Grupo Monstro - Monster group

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Grupos discretos Treliças Inteiros ( )${\ displaystyle \ mathbb {Z}}$ Grupo livre Grupos modulares PSL (2, )${\ displaystyle \ mathbb {Z}}$ SL (2, )${\ displaystyle \ mathbb {Z}}$ Grupo aritmético Malha Grupo hiperbólico
Grupos topológicos e de Lie Solenóide Círculo GL linear geral ( n ) SL linear especial ( n ) Ortogonal O ( n ) E Euclidiano ( n ) SO ortogonal especial ( n ) Unitária U ( n ) SU unitário especial ( n ) Sp simplético ( n ) G 2 F 4 E 6 E 7 E 8 Lorentz Poincaré Conforme Difeomorfismo Ciclo Grupo de Lie dimensional infinito O (∞) SU (∞) Sp (∞)
Grupos algébricos Grupo algébrico linear Grupo redutor Variedade abeliana Curva elíptica
v t e

Na área da álgebra abstrata conhecida como teoria dos grupos , o grupo de monstros M (também conhecido como o monstro Fischer-Griess , ou o gigante amigável ) é o maior grupo simples esporádico , tendo ordem
      2 ⁴⁶  · 3 ²⁰  · 5 ⁹  · 7 ⁶  · 11 ²  · 13 ³  · 17  · 19  · 23  · 29  · 31  · 41  · 47  · 59  · 71
   = 808.017.424.794.512.875.886.459.904.961.710.757.005.754.368.000.000.000
   ≈ 8 × 10 ⁵³ .

Os grupos simples finitos foram completamente classificados . Cada um desses grupos pertence a uma das 18 famílias contáveis ​​infinitas ou é um dos 26 grupos esporádicos que não seguem esse padrão sistemático. O grupo de monstros contém 20 grupos esporádicos (incluindo ele mesmo) como subquotientes . Robert Griess , que provou a existência do monstro em 1982, chamou esses 20 grupos de família feliz e as seis exceções restantes de párias .

É difícil dar uma boa definição construtiva do monstro por causa de sua complexidade. Martin Gardner escreveu um relato popular sobre o grupo de monstros em sua coluna de Jogos Matemáticos de junho de 1980 na Scientific American .

História

O monstro foi previsto por Bernd Fischer (não publicado, por volta de 1973) e Robert Griess como um grupo simples contendo uma capa dupla do grupo de monstros bebês de Fischer como um centralizador de uma involução . Dentro de alguns meses, a ordem de M foi encontrada por Griess usando a fórmula de ordem de Thompson , e Fischer, Conway, Norton e Thompson descobriram outros grupos como subquotientes, incluindo muitos dos grupos esporádicos conhecidos, e dois novos: o grupo de Thompson e o grupo Harada – Norton . A tabela de caracteres do monstro, uma matriz 194 por 194, foi calculada em 1979 por Fischer e Donald Livingstone usando programas de computador escritos por Michael Thorne. Não estava claro na década de 1970 se o monstro realmente existia. Griess construiu M como o grupo de automorfismo da álgebra de Griess , uma álgebra comutativa não associativa de 196.884 dimensões sobre os números reais; ele anunciou sua construção em Ann Arbor em 14 de janeiro de 1980. Em seu artigo de 1982, ele se referiu ao monstro como o Gigante Amigável, mas esse nome não foi geralmente adotado. John Conway e Jacques Tits posteriormente simplificaram essa construção.

A construção de Griess mostrou que o monstro existe. Thompson mostrou que sua singularidade (como um grupo simples que satisfaz certas condições provenientes da classificação de grupos simples finitos) resultaria da existência de uma representação fiel de 196.883 dimensões . Uma prova da existência de tal representação foi anunciada por Norton , embora ele nunca tenha publicado os detalhes. Griess, Meierfrankenfeld e Segev deram a primeira prova publicada completa da singularidade do monstro (mais precisamente, eles mostraram que um grupo com os mesmos centralizadores de involuções que o monstro é isomórfico ao monstro).

O monstro foi a culminação do desenvolvimento de grupos simples esporádicos e pode ser construído a partir de quaisquer dois de três subquotientes: o grupo Fischer Fi ₂₄ , o monstro bebê e o grupo Conway Co ₁ .

O multiplicador de Schur e o grupo de automorfismo externo do monstro são triviais .

Representações

O grau mínimo de uma representação complexa fiel é 196.883, que é o produto dos três maiores divisores primos da ordem de M. A menor representação linear fiel sobre qualquer campo tem dimensão 196.882 sobre o campo com dois elementos, apenas um a menos que o dimensão da menor representação complexa fiel.

A menor representação de permutação fiel do monstro está em 2 ⁴ · 3 ⁷ · 5 ³ · 7 ⁴ · 11 · 13 ² · 29 · 41 · 59 · 71 (cerca de 10 ²⁰ ) pontos.

O monstro pode ser realizado como um grupo de Galois sobre os números racionais e como um grupo de Hurwitz .

O monstro é incomum entre grupos simples, pois não há uma maneira fácil conhecida de representar seus elementos. Isso não se deve tanto ao seu tamanho quanto à ausência de representações "pequenas". Por exemplo, os grupos simples A ₁₀₀ e SL ₂₀ (2) são muito maiores, mas fáceis de calcular, pois têm permutação "pequena" ou representações lineares. Os grupos alternados têm representações de permutação que são "pequenas" em comparação com o tamanho do grupo, e todos os grupos simples finitos do tipo Lie têm representações lineares que são "pequenas" em comparação com o tamanho do grupo. Todos os grupos esporádicos além do monstro também têm representações lineares pequenas o suficiente para serem fáceis de trabalhar em um computador (o próximo caso mais difícil depois do monstro é o monstro bebê, com uma representação de dimensão 4370).

Uma construção de computador

Robert A. Wilson encontrou explicitamente (com a ajuda de um computador) duas matrizes invertíveis 196.882 por 196.882 (com elementos no campo de ordem 2 ) que juntas geram o grupo de monstros por multiplicação de matrizes; esta é uma dimensão menor do que a representação dimensional de 196.883 na característica 0. Realizar cálculos com essas matrizes é possível, mas é muito caro em termos de tempo e espaço de armazenamento para ser útil, já que cada matriz ocupa mais de quatro gigabytes e meio.

Wilson afirma que a melhor descrição do monstro é dizer: "É o grupo de automorfismo da álgebra de vértices do monstro ". Isso não ajuda muito, no entanto, porque ninguém encontrou uma "construção realmente simples e natural da álgebra dos vértices monstruosos".

Wilson com colaboradores encontrou um método de fazer cálculos com o monstro que é consideravelmente mais rápido. Seja V um espaço vetorial dimensional de 196.882 sobre o campo com 2 elementos. Um grande subgrupo H (de preferência um subgrupo máximo) do Monstro é selecionado, no qual é fácil realizar cálculos. O subgrupo H escolhido é 3 ^{1 + 12} .2.Suz.2, onde Suz é o grupo Suzuki . Elementos do monstro são armazenados como palavras os elementos de H e um gerador adicional T . É razoavelmente rápido para calcular a ação de uma dessas palavras em um vetor em V . Usando esta ação, é possível realizar cálculos (como a ordem de um elemento do monstro). Wilson exibiu vectores u e v , cuja estabilizador comum é o grupo trivial. Assim (por exemplo) pode-se calcular a ordem de um elemento g do monstro encontrando o menor i > 0 tal que g ⁱ u = u e g ⁱ v = v .

Esta e outras construções semelhantes (em características diferentes ) foram usadas para encontrar alguns de seus subgrupos máximos não locais.

Moonshine

O grupo de monstros é um dos dois principais constituintes da monstruosa conjectura lunar de Conway e Norton, que relaciona matemática discreta e não discreta e foi finalmente provada por Richard Borcherds em 1992.

Nesse cenário, o grupo de monstros é visível como o grupo de automorfismo do módulo de monstros , uma álgebra de operador de vértice , uma álgebra de dimensão infinita contendo a álgebra de Griess e atua na álgebra de Lie monstro , uma álgebra de Kac-Moody generalizada .

Muitos matemáticos, incluindo Conway, viram o monstro como um objeto bonito e ainda misterioso. Conway disse sobre o grupo de monstros: "Nunca houve qualquer tipo de explicação de por que está lá, e obviamente não está lá apenas por coincidência. Tem muitas propriedades intrigantes para que tudo seja apenas um acidente." Simon P. Norton , um especialista nas propriedades do grupo de monstros, disse: "Posso explicar o que é Monstrous Moonshine em uma frase, é a voz de Deus."

Observação E _{8 de} McKay

Existem também conexões entre o monstro e os diagramas Dynkin estendidos especificamente entre os nós do diagrama e certas classes de conjugação no monstro, conhecidas como observação E _{8 de} McKay . Isso é então estendido para uma relação entre os diagramas estendidos e os grupos 3.Fi ₂₄ ′, 2.B e M, onde estes são (extensões centrais de 3/2/1 vezes) do grupo Fischer , grupo de monstros bebês , e monstro. Esses são os grupos esporádicos associados a centralizadores de elementos do tipo 1A, 2A e 3A no monstro, e a ordem da extensão corresponde às simetrias do diagrama. Veja a classificação ADE: trindades para conexões posteriores (do tipo de correspondência de McKay ), incluindo (para o monstro) com o pequeno grupo simples PSL (2,11) e com os 120 planos tritangentes de uma curva sêxtica canônica do gênero 4 conhecida como Bring's curva . ${\ displaystyle {\ tilde {E}} _ {8},}$${\ displaystyle {\ tilde {E}} _ {6}, {\ tilde {E}} _ {7}, {\ tilde {E}} _ {8}}$

Subgrupos máximos

Diagrama dos 26 grupos simples esporádicos, mostrando relações de subquotientes.

O monstro tem pelo menos 44 classes de conjugação de subgrupos máximos . Grupos simples não abelianos de cerca de 60 tipos de isomorfismo são encontrados como subgrupos ou como quocientes de subgrupos. O maior grupo alternado representado é A ₁₂ . O monstro contém 20 dos 26 grupos esporádicos como subquotientes. Este diagrama, baseado em um do livro Symmetry and the Monster, de Mark Ronan , mostra como eles se encaixam. As linhas significam inclusão, como um subquotiente, do grupo inferior pelo superior. Os símbolos circulados denotam grupos não envolvidos em grupos esporádicos maiores. Para fins de clareza, inclusões redundantes não são mostradas.

Quarenta e quatro das classes de subgrupos máximas do monstro são dados pela lista que se segue, a qual é (a partir de 2016) acredita-se ser completo, excepto possivelmente para os subgrupos quase simples com simples não-abelianos toucas de forma L ₂ (13) , U ₃ (4) ou U ₃ (8). No entanto, as tabelas de subgrupos máximos costumam conter erros sutis e, em particular, pelo menos dois dos subgrupos da lista abaixo foram omitidos incorretamente de algumas listas anteriores.

Veja também

• Primo supersingular , os números primos que dividem a ordem do monstro

Fontes

Leitura adicional

• Conway, JH ; Curtis, RT; Norton, SP ; Parker, RA ; Wilson, RA (1985). Atlas de grupos finitos: subgrupos máximos e caracteres ordinários para grupos simples . com assistência computacional de JG Thackray. Imprensa da Universidade de Oxford. ISBN 978-019853199-9.
• Harada, Koichiro (2001). "Matemática do Monstro". Exposições Sugaku . 14 (1): 55–71. MR  1690763 .
• Holmes, Petra E. (2008). "Uma classificação de subgrupos do Monster isomorphic a S ₄ e uma aplicação" . Journal of Algebra . 319 (8): 3089–3099. doi : 10.1016 / j.jalgebra.2004.01.031 . MR  2408306 .
• Holmes, PE; Wilson, RA (2003). "Uma construção computadorizada do Monstro usando 2 subgrupos locais". Journal of the London Mathematical Society . 67 (2): 346-364. doi : 10.1112 / S0024610702003976 .
• Ivanov, AA (2009). O Grupo de Monstros e as Involuções de Majorana . Tratados de Cambridge em matemática. 176 . Cambridge University Press. ISBN 9780521889940.
• Norton, Simon P. (1998). "Anatomia do Monstro. Eu". O atlas dos grupos finitos: dez anos depois (Birmingham, 1995) . London Math. Soc. Série da nota da palestra. 249 . Cambridge University Press . pp. 198–214. doi : 10.1017 / CBO9780511565830.020 . ISBN 9780521575874. MR  1647423 .
• Norton, Simon P .; Wilson, Robert A. (2002). "Anatomia do Monstro. II". Proceedings of the London Mathematical Society . Terceira série. 84 (3): 581–598. doi : 10.1112 / S0024611502013357 . MR  1888424 .
• du Sautoy, Marcus (2008). Encontrando o Moonshine . Quarto estado. ISBN 9780007214617.publicado nos EUA pela HarperCollins como Symmetry , ISBN  9780060789404 ).
• Wilson, RA; Walsh, PG; Parker, RA; Linton, SA (1998). "Construção computadorizada do monstro". Journal of Group Theory . 1 (4): 307–337.

links externos

• O que é ... O Monstro? por Richard E. Borcherds , Notices of the American Mathematical Society , outubro de 2002 1077
• MathWorld: Monster Group
• Atlas de Representações de Grupos Finitos: Grupo Monster
• Scientific American, edição de junho de 1980: A captura do monstro: um grupo matemático com um número ridículo de elementos