Cirurgia Dehn - Dehn surgery

Em topologia , um ramo da matemática, uma cirurgia Dehn , em homenagem a Max Dehn , é uma construção usada para modificar três variedades . O processo recebe como entrada um manifold 3 junto com um link . Muitas vezes é conceituado como duas etapas: perfuração e enchimento .

Definições

• Dado um 3-colector e uma ligação , o colector perfurado ao longo é obtido por remoção de um aberta vizinhança tubular de partir . Se , o coletor perfurado tem componentes de limite de toro . O coletor perfurado também é conhecido como complemento de ligação , uma vez que se removemos a vizinhança tubular fechada correspondente , obtém-se um coletor difeomórfico para .${\ displaystyle M}$ ${\ displaystyle L \ subset M}$${\ displaystyle M}$${\ displaystyle L}$${\ displaystyle L}$${\ displaystyle M}$${\ displaystyle L = L_ {1} \ cup \ dots \ cup L_ {k}}$${\ displaystyle k}$${\ displaystyle T_ {1} \ cup \ dots \ cup T_ {k}}$${\ displaystyle M}$${\ displaystyle L}$${\ displaystyle M}$${\ displaystyle M \ setminus L}$
• Dada uma variedade 3 cujo limite é feito de 2 toros , podemos colar em um toro sólido por um homeomorfismo (resp. Difeomorfismo ) de seu limite para cada um dos componentes do limite do toro da variedade 3 original. Existem muitas maneiras desiguais de fazer isso, em geral. Este processo é denominado enchimento Dehn .${\ displaystyle T_ {1} \ cup \ dots \ cup T_ {k}}$${\ displaystyle T_ {i}}$
• A cirurgia de Dehn em um manifold de 3 contendo um elo consiste em perfurar uma vizinhança tubular do elo juntamente com o preenchimento de Dehn em todos os componentes do limite correspondente ao elo.

A fim de descrever uma cirurgia de Dehn (ver Rolfsen, Dale (1976). Knots and Links (PDF) . Publish or Perish. P. 259.), escolhe-se duas curvas fechadas simples orientadas e no toro de contorno correspondente da variedade 3 perfurada, onde é um meridiano de (uma curva que permanece em uma pequena bola e tendo número de ligação +1 com ou, equivalentemente, uma curva que limita um disco que cruza uma vez o componente ) e é uma longitude de (uma curva viajando uma vez ao longo ou, equivalentemente, uma curva em que a interseção algébrica é igual a +1). As curvas e geram o grupo fundamental do toro , e formam a base de seu primeiro grupo de homologia . Isso dá a qualquer curva fechada simples no toro duas coordenadas e , de modo que . Essas coordenadas dependem apenas da classe de homotopia de . ${\ displaystyle m_ {i}}$${\ displaystyle \ ell _ {i}}$${\ displaystyle T_ {i}}$${\ displaystyle m_ {i}}$${\ displaystyle L_ {i}}$${\ displaystyle M}$${\ displaystyle L_ {i}}$${\ displaystyle L_ {i}}$${\ displaystyle \ ell _ {i}}$${\ displaystyle T_ {i}}$${\ displaystyle L_ {i}}$${\ displaystyle T_ {i}}$${\ displaystyle \ langle \ ell _ {i}, m_ {i} \ rangle}$${\ displaystyle m_ {i}}$${\ displaystyle \ ell _ {i}}$${\ displaystyle T_ {i}}$${\ displaystyle \ gamma _ {i}}$${\ displaystyle T_ {i}}$${\ displaystyle a_ {i}}$${\ displaystyle b_ {i}}$${\ displaystyle [\ gamma _ {i}] = [a_ {i} \ ell _ {i} + b_ {i} m_ {i}]}$${\ displaystyle \ gamma _ {i}}$

Podemos especificar um homeomorfismo da fronteira de um toro sólido fazendo com que a curva meridiana do toro sólido seja mapeada para uma curva homotópica a . Contanto que o meridiano seja mapeado para a inclinação da cirurgia , a cirurgia Dehn resultante produzirá um manifold de 3 que não dependerá da colagem específica (até o homeomorfismo). A proporção é chamada de coeficiente de cirurgia de . ${\ displaystyle T_ {i}}$${\ displaystyle \ gamma _ {i}}$ ${\ displaystyle [\ gamma _ {i}]}$${\ displaystyle b_ {i} / a_ {i} \ in \ mathbb {Q} \ cup \ {\ infty \}}$${\ displaystyle L_ {i}}$

No caso de links na esfera 3 ou mais geralmente uma esfera de homologia integral orientada, há uma escolha canônica das longitudes : cada longitude é escolhida de modo que seja homóloga nula no complemento do nó - equivalentemente, se for o limite de uma superfície Seifert . ${\ displaystyle \ ell _ {i}}$

Quando as proporções são todas inteiras (note que esta condição não depende da escolha das longitudes, pois corresponde aos novos meridianos cruzando-se exatamente uma vez com os antigos meridianos), a cirurgia é chamada de cirurgia integral . Tais cirurgias estão intimamente relacionados com handlebodies , cobordismo e funções de Morse . ${\ displaystyle b_ {i} / a_ {i}}$

Exemplos

• Se todos os coeficientes de cirurgia são infinitos, então cada novo meridiano é homotópico ao antigo meridiano . Portanto, o tipo de homeomorfismo do coletor não é alterado pela cirurgia.${\ displaystyle \ gamma _ {i}}$${\ displaystyle m_ {i}}$

• Se for a 3-esfera , é o nó desfeito , e o coeficiente de cirurgia é , então o 3-manifold surgerido é .${\ displaystyle M}$${\ displaystyle L}$${\ displaystyle 0}$${\ displaystyle \ mathbb {S} ^ {2} \ times \ mathbb {S} ^ {1}}$

• Se for a 3-esfera , for o nó desatado , e o coeficiente da cirurgia for , então a 3-manifold operada é o espaço da lente . Em particular, se o coeficiente de cirurgia for da forma , então a 3-manifold gerada ainda é a 3-esfera.${\ displaystyle M}$${\ displaystyle L}$${\ displaystyle b / a}$ ${\ displaystyle L (b, a)}$${\ displaystyle \ pm 1 / r}$

• Se for a 3-esfera, é o nó trifólio destro , e o coeficiente de cirurgia é , então a variedade 3-operada é o espaço dodecaédrico de Poincaré .${\ displaystyle M}$${\ displaystyle L}$${\ displaystyle +1}$

Resultados

Cada coletor de 3 conexões fechado , orientável e conectado é obtido realizando-se a cirurgia de Dehn em um elo na esfera 3 . Este resultado, o teorema de Lickorish-Wallace , foi provado pela primeira vez por Andrew H. Wallace em 1960 e de forma independente por WBR Lickorish em uma forma mais forte em 1962. Via a relação agora bem conhecida entre cirurgia genuína e cobordismo , este resultado é equivalente ao teorema de que o grupo de cobordismo orientado de 3 variedades é trivial, um teorema originalmente provado por Vladimir Abramovich Rokhlin em 1951.

Uma vez que os manifolds 3 orientáveis ​​podem todos ser gerados por links adequadamente decorados, pode-se perguntar como as apresentações cirúrgicas distintas de um determinado manifold 3 podem estar relacionadas. A resposta é chamada de cálculo de Kirby .

Veja também

• Cirurgia hiperbólica de Dehn
• Vizinhança tubular
• Cirurgia em variedades, no sentido geral, também chamada de modificação esférica.

Referências

• Dehn, Max (1938), "Die Gruppe der Abbildungsklassen", Acta Mathematica , 69 (1): 135–206, doi : 10.1007 / BF02547712.
• Thom, René (1954), "Quelques propriétés globales des variétés différentiables" , Commentarii Mathematici Helvetici , 28 : 17–86, doi : 10.1007 / BF02566923 , MR  0061823
• Rolfsen, Dale (1976). Nós e links (PDF) . Série de palestras de matemática. 346 . Berkeley, Califórnia: Publique ou pereça. p. 439. ISBN 9780914098164.
• Kirby, Rob (1978), "A calculus for framed links in S ³ ", Inventiones Mathematicae , 45 (1): 35-56, doi : 10.1007 / BF01406222 , MR  0467753.
• Fenn, Roger; Rourke, Colin (1979), "On Kirby's calculus of links", Topology , 18 (1): 1-15, doi : 10.1016 / 0040-9383 (79) 90010-7 , MR  0528232.
• Gompf, Robert ; Stipsicz, András (1999), 4-Manifolds and Kirby Calculus , Graduate Studies in Mathematics , 20 , Providence, RI: American Mathematical Society, doi : 10.1090 / gsm / 020 , ISBN 0-8218-0994-6, MR  1707327.