Altitude (triângulo) - Altitude (triangle)
Em geometria , a altitude de um triângulo é um segmento de linha através de um vértice e perpendicular a (isto é, formando um ângulo reto com) uma linha que contém a base (o lado oposto ao vértice). Essa linha que contém o lado oposto é chamada de base estendida da altitude. A intersecção da base estendida e a altitude é chamada de pé da altitude. O comprimento da altitude, muitas vezes chamado simplesmente de "altitude", é a distância entre a base estendida e o vértice. O processo de desenhar a altitude do vértice ao pé é conhecido como diminuir a altitude nesse vértice. É um caso especial de projeção ortogonal .
As altitudes podem ser usadas no cálculo da área de um triângulo: metade do produto do comprimento de uma altitude e o comprimento de sua base é igual à área do triângulo. Portanto, a maior altitude é perpendicular ao lado mais curto do triângulo. As altitudes também estão relacionadas aos lados do triângulo por meio das funções trigonométricas .
Em um triângulo isósceles (um triângulo com dois lados congruentes ), a altitude tendo o lado incongruente como sua base terá o ponto médio desse lado como seu pé. Além disso, a altitude tendo o lado incongruente como base será a bissetriz do ângulo do vértice.
É comum marcar a altitude com a letra h (como em altura ), muitas vezes subscrita com o nome do lado para o qual a altitude é desenhada.
Em um triângulo retângulo , a altitude desenhada para a hipotenusa c divide a hipotenusa em dois segmentos de comprimentos p e q . Se denotarmos o comprimento da altitude por h c , temos então a relação
Para triângulos agudos, os pés das altitudes ficam todos nos lados do triângulo (não estendidos). Em um triângulo obtuso (um com um ângulo obtuso ), o pé da altitude para o vértice de ângulo obtuso cai no interior do lado oposto, mas os pés das altitudes para os vértices de ângulo agudo caem no lado estendido oposto , exterior ao triângulo. Isso é ilustrado no diagrama adjacente: neste triângulo obtuso, uma altitude descida perpendicularmente do vértice superior, que tem um ângulo agudo, cruza o lado horizontal estendido fora do triângulo.
Ortocentro
Os três (possivelmente alargado) altitudes se intersectam num ponto único, chamado o ortocentro do triângulo, geralmente indicado por H . O ortocentro fica dentro do triângulo se e somente se o triângulo é agudo (ou seja, não tem um ângulo maior ou igual a um ângulo reto). Se um ângulo é um ângulo reto, o ortocentro coincide com o vértice no ângulo reto.
Sejam A , B , C denotando os vértices e também os ângulos do triângulo, e sejam a = | BC |, b = | CA |, c = | AB | ser os comprimentos laterais. O ortocentro tem coordenadas trilineares
Uma vez que as coordenadas baricêntricas são todas positivas para um ponto no interior de um triângulo, mas pelo menos uma é negativa para um ponto no exterior, e duas das coordenadas baricêntricas são zero para um ponto de vértice, as coordenadas baricêntricas dadas para o ortocentro mostram que o ortocentro está no interior de um triângulo agudo , no vértice em ângulo reto de um triângulo retângulo e no exterior de um triângulo obtuso .
No plano complexo , deixe os pontos A , B e C representam os números , e, respectivamente, e assumir que o circuncentro do triângulo ABC está localizado na origem do plano. Então, o número complexo
é representado pelo ponto H , ou seja, o ortocentro do triângulo ABC . A partir disso, as seguintes caracterizações do ortocentro H por meio de vetores livres podem ser estabelecidas de forma direta:
A primeira das identidades vetoriais anteriores também é conhecida como o problema de Sylvester , proposto por James Joseph Sylvester .
Propriedades
Sejam D , E e F denotando os pés das altitudes de A , B e C, respectivamente. Então:
- O produto dos comprimentos dos segmentos em que o ortocentro divide uma altitude é o mesmo para todas as três altitudes:
- O círculo centrado em H tendo o raio a raiz quadrada dessa constante é o círculo polar do triângulo .
- A soma das razões nas três altitudes da distância do ortocentro da base ao comprimento da altitude é 1: (Esta propriedade e a próxima são aplicações de uma propriedade mais geral de qualquer ponto interior e os três cevians através isto.)
- A soma das razões nas três altitudes da distância do ortocentro do vértice ao comprimento da altitude é 2:
- O conjugado isogonal do ortocentro é o circuncentro do triângulo.
- O conjugado isotômico do ortocentro é o ponto simmediano do triângulo anticomplementar .
- Quatro pontos no plano, de modo que um deles seja o ortocentro do triângulo formado pelos outros três, são chamados de sistema ortocêntrico ou quadrilátero ortocêntrico.
Relação com círculos e cônicas
Denotam o circumradius do triângulo por R . Então
Além disso, denotando r como o raio do incírculo do triângulo , r a , r b e r c como os raios de seus círculos , e R novamente como o raio de seu circunferência, as seguintes relações são mantidas em relação às distâncias do ortocentro a partir de os vértices:
Se qualquer altitude, por exemplo, AD , é estendida para interceptar o circuncírculo em P , de modo que AP é uma corda do circuncírculo, então o pé D corta o segmento HP :
As diretrizes de todas as parábolas que são tangentes externamente a um lado de um triângulo e tangentes às extensões dos outros lados passam pelo ortocentro.
Uma circuncisão que passa pelo ortocentro de um triângulo é uma hipérbole retangular .
Relação com outros centros, o círculo de nove pontos
O ortocentro H , o centróide G , o circuncentro O e o centro N do círculo de nove pontos estão todos em uma única linha, conhecida como linha de Euler . O centro do círculo de nove pontos fica no ponto médio da linha de Euler, entre o ortocentro e o circuncentro, e a distância entre o centróide e o circuncentro é a metade daquela entre o centróide e o ortocentro:
O ortocentro está mais perto do incentivo I do que do centróide, e o ortocentro está mais longe do que o incentivo está do centróide:
Em termos dos lados a, b, c , inradius r e circumradius R ,
Triângulo Órtico
Se o triângulo ABC for oblíquo (não contém um ângulo reto), o triângulo pedal do ortocentro do triângulo original é chamado de triângulo ortic ou triângulo de altitude . Ou seja, os pés das altitudes de um triângulo oblíquo formam o triângulo ortico, DEF . Além disso, o incentivo (o centro do círculo inscrito) do triângulo ortic DEF é o ortocentro do triângulo ABC original .
Coordenadas trilineares para os vértices do triângulo ortic são dadas por
- D = 0: seg B : seg C
- E = s A : 0: s C
- F = segundo A : segundo B : 0 .
Os lados estendidos do triângulo ortic se encontram com os lados estendidos opostos de seu triângulo de referência em três pontos colineares .
Em qualquer triângulo agudo , o triângulo inscrito com o menor perímetro é o triângulo ortico. Esta é a solução para o problema de Fagnano , colocado em 1775. Os lados do triângulo ortico são paralelos às tangentes à circunferência nos vértices do triângulo original.
O triângulo ortic de um triângulo agudo fornece uma rota de luz triangular.
As linhas tangentes do círculo de nove pontos nos pontos médios dos lados do ABC são paralelas aos lados do triângulo ortic, formando um triângulo semelhante ao triângulo ortic.
O triângulo ortic está intimamente relacionado ao triângulo tangencial , construído da seguinte maneira: seja L A a reta tangente à circunferência do triângulo ABC no vértice A , e defina L B e L C analogamente. Seja A " = L B ∩ L C , B" = L C ∩ L A , C " = L C ∩ L A. O triângulo tangencial é A" B "C" , cujos lados são as tangentes à circunferência do triângulo ABC em seus vértices; é homotético ao triângulo ortico. O circuncentro do triângulo tangencial e o centro de similitude dos triângulos ortic e tangencial estão na linha de Euler .
Coordenadas trilineares para os vértices do triângulo tangencial são dadas por
- A " = - a : b : c
- B " = a : - b : c
- C " = a : b : - c .
Para mais informações sobre o triângulo ortic, veja aqui .
Alguns teoremas de altitude adicionais
Altitude em termos dos lados
Para qualquer triângulo com lados a, b, c e semiperímetro s = ( a + b + c ) / 2 , a altitude do lado a é dada por
Isto resulta da combinação de fórmula de Heron para a área de um triângulo em termos dos lados com a fórmula área (1/2) x x altura de base, em que a base é tomado como parte de uma e a altura é a altitude de uma .
Teoremas de Inradius
Considere um triângulo arbitrário com lados a, b, c e com as altitudes correspondentes h a , h b e h c . As altitudes e o raio incircular r estão relacionados por
Teorema de circunradius
Denotando a altitude de um lado de um triângulo como h a , os outros dois lados como b e c , e o circumradius do triângulo (raio do círculo circunscrito do triângulo) como R , a altitude é dada por
Ponto Interior
Se p 1 , p 2 e p 3 são as distâncias perpendiculares de qualquer ponto P aos lados, e h 1 , h 2 e h 3 são as altitudes aos respectivos lados, então
Teorema da área
Denotando as altitudes de qualquer triângulo de lados um , b , e c , respectivamente, como , , e e denota a semi-soma dos recíprocos dos altitudes como temos
Ponto geral em uma altitude
Se E for qualquer ponto em uma altitude AD de qualquer triângulo ABC , então
Triângulos de caso especial
Triângulo Equilátero
Para qualquer ponto P dentro de um triângulo equilátero , a soma das perpendiculares aos três lados é igual à altitude do triângulo. Este é o teorema de Viviani .
Triângulo retângulo
Em um triângulo retângulo, as três altitudes h a , h b e h c (as duas primeiras são iguais aos comprimentos da perna b e a, respectivamente) estão relacionadas de acordo com
Isso também é conhecido como teorema de Pitágoras inverso .
História
O teorema de que as três altitudes de um triângulo se encontram em um único ponto, o ortocentro, foi provado pela primeira vez em uma publicação de 1749 por William Chapple .
Veja também
Notas
Referências
- Altshiller-Court, Nathan (2007) [1952], College Geometry , Dover Publications
- Berele, Allan; Goldman, Jerry (2001), Geometria / Teoremas e Construções , Prentice Hall, ISBN 0-13-087121-4
- Johnson, Roger A. (2007) [1960], Advanced Euclidean Geometry , Dover, ISBN 978-0-486-46237-0
- Smart, James R. (1998), Modern Geometries (5ª ed.), Brooks / Cole, ISBN 0-534-35188-3
links externos
- Weisstein, Eric W. "Altitude" . MathWorld .
- Ortocentro de um triângulo com animação interativa
- Demonstração animada da construção do ortocentro Compasso e régua.
- O Problema de Fagnano, de Jay Warendorff, Wolfram Demonstrations Project .