Triangulação (levantamento) - Triangulation (surveying)

Triangulação da Ilha Kodiak no Alasca em 1929.

No levantamento , triangulação é o processo de determinar a localização de um ponto medindo apenas ângulos a ele de pontos conhecidos em qualquer extremidade de uma linha de base fixa, em vez de medir distâncias até o ponto diretamente como na trilateração . O ponto pode então ser fixado como o terceiro ponto de um triângulo com um lado conhecido e dois ângulos conhecidos.

A triangulação também pode se referir ao levantamento preciso de sistemas de triângulos muito grandes, chamados de redes de triangulação . Isso se seguiu ao trabalho de Willebrord Snell em 1615-17, que mostrou como um ponto pode ser localizado a partir dos ângulos subtendidos de três pontos conhecidos, mas medido no novo ponto desconhecido em vez dos pontos previamente fixos, um problema chamado ressecção . O erro de levantamento é minimizado se uma malha de triângulos na maior escala apropriada for estabelecida primeiro. Os pontos dentro dos triângulos podem ser localizados com precisão com referência a eles. Esses métodos de triangulação foram usados ​​para levantamentos precisos de terras em grande escala até o surgimento dos sistemas globais de navegação por satélite na década de 1980.

Princípio

A triangulação pode ser usada para encontrar a posição do navio quando as posições de A e B são conhecidas. Um observador em A mede o ângulo α , enquanto o observador em B mede β .

A posição de qualquer vértice de um triângulo pode ser calculada se a posição de um lado e dois ângulos forem conhecidos. As fórmulas a seguir são estritamente corretas apenas para uma superfície plana. Se a curvatura da Terra deve ser permitida, a trigonometria esférica deve ser usada.

Cálculo

Com l sendo a distância entre A e B , temos:

${\ displaystyle \ ell = {\ frac {d} {\ tan \ alpha}} + {\ frac {d} {\ tan \ beta}}}$

Usando as identidades trigonométricas tan α = sin α / cos α e sin (α + β) = sin α cos β + cos α sin β, isso é equivalente a:

${\ displaystyle \ ell = d \ left ({\ frac {\ cos \ alpha} {\ sin \ alpha}} + {\ frac {\ cos \ beta} {\ sin \ beta}} \ right)}$

${\ displaystyle \ ell = d \ {\ frac {\ sin (\ alpha + \ beta)} {\ sin \ alpha \ sin \ beta}}}$

Portanto:

${\ displaystyle d = \ ell \ {\ frac {\ sin \ alpha \ sin \ beta} {\ sin (\ alpha + \ beta)}}}$

A partir disso, é fácil determinar a distância do ponto desconhecido de qualquer ponto de observação, seus deslocamentos norte / sul e leste / oeste do ponto de observação e, finalmente, suas coordenadas completas.

História

Liu Hui (c. 263), Como medir a altura de uma ilha marítima. Ilustração de uma edição de 1726

Proposta de Gemma Frisius de 1533 para usar a triangulação para a cartografia

Rede de triangulação do século XIX para a triangulação da Renânia-Hesse

A triangulação hoje é usada para muitos propósitos, incluindo levantamento topográfico , navegação , metrologia , astrometria , visão binocular , modelos de foguetes e direção de armas .

No campo, os métodos de triangulação, aparentemente, não foram usados pelos romanos agrimensores especializados, os Agrimensores ; mas foram introduzidos na Espanha medieval por meio de tratados árabes sobre o astrolábio , como o de Ibn al-Saffar (falecido em 1035). Abu Rayhan Biruni (falecido em 1048) também introduziu técnicas de triangulação para medir o tamanho da Terra e as distâncias entre vários lugares. As técnicas romanas simplificadas parecem ter coexistido com técnicas mais sofisticadas usadas por agrimensores profissionais. Mas era raro que tais métodos fossem traduzidos para o latim (um manual de geometria, a Geomatria incerti auctoris do século XI é uma rara exceção), e essas técnicas parecem ter se infiltrado lentamente no resto da Europa. O aumento da consciência e do uso de tais técnicas na Espanha pode ser atestado pela equipe medieval de Jacob , usada especificamente para medir ângulos, que data de cerca de 1300; e o aparecimento de linhas costeiras pesquisadas com precisão nas cartas de Portolan , a mais antiga das quais sobreviveu é datada de 1296.

Gemma Frisius

Em terra, a cartógrafa Gemma Frisius propôs o uso de triangulação para posicionar com precisão lugares distantes para a confecção de mapas em seu panfleto Libellus de Locorum descripendorum ratione de 1533 ( livreto sobre uma maneira de descrever lugares ), que ele encadernou como um apêndice em um novo edição do 1524 Cosmographica mais vendido de Peter Apian . Isso se tornou muito influente e a técnica se espalhou pela Alemanha, Áustria e Holanda. O astrônomo Tycho Brahe aplicou o método na Escandinávia, completando uma triangulação detalhada em 1579 da ilha de Hven , onde seu observatório estava baseado, com referência a marcos importantes em ambos os lados do Øresund , produzindo um plano de propriedade da ilha em 1584. Na Inglaterra, o método de Frisius foi incluído no número crescente de livros sobre agrimensura que apareceram a partir de meados do século em diante, incluindo o Cosmographical Glasse de William Cuningham (1559), o Tratado de Valentine Leigh sobre a medição de todos os tipos de terras (1562), William Bourne 's regras de navegação (1571), Thomas Digges ' s geométrica Prática chamado Pantometria (1571), e John Norden 's Diálogo de peritos (1607). Foi sugerido que Christopher Saxton pode ter usado uma triangulação simples para colocar características em seus mapas de condados da década de 1570; mas outros supõem que, tendo obtido indicações aproximadas para características de pontos de vista importantes, ele pode ter estimado as distâncias até elas simplesmente por adivinhação.

Willebrord Snell

O uso sistemático moderno de redes de triangulação decorre do trabalho do matemático holandês Willebrord Snell , que em 1615 pesquisou a distância de Alkmaar a Breda , aproximadamente 72 milhas (116 quilômetros), usando uma cadeia de quadriláteros contendo 33 triângulos ao todo. Snell subestimou a distância em 3,5%. As duas cidades eram separadas por um grau no meridiano , então a partir de sua medição ele foi capaz de calcular um valor para a circunferência da Terra - um feito celebrado no título de seu livro Eratóstenes Batavus ( Os holandeses Eratóstenes ), publicado em 1617 Snell calculou como as fórmulas planas poderiam ser corrigidas para permitir a curvatura da Terra. Ele também mostrou como ressecar , ou calcular, a posição de um ponto dentro de um triângulo usando os ângulos moldados entre os vértices no ponto desconhecido. Isso poderia ser medido com muito mais precisão do que a orientação dos vértices, que dependia de uma bússola. Isso estabeleceu a ideia-chave de primeiro fazer o levantamento de uma rede primária em grande escala de pontos de controle e, em seguida, localizar os pontos subsidiários secundários, dentro dessa rede primária.

Desenvolvimentos posteriores

Os métodos de Snell foram adotados por Jean Picard, que em 1669-70 pesquisou um grau de latitude ao longo do Meridiano de Paris usando uma cadeia de treze triângulos estendendo-se ao norte de Paris até a torre do relógio de Sourdon , perto de Amiens . Graças às melhorias nos instrumentos e na precisão, o de Picard é classificado como a primeira medição razoavelmente precisa do raio da Terra. No século seguinte, esse trabalho foi ampliado principalmente pela família Cassini: entre 1683 e 1718, Jean-Dominique Cassini e seu filho Jacques Cassini pesquisaram todo o meridiano de Paris de Dunquerque a Perpignan ; e entre 1733 e 1740 Jacques e seu filho César Cassini empreenderam a primeira triangulação de todo o país, incluindo um re-levantamento do arco meridiano , levando à publicação em 1745 do primeiro mapa da França construído sobre princípios rigorosos.

Os métodos de triangulação já estavam bem estabelecidos para a cartografia local, mas foi apenas no final do século 18 que outros países começaram a estabelecer levantamentos detalhados de redes de triangulação para mapear países inteiros. A principal triangulação da Grã-Bretanha foi iniciada pelo Ordnance Survey em 1783, embora não tenha sido concluída até 1853; e o Grande Levantamento Trigonométrico da Índia, que finalmente nomeou e mapeou o Monte Everest e os outros picos do Himalaia, foi iniciado em 1801. Para o estado francês napoleônico, a triangulação francesa foi estendida por Jean-Joseph Tranchot para a Renânia alemã a partir de 1801, posteriormente concluído depois de 1815 pelo general prussiano Karl von Müffling . Enquanto isso, o famoso matemático Carl Friedrich Gauss foi encarregado de 1821 a 1825 da triangulação do reino de Hanover , para o qual ele desenvolveu o método dos mínimos quadrados para encontrar a solução mais adequada para problemas de grandes sistemas de equações simultâneas dados mais reais. medições do mundo do que incógnitas.

Hoje, as redes de triangulação em grande escala para posicionamento foram amplamente substituídas pelos sistemas globais de navegação por satélite estabelecidos desde os anos 1980, mas muitos dos pontos de controle para as pesquisas anteriores ainda sobrevivem como características históricas valiosas na paisagem, como os pilares de triangulação de concreto configurado para retriangulação da Grã-Bretanha (1936–1962), ou os pontos de triangulação configurados para o Arco Geodésico de Struve (1816–1855), agora classificado como Patrimônio Mundial da UNESCO .

Veja também

• Pesquisa Anglo-Francesa (1784-1790)
• Torre bilby
• Multilateração , onde um ponto é calculado usando a diferença de tempo de chegada entre outros pontos conhecidos
• Paralaxe
• Ressecção (orientação)
• SOCET SET
• Triangulação estelar
• Stereopsis
• Ponto Trig

Referências

Leitura adicional

• Bagrow, L. (1964) History of Cartography ; revisado e ampliado por RA Skelton. Harvard University Press.
• Crone, GR (1978 [1953]) Maps and their Makers: Uma Introdução à História da Cartografia (5ª ed).
• Tooley, RV & Bricker, C. (1969) A History of Cartography: 2500 Years of Maps and Mapmakers
• Keay, J. (2000) The Great Arc: The Dramatic Tale of How India Was Mapped and Everest Was Name . Londres: Harper Collins. ISBN  0-00-257062-9 .
• Murdin, P. (2009) Full Meridian of Glory: Perilous Adventures in the Competition to Measure the Earth . Springer. ISBN  978-0-387-75533-5 .