Número pseudoperfeito primário - Primary pseudoperfect number

Demonstração gráfica de que 1 = 1/2 + 1/3 + 1/11 + 1/23 + 1/31 + 1 / (2 × 3 × 11 × 23 × 31). Portanto, o produto, 47058, é o pseudoperfeito primário.

Em matemática , e particularmente na teoria dos números , N é um número pseudoperfeito primário se satisfaz a equação de fração egípcia

${\ displaystyle {\ frac {1} {N}} + \ sum _ {p \, | \; \! N} {\ frac {1} {p}} = 1,}$

onde a soma é sobre apenas os divisores primos de N .

Propriedades

Equivalentemente, N é um número pseudoperfeito primário se satisfizer

${\ displaystyle 1+ \ sum _ {p \, | \; \! N} {\ frac {N} {p}} = N.}$

Excepto para o número pseudoperfect primário N  = 2, a expressão não fornece uma representação em N como a soma dos divisores distintos de N . Portanto, cada número pseudoperfeito primário N (exceto N  = 2) também é pseudoperfeito .

Os oito números pseudoperfeitos primários conhecidos são

2 , 6 , 42 , 1806, 47058, 2214502422, 52495396602, 8490421583559688410706771261086 (sequência A054377 no OEIS ).

Os primeiros quatro desses números são um a menos que os números correspondentes na sequência de Sylvester , mas as duas sequências divergem.

Não se sabe se existem infinitos números pseudoperfeitos primários ou se existem quaisquer números pseudoperfeitos primários ímpares .

Os fatores primos dos números pseudoperfeitos primários às vezes podem fornecer soluções para o problema de Znám , no qual todos os elementos do conjunto de solução são primos. Por exemplo, os fatores primos do número pseudoperfeito primário 47058 formam o conjunto solução {2,3,11,23,31} para o problema de Znám. No entanto, os menores números pseudoperfeitos primários 2, 6, 42 e 1806 não correspondem às soluções para o problema de Znám desta forma, já que seus conjuntos de fatores primos violam o requisito de que nenhum número no conjunto pode ser igual a um mais o produto do outros números. Anne (1998) observa que existe exatamente um conjunto de soluções desse tipo que possui k primos, para cada k ≤ 8, e conjectura que o mesmo é verdadeiro para k maiores .

Se um número pseudoperfeito primário N for um a menos que um número primo, então N  × ( N  + 1) também é pseudoperfeito primário. Por exemplo, 47058 é pseudoperfeito primário e 47059 é primo, então 47058 × 47059 = 2214502422 é também pseudoperfeito primário.

História

Os números pseudoperfeitos primários foram investigados e nomeados pela primeira vez por Butske, Jaje e Mayernik (2000). Usando técnicas de pesquisa computacional, eles provaram o resultado notável de que para cada número inteiro positivo r até 8, existe exatamente um número pseudoperfeito primário com precisamente r (distintos) fatores primos, a saber, o r- ésimo número pseudoperfeito primário conhecido. Aqueles com 2 ≤ r ≤ 8, quando o módulo reduzido 288, formam a progressão aritmética 6, 42, 78, 114, 150, 186, 222, conforme observado por Sondow e MacMillan (2017).

Veja também

• Número Giuga

Referências

• Anne, Premchand (1998), "Egyptian fractions and the inheritance problem", The College Mathematics Journal , Mathematical Association of America , 29 (4): 296–300, doi : 10.2307 / 2687685 , JSTOR  2687685.

• Butske, William; Jaje, Lynda M .; Mayernik, Daniel R. (2000), "On the equation , pseudoperfect numbers, and perfeitamente ponderados", Mathematics of Computation , 69 : 407–420, doi : 10.1090 / S0025-5718-99-01088-1${\ displaystyle \ scriptstyle \ sum _ {p | N} {\ frac {1} {p}} + {\ frac {1} {N}} = 1}$.

• Sondow, Jonathan; MacMillan, Kieren (2017), "Primary pseudoperfect numbers, arithmetic progressions, and the Erdős-Moser equation", The American Mathematical Monthly , 124 (3): 232-240, arXiv : 1812.06566 , doi : 10.4169 / amer.math.monthly .124.3.232.

links externos

• Número Pseudoperfeito Primário no PlanetMath .
• Weisstein, Eric W. "Primary Pseudoperfect Number" . MathWorld .