Triângulo retângulo especial - Special right triangle

O "triângulo 90-45-45" redireciona aqui. Para a ferramenta de desenho, consulte 90-45-45 set esquadro .
O "triângulo 30-60-90" redireciona aqui. Para a ferramenta de desenho, consulte 30-60-90 set square .
Posição de alguns triângulos especiais em um diagrama de Euler de tipos de triângulos, usando a definição de que triângulos isósceles têm pelo menos dois lados iguais, ou seja, triângulos equiláteros são isósceles.

Um triângulo retângulo especial é um triângulo retângulo com alguma característica regular que torna os cálculos no triângulo mais fáceis, ou para o qual existem fórmulas simples. Por exemplo, um triângulo retângulo pode ter ângulos que formam relações simples, como 45 ° –45 ° –90 °. Isso é chamado de triângulo retângulo "baseado em ângulo". Um triângulo retângulo "com base no lado" é aquele em que os comprimentos dos lados formam proporções de números inteiros , como 3: 4: 5, ou de outros números especiais, como a proporção áurea . Conhecer as relações dos ângulos ou proporções dos lados desses triângulos retângulos especiais permite calcular rapidamente vários comprimentos em problemas geométricos sem recorrer a métodos mais avançados.

Baseado em ângulo

Triângulos baseados em ângulos especiais inscritos em um círculo unitário são úteis para visualizar e lembrar funções trigonométricas de múltiplos de 30 e 45 graus.

Os triângulos retângulos especiais "baseados em ângulos" são especificados pelas relações dos ângulos dos quais o triângulo é composto. Os ângulos desses triângulos são tais que o ângulo maior (direito), que é de 90 graus ou π / 2 radianos , é igual à soma dos outros dois ângulos.

Os comprimentos laterais são geralmente deduzidos com base no círculo unitário ou outros métodos geométricos . Esta abordagem pode ser usada para reproduzir rapidamente os valores das funções trigonométricas para os ângulos 30 °, 45 ° e 60 °.

Triângulos especiais são usados ​​para auxiliar no cálculo de funções trigonométricas comuns, conforme abaixo:

graus radianos gons voltas pecado porque bronzeado cotan
0 ° 0 0 g 0 √ 0 / 2 = 0 √ 4 / 2 = 1 0 Indefinido
30 ° π / 6 33 + 1 / 3 g 1 / 12 √ 1 / 2 = 1 / 2 √ 3 / 2 1 / √ 3 √ 3
45 ° π / 4 50 g 1 / 8 √ 2 / 2 = 1 / √ 2 √ 2 / 2 = 1 / √ 2 1 1
60 ° π / 3 66 + 2 / 3 g 1 / 6 √ 3 / 2 √ 1 / 2 = 1 / 2 √ 3 1 / √ 3
90 ° π / 2 100 g 1 / 4 √ 4 / 2 = 1 √ 0 / 2 = 0 Indefinido 0
45 ° –45 ° –90 °
30 ° –60 ° –90 °

O triângulo 45 ° –45 ° –90 °, o triângulo 30 ° –60 ° –90 ° e o triângulo equilátero / equiangular (60 ° –60 ° –60 °) são os três triângulos Möbius no plano, o que significa que eles tesselar o plano por meio de reflexos em seus lados; veja o grupo Triângulo .

Triângulo 45 ° –45 ° –90 °

Esquadro
Os comprimentos laterais de um triângulo de 45 ° –45 ° –90 °

Na geometria plana , construir a diagonal de um quadrado resulta em um triângulo cujos três ângulos estão na proporção 1: 1: 2, somando 180 ° ou π radianos. Portanto, os ângulos medem respectivamente 45 ° ( π / 4 ), 45 ° ( π / 4 ), e 90 ° ( π / 2 ) Os lados deste triângulo estão na proporção 1: 1:  √ 2 , que segue imediatamente do teorema de Pitágoras .

De todos os triângulos retângulos, o triângulo de 45 ° –45 ° –90 ° graus tem a menor proporção da hipotenusa para a soma das pernas, a saber √ 2 / 2 . e a maior proporção da altitude da hipotenusa para a soma das pernas, a saber √ 2 / 4 .

Os triângulos com esses ângulos são os únicos triângulos retângulos possíveis que também são triângulos isósceles na geometria euclidiana . No entanto, na geometria esférica e na geometria hiperbólica , existem infinitas formas diferentes de triângulos isósceles retos.

Triângulo 30 ° –60 ° –90 °

Esquadro
Os comprimentos laterais de um triângulo de 30 ° –60 ° –90 °

Este é um triângulo cujos três ângulos estão na proporção 1: 2: 3 e medem respectivamente 30 ° ( π / 6 ), 60 ° ( π / 3 ), e 90 ° ( π / 2 ) Os lados estão na proporção 1:  √ 3  : 2.

A prova desse fato é clara usando a trigonometria . A prova geométrica é:

Desenhe um triângulo equilátero ABC com o comprimento do lado 2 e com o ponto D como o ponto médio do segmento BC . Desenhar uma linha de altitudes de Um para D . Então ABD é um triângulo de 30 ° –60 ° –90 ° com hipotenusa de comprimento 2 e base BD de comprimento 1.
O fato de a perna restante AD ter comprimento √ 3 segue imediatamente do teorema de Pitágoras .

O triângulo 30 ° –60 ° –90 ° é o único triângulo retângulo cujos ângulos estão em progressão aritmética . A prova desse fato é simples e segue do fato de que se α , α + δ , α + 2 δ são os ângulos na progressão, então a soma dos ângulos 3 α + 3 δ = 180 °. Depois de dividir por 3, o ângulo α + δ deve ser 60 °. O ângulo reto é de 90 °, deixando o ângulo restante de 30 °.

De base lateral

Os triângulos retângulos cujos lados têm comprimentos inteiros , com os lados conhecidos coletivamente como triplos pitagóricos , possuem ângulos que não podem ser todos números racionais de graus . (Isso decorre do teorema de Niven .) Eles são mais úteis porque podem ser facilmente lembrados e qualquer múltiplo dos lados produz a mesma relação. Usando a fórmula de Euclides para gerar triplos pitagóricos, os lados devem estar na proporção

m 2 - n 2  : 2 mn  : m 2 + n 2

onde m e n são quaisquer inteiros positivos tais que m > n .

Triplos Pitagóricos Comuns

Artigo principal: Triplo pitagórico

Existem vários triplos pitagóricos bem conhecidos, incluindo aqueles com lados nas proporções:

3: 4 : 5
5: 12 : 13
8: 15 : 17
7: 24 : 25
9: 40 : 41

Os triângulos 3: 4: 5 são os únicos triângulos retângulos com arestas em progressão aritmética . Os triângulos baseados em triplos pitagóricos são heronianos , o que significa que eles têm áreas inteiras , bem como lados inteiros.

O possível uso do triângulo 3: 4: 5 no Antigo Egito , com o suposto uso de uma corda com nós para traçar tal triângulo, e a questão de saber se o teorema de Pitágoras era conhecido naquela época, foram muito debatidos. Foi conjecturado pela primeira vez pelo historiador Moritz Cantor em 1882. Sabe-se que os ângulos retos foram definidos com precisão no Egito Antigo; que seus topógrafos usaram cordas para medição; que Plutarco registrou em Ísis e Osíris (por volta de 100 DC) que os egípcios admiravam o triângulo 3: 4: 5; e que o Papiro de Berlim 6619 do Médio Reino do Egito (antes de 1700 aC) afirmava que "a área de um quadrado de 100 é igual à de dois quadrados menores. O lado de um é ½ + ¼ do outro. " O historiador da matemática Roger L. Cooke observa que "É difícil imaginar alguém interessado em tais condições sem conhecer o teorema de Pitágoras". Contra isso, Cooke observa que nenhum texto egípcio antes de 300 aC realmente menciona o uso do teorema para encontrar o comprimento dos lados de um triângulo, e que existem maneiras mais simples de construir um ângulo reto. Cooke conclui que a conjectura de Cantor permanece incerta: ele adivinha que os antigos egípcios provavelmente conheciam o teorema de Pitágoras, mas que "não há evidências de que eles o usaram para construir ângulos retos".

A seguir estão todas as razões triplas pitagóricas expressas na forma mais baixa (além das cinco menores na forma mais baixa na lista acima) com ambos os lados não-hipotenusa menores que 256:

11: 60 : 61     
12: 35 : 37
13: 84 : 85
15: 112 : 113
16: 63 : 65
17: 144 : 145
19: 180 : 181
20: 21 : 29
20: 99 : 101
21: 220 : 221
24: 143 : 145     
28: 45 : 53
28: 195 : 197
32: 255 : 257
33: 56 : 65
36: 77 : 85
39: 80 : 89
44: 117 : 125
48: 55 : 73
51: 140 : 149
52: 165 : 173     
57: 176 : 185
60: 91 : 109
60: 221 : 229
65: 72 : 97
84: 187 : 205
85: 132 : 157
88: 105 : 137
95: 168 : 193
96: 247 : 265
104: 153 : 185
105: 208 : 233
115: 252 : 277
119: 120 : 169
120: 209 : 241
133: 156 : 205
140: 171 : 221
160: 231 : 281
161: 240 : 289
204: 253 : 325
207: 224 : 305

Triplos pitagóricos quase isósceles

Os triângulos retângulos isósceles não podem ter lados com valores inteiros, porque a proporção da hipotenusa para qualquer outro lado é √ 2 e √ 2 não pode ser expressa como uma proporção de dois inteiros . No entanto, existem infinitamente muitos triângulos retângulos quase isósceles . Esses são triângulos retângulos com lados inteiros, nos quais os comprimentos das bordas não hipotenusas diferem em um. Esses triângulos retângulo quase isósceles podem ser obtidos recursivamente,

a 0 = 1, b 0 = 2
a n = 2 b n −1 + a n −1
b n = 2 a n + b n −1

a n é o comprimento da hipotenusa, n = 1, 2, 3, .... Equivalentemente,

onde { x , y } são soluções para a equação de Pell x 2 - 2 y 2 = −1 , com a hipotenusa y sendo os termos ímpares dos números de Pell 1 , 2, 5 , 12, 29 , 70, 169 , 408, 985 , 2378 ... (sequência A000129 no OEIS ) .. Os menores triplos pitagóricos resultantes são:

3: 4 : 5
20: 21 : 29
119: 120 : 169
696: 697 : 985
4.059: 4.060 : 5.741
23.660: 23.661 : 33.461
137.903: 137.904 : 195.025
803.760: 803.761 : 1.136.689
4.684.659:  4.684.660  : 6.625.109

Alternativamente, os mesmos triângulos podem ser derivados dos números triangulares quadrados .

Progressões aritméticas e geométricas

Um triângulo Kepler é um triângulo retângulo formado por três quadrados com áreas em progressão geométrica de acordo com a proporção áurea .
Artigo principal: triângulo Kepler

O triângulo Kepler é um triângulo retângulo cujos lados estão em progressão geométrica . Se os lados são formados a partir da progressão geométrica a , ar , ar 2, então sua razão comum r é dada por r = √ φ onde φ é a razão áurea . Seus lados estão, portanto, na proporção 1: √ φ  : φ . Assim, a forma do triângulo Kepler é determinada exclusivamente (até um fator de escala) pelo requisito de que seus lados estejam em progressão geométrica.

O triângulo 3–4–5 é o triângulo retângulo exclusivo (até a escala) cujos lados estão em progressão aritmética .

Lados de polígonos regulares

Os lados de um pentágono, hexágono e decágono, inscritos em círculos congruentes , formam um triângulo retângulo

Seja a = 2 pecado  π / 10 = -1 + √ 5 / 2 = 1 / φ ser o comprimento lateral de um decágono regular inscrito no círculo unitário, onde φ é a proporção áurea. Seja b = 2 pecado  π / 6 = 1 é o comprimento lateral de um hexágono regular no círculo unitário, e seja c = 2 sen  π / 5 = ser o comprimento lateral de um pentágono regular no círculo unitário. Então a 2 + b 2 = c 2 , então esses três comprimentos formam os lados de um triângulo retângulo. O mesmo triângulo forma a metade de um retângulo dourado . Também pode ser encontrado dentro de um icosaedro regular de comprimento lateral c : o segmento de linha mais curto de qualquer vértice V ao plano de seus cinco vizinhos tem comprimento a , e os pontos finais deste segmento de linha junto com qualquer um dos vizinhos de V formam o vértices de um triângulo retângulo com lados a , b e c .

Veja também

Referências

  1. ^ a b Posamentier, Alfred S., e Lehman, Ingmar. Os segredos dos triângulos . Prometheus Books, 2012.
  2. ^ Weisstein, Eric W. "Rational Triangle" . MathWorld .
  3. ^ a b c d e f Cooke, Roger L. (2011). A História da Matemática: Um Breve Curso (2ª ed.). John Wiley & Sons. pp. 237–238. ISBN   978-1-118-03024-0 .
  4. ^ Gillings, Richard J. (1982). Matemática na época dos Faraós . Dover. p.  161 .
  5. ^ Esqueça, TW; Larkin, TA (1968), "tríades pitagóricas da forma x , x  + 1, z descritas por sequências de recorrência" (PDF) , Fibonacci Quarterly , 6 (3): 94-104 .
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  8. ^ Nyblom, MA (1998), "Uma nota sobre o conjunto de triângulos retângulo quase isósceles" (PDF) , The Fibonacci Quarterly , 36 (4): 319-322, MR   1640364 .
  9. ^ Beauregard, Raymond A .; Suryanarayan, ER (1997), "Arithmetic triângulos", Mathematics Magazine , 70 (2): 105-115, doi : 10.2307 / 2691431 , MR   1448883 .
  10. ^ De Euclides Elementos , Livro XIII, Proposição 10 .
  11. ^ nLab: identidade do hexágono do decágono do pentágono .

links externos