Primorial primo - Primorial prime

Em matemática , um primo primorial é um número primo da forma p n # ± 1, onde p n # é o primorial de p n (isto é, o produto dos primeiros n primos).

Os testes de primazia mostram que

p n # - 1 é primo para n = 2, 3, 5, 6, 13, 24, ... (sequência A057704 no OEIS )
p n # + 1 é primo para n = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 11, ... (sequência A014545 no OEIS )

O primeiro termo da segunda sequência é 0 porque p 0 # = 1 é o produto vazio e, portanto, p 0 # + 1 = 2, que é primo. Da mesma forma, o primeiro termo da primeira sequência não é 1, porque p 1 # = 2 e 2 - 1 = 1 não é primo.

Os primeiros primos primitivos são

2 , 3 , 5 , 7 , 29 , 31 , 211 , 2309, 2311, 30029, 200560490131, 304250263527209, 23768741896345550770650537601358309 (sequência A228486 no OEIS )

Em outubro de 2021, o maior primo primorial conhecido (da forma p n # - 1) é 3267113 # - 1 ( n = 234, ...) com 1.418.398 dígitos, encontrado pelo projeto PrimeGrid .

Em 2008, o maior primo conhecido da forma p n # + 1 é 392113 # + 1 ( n = 33237) com 169.966 dígitos, encontrado em 2001 por Daniel Heuer.

A prova de Euclides da infinitude dos números primos é comumente mal interpretada como definindo os primos primitivos, da seguinte maneira:

Suponha que os primeiros n primos consecutivos, incluindo 2, sejam os únicos primos existentes. Se qualquer um dos p n # + 1 ou p n # - 1 é um número primo primorial, isso significa que há números primos maiores do que o n th privilegiada (se não é um número primo, que também demonstra a infinidade de números primos, mas menos diretamente; cada desses dois números tem um resto de p  - 1 ou 1 quando dividido por qualquer um dos primeiros n primos e, portanto, todos os seus fatores primos são maiores do que p n ).

Veja também

Referências

Veja também

  • A. Borning, "Some Results for and " Math. Comput. 26 (1972): 567-570.
  • Chris Caldwell, The Top Twenty: Primorial at The Prime Pages .
  • Harvey Dubner, "Factorial and Primorial Primes." J. Rec. Matemática. 19 (1987): 197–203.
  • Paulo Ribenboim, o novo livro dos recordes de números primos . Nova York: Springer-Verlag (1989): 4.
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