cirurgia hiperbólica Dehn - Hyperbolic Dehn surgery

Em matemática , cirurgia Dehn hiperbólica é uma operação pelo qual se pode obter mais hiperbólicas 3-p a partir de um dado hiperbólica 3-colector cúspides. Cirurgia Dehn hiperbólica só existe em três dimensões e é uma que distingue geometria hiperbólica em três dimensões a partir de outras dimensões.

Tal operação é muitas vezes também chamado hiperbólico enchimento Dehn , como cirurgia Dehn refere-se adequada a uma "broca e preencher" operação em um link que consiste em perfurar um bairro do link e, em seguida, encher de volta com toros sólidos. Cirurgia hiperbólica Dehn realmente envolve apenas "enchimento".

Vamos geralmente assumem que a hiperbólica 3-variedade é completa.

Suponhamos que M é um hiperbólica 3-colector cúspides com n cúspides. M pode ser pensado, topologicamente, como o interior de um colector compacto com limite toral. Suponha que nós escolhemos um meridiano e longitude para cada toro de fronteira, ou seja, curvas fechadas simples que são geradores para o grupo fundamental do toro. Vamos denotar o colector obtido a partir de H, preenchendo o i toro limite -ésimo com um toro sólidos usando a encosta , onde cada par e são números primos entre si. Nós permitimos a ser o que significa que não preencher esse limite, ou seja, fazer o "vazio" Dehn enchimento. Assim, M = . ${\ Displaystyle M (u_ {1}, u_ {2}, \ pontos, u_ {n})}$${\ Displaystyle u_ {i} = P_ {i} / Q_ {i}}$${\ Displaystyle p_ {i}}$${\ Displaystyle Q_ {i}}$${\ Displaystyle u_ {i}}$${\ Displaystyle \ infty}$${\ Displaystyle M (\ infty, \ pontos, \ infty)}$

Nós equipar o espaço H do volume finito hiperbólicas 3-variedades com a topologia geométrica .

Hiperbólicas Dehn cirurgia teorema de Thurston estados: é hiperbólica, enquanto um conjunto finito de encostas excepcionais é evitado para o i cúspide -ésimo para cada i . Além disso, converge para M em H como todos para todos correspondente para recheios Dehn não vazios . ${\ Displaystyle M (u_ {1}, u_ {2}, \ pontos, u_ {n})}$ ${\ Displaystyle E_ {i}}$${\ Displaystyle M (u_ {1}, u_ {2}, \ pontos, u_ {n})}$${\ Displaystyle P_ {i} ^ {2} + q_ {i} ^ {2} \ rightarrow \ infty}$${\ Displaystyle p_ {i} / Q_ {i}}$${\ Displaystyle u_ {i}}$

Este teorema é devido a William Thurston e fundamental para a teoria da hiperbólicas 3-variedades. Ele mostra que existem limites não triviais em H . Estudo da topologia geométrica mais do Troels Jorgensen mostra que todos os limites não triviais surgir por Dehn enchimento como no teorema.

Outro resultado importante por Thurston é que o volume diminui sob hiperbólica enchimento Dehn. Na verdade, o teorema indica que o volume diminui sob topológica enchimento Dehn, assumindo, evidentemente, que o colector Dehn-cheia é hiperbólica. A prova se baseia em propriedades básicas do norma Gromov .

Jørgensen também mostrou que a função volume deste espaço é uma contínua , adequada função. Assim, pelos resultados anteriores, limites não triviais em H são levados para limites não triviais no conjunto de volumes. Na verdade, pode-se concluir ainda mais, como fez Thurston, que o conjunto de volumes do volume finito hiperbólicas 3-p tem tipo ordinal . Este resultado é conhecido como o teorema Thurston-Jørgensen . Mais trabalho caracterizar este conjunto foi feito por Gromov . ${\ Displaystyle \ omega ^ {\ omega}}$

O Nó em oito e a (-2, 3, 7) nó pretzel são os únicos dois nós cujos complementos são conhecidos por ter mais do que 6 cirurgias excepcionais; eles têm 10 e 7, respectivamente. Cameron Gordon conjecturou que 10 é o maior número possível de cirurgias excepcionais de qualquer complemento nó hiperbólica. Isto foi provado por Marc Lackenby e Rob Meyerhoff, que mostram que o número de pistas 10 é excepcionais para qualquer orientável compacto 3-colector com um toro de limite e finito-volume interior hiperbólica. Sua prova conta com a prova da conjectura da geometrização originada por Grigori Perelman e na assistência informática . No entanto, não se sabe actualmente se o nó em forma de oito, é a única que alcança o limite de 10. Um conjectura bem conhecido é que o ligado (excepto para os dois nós mencionadas) é 6. Agol demonstrou que existem apenas um número finito de casos em que o número de pistas excepcionais é 9 ou 10.

Referências

• Ian Agol, Bounds em Dehn excepcional enchendo II , Geom. Topol. 14 (2010) 1921-1940. arXiv: 0803: 3088
• Robion Kirby , Problemas em baixo-dimensional topologia , (ver problema 1.77, devido a Cameron Gordon , por encostas excepcionais)
• Marc Lackenby e Robert Meyerhoff, o número máximo de cirurgias Dehn excepcionais , arXiv: 0808.1176
• William Thurston , A geometria e da topologia de 3-variedades , Princeton notas de aula (1978-1981).