Toro sólido - Solid torus

Toro sólido

Em matemática , um toro sólido é o espaço topológico formado pelo movimento de um disco em torno de um círculo . É homeomórfico ao produto cartesiano do disco e do círculo, dotado da topologia do produto . ${\ displaystyle S ^ {1} \ times D ^ {2}}$

Uma forma padrão de visualizar um toro sólido é como um toroide , embutido em 3 espaços . No entanto, deve ser diferenciado de um toro , que tem a mesma aparência visual: o toro é o espaço bidimensional na fronteira de um toroide, enquanto o toro sólido inclui também o espaço interior compacto encerrado pelo toro.

Propriedades topológicas

O toro sólido é uma variedade tridimensional conectada , compacta e orientável com limite. O limite é homeomórfico ao toro comum . ${\ displaystyle S ^ {1} \ times S ^ {1}}$

Como o disco é contrátil , o toro sólido tem o tipo de homotopia de um círculo ,. Portanto, o grupo fundamental e os grupos de homologia são isomórficos aos do círculo: ${\ displaystyle D ^ {2}}$${\ displaystyle S ^ {1}}$

${\ displaystyle {\ begin {alinhado} \ pi _ {1} \ left (S ^ {1} \ times D ^ {2} \ right) & \ cong \ pi _ {1} \ left (S ^ {1} \ right) \ cong \ mathbb {Z}, \\ H_ {k} \ left (S ^ {1} \ times D ^ {2} \ right) & \ cong H_ {k} \ left (S ^ {1} \ right) \ cong {\ begin {cases} \ mathbb {Z} & {\ text {if}} k = 0,1, \\ 0 & {\ text {caso contrário}}. \ end {cases}} \ end { alinhado}}}$

Veja também

• Cheerios
• Cirurgia hiperbólica de Dehn
• Foliação Reeb
• Manifold de Whitehead

Referências

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• v
• t
• e