portanto, as unidades de A também são equivalentes a Weber por metro . A equação acima é útil na quantização de fluxo de loops supercondutores .
Embora o campo magnético B seja um pseudovetor (também chamado de vetor axial ), o potencial vetorial A é um vetor polar . Isso significa que se a regra da mão direita para produtos cruzados fosse substituída por uma regra da mão esquerda, mas sem alterar nenhuma outra equação ou definição, B trocaria de sinal, mas A não mudaria. Este é um exemplo de um teorema geral: a curvatura de um vetor polar é um pseudovetor e vice-versa.
Escolhas de calibre
A definição acima não define o potencial do vetor magnético exclusivamente porque, por definição, podemos adicionar arbitrariamente componentes sem enrolamento ao potencial magnético sem alterar o campo magnético observado. Assim, há um grau de liberdade disponíveis ao escolher um . Esta condição é conhecida como invariância de calibre .
Equações de Maxwell em termos de potencial vetorial
Usar a definição acima dos potenciais e aplicá-la às outras duas equações de Maxwell (aquelas que não são satisfeitas automaticamente) resulta em uma equação diferencial complicada que pode ser simplificada usando o medidor de Lorenz onde A é escolhido para satisfazer:
Usando o medidor de Lorenz, as equações de Maxwell podem ser escritas de forma compacta em termos do potencial vetorial magnético A e do potencial escalar elétrico ϕ :
Em outros medidores , as equações são diferentes. Uma notação diferente para escrever essas mesmas equações (usando quatro vetores ) é mostrada abaixo.
Cálculo de potenciais de distribuições de fonte
As soluções das equações de Maxwell no medidor de Lorenz (ver Feynman e Jackson) com a condição de contorno de que ambos os potenciais vão a zero suficientemente rápido à medida que se aproximam do infinito são chamadas de potenciais retardados , que são o potencial vetorial magnético A ( r , t ) e o potencial escalar elétrico ϕ ( r , t ) devido a uma distribuição de corrente de densidade de corrente J ( r ′, t ′) , densidade de carga ρ ( r ′, t ′) e volume Ω, dentro do qual ρ e J são não- zero pelo menos às vezes e alguns lugares):
onde os campos no vetor posição r e tempo t são calculados a partir de fontes na posição distante r ′ em um tempo anterior t ′. A localização r ′ é um ponto fonte na distribuição de carga ou corrente (também a variável de integração, dentro do volume Ω ). O tempo anterior t ′ é chamado de tempo retardado e calculado como
- .
Existem algumas coisas notáveis sobre A e ϕ calculados desta forma:
- A condição do medidor Lorenz : foi satisfeita.
- A posição de r , o ponto em que os valores de ϕ e A são encontrados, só entra na equação como parte da distância escalar de r ′ a r . A direção de r ′ para r não entra na equação. A única coisa que importa sobre um ponto de origem é a distância dele.
- O integrando usa o tempo retardado , t ′. Isso simplesmente reflete o fato de que as mudanças nas fontes se propagam na velocidade da luz. Conseqüentemente, as densidades de carga e corrente que afetam o potencial elétrico e magnético em r e t , da localização remota r ′, também devem estar em algum tempo anterior t ′.
- A equação para A é uma equação vetorial. Em coordenadas cartesianas, a equação se separa em três equações escalares:
- Dessa forma, é fácil ver que o componente de A em uma dada direção depende apenas dos componentes de J que estão na mesma direção. Se a corrente for conduzida por um fio longo e reto, A aponta na mesma direção do fio.
Em outros medidores, a fórmula para A e ϕ é diferente; por exemplo, consulte o medidor de Coulomb para outra possibilidade.
Representação do campo A
Veja Feynman para a representação do campo A em torno de um solenóide longo e fino .
Desde a
assumindo condições quase estáticas, ou seja,
as linhas e contornos de A se relacionam com B como as linhas e contornos de B se relacionam com j . Assim, uma representação do campo A em torno de um loop de fluxo B (como seria produzido em um indutor toroidal ) é qualitativamente igual ao campo B em torno de um loop de corrente.
A figura à direita é uma representação artística do campo A. As linhas mais grossas indicam caminhos de intensidade média mais alta (caminhos mais curtos têm intensidade mais alta, de modo que a integral do caminho é a mesma). As linhas são traçadas para (esteticamente) transmitir a aparência geral do A -field.
O desenho pressupõe tacitamente ∇ ⋅ A = 0 , verdadeiro sob uma das seguintes suposições:
- o medidor de Coulomb é assumido
- o medidor de Lorenz é assumido e não há distribuição de carga, ρ = 0
- o medidor Lorenz é assumido e a frequência zero é assumida
- o medidor Lorenz é assumido e uma frequência diferente de zero, mas suficientemente baixa para negligenciar é assumida
Quatro potenciais eletromagnéticos
No contexto da relatividade especial , é natural juntar o potencial do vetor magnético com o potencial elétrico (escalar) no potencial eletromagnético , também chamado de quatro potenciais .
Uma motivação para fazer isso é que o quatro-potencial é um quatro-vetor matemático . Assim, usando regras de transformação de quatro vetores padrão, se os potenciais elétricos e magnéticos são conhecidos em um referencial inercial, eles podem ser simplesmente calculados em qualquer outro referencial inercial.
Outra motivação relacionada é que o conteúdo do eletromagnetismo clássico pode ser escrito de uma forma concisa e conveniente usando o potencial eletromagnético quatro, especialmente quando o medidor de Lorenz é usado. Em particular, na notação de índice abstrata , o conjunto de equações de Maxwell (no calibre de Lorenz) pode ser escrito (em unidades gaussianas ) da seguinte forma:
onde □ é o d'Alembertiano e J é a quatro correntes . A primeira equação é a condição de medidor de Lorenz, enquanto a segunda contém as equações de Maxwell. Os quatro potenciais também desempenham um papel muito importante na eletrodinâmica quântica .
Veja também
Notas
Referências
- Duffin, WJ (1990). Eletricidade e magnetismo, quarta edição . McGraw-Hill.
- Feynman, Richard P; Leighton, Robert B; Sands, Matthew (1964). The Feynman Lectures on Physics Volume 2 . Addison-Wesley. ISBN 0-201-02117-X.
- Jackson, John David (1999), Classical Electrodynamics (3ª ed.), John Wiley & Sons , ISBN 0-471-30932-X
- Kraus, John D. (1984), Electromagnetics (3ª ed.), McGraw-Hill, ISBN 0-07-035423-5
links externos
- Mídia relacionada ao potencial do vetor magnético no Wikimedia Commons