Álgebra não associativa - Non-associative algebra
Estrutura algébrica → Teoria dos anéis Teoria dos anéis |
---|
Uma álgebra não associativa (ou álgebra distributiva ) é uma álgebra sobre um campo onde a operação de multiplicação binária não é considerada associativa . Ou seja, uma estrutura algébrica A é uma álgebra não associativa sobre um campo K se for um espaço vetorial sobre K e estiver equipada com uma K - operação de multiplicação binária bilinear A × A → A que pode ou não ser associativa. Os exemplos incluem álgebras de Lie , álgebras de Jordan , as octonions e o espaço euclidiano tridimensional equipado com a operação de produto cruzado . Uma vez que não se assume que a multiplicação é associativa, é necessário usar parênteses para indicar a ordem das multiplicações. Por exemplo, as expressões ( ab ) ( cd ), ( a ( bc )) d e a ( b ( cd )) podem produzir respostas diferentes.
Embora esse uso de não associativo signifique que a associatividade não é assumida, isso não significa que a associatividade não seja permitida. Em outras palavras, "não associativo" significa "não necessariamente associativo", assim como "não comutativo" significa "não necessariamente comutativo" para anéis não comutativos .
Uma álgebra é unital ou unitária se tiver um elemento de identidade e com ex = x = xe para todo x na álgebra. Por exemplo, as octonions são unitais , mas as álgebras de Lie nunca o são.
A estrutura da álgebra não associativa de A pode ser estudada associando-a a outras álgebras associativas que são subálgebras da álgebra completa de K - endomorfismos de A como um espaço vetorial K. Duas delas são a álgebra de derivação e a álgebra envolvente (associativa) , sendo a última em certo sentido "a menor álgebra associativa contendo A ".
De forma mais geral, alguns autores consideram o conceito de uma álgebra não associativa sobre um anel comutativo R : Um módulo R equipado com uma operação de multiplicação binária R- bilinear. Se uma estrutura obedece a todos os axiomas do anel além da associatividade (por exemplo, qualquer R- álgebra), então é naturalmente uma -álgebra, então alguns autores se referem às -álgebras não associativas como anéis não associativos .
Estruturas algébricas |
---|
Identidades satisfatórias de álgebras
Estruturas semelhantes a anéis com duas operações binárias e sem outras restrições são uma classe ampla, que é muito geral para estudar. Por esse motivo, os tipos mais conhecidos de álgebras não associativas satisfazem as identidades , ou propriedades, que simplificam um pouco a multiplicação. Isso inclui os seguintes.
Propriedades usuais
Deixe que x , y e z representam elementos arbitrárias da álgebra Uma sobre o campo K . Deixe que as potências para um inteiro positivo (diferente de zero) sejam recursivamente definidas por x 1 ≝ x e x n +1 ≝ x n x (potências à direita) ou x n +1 ≝ xx n (potências à esquerda) dependendo dos autores.
- Unital : existe um elemento e de forma que ex = x = xe ; nesse caso, podemos definir x 0 ≝ e .
- Associativo : ( xy ) z = x ( yz ) .
- Comutativo : xy = yx .
- Anticomutativo : xy = - yx .
- Identidade de Jacobi : ( xy ) z + ( yz ) x + ( zx ) y = 0 ou x ( yz ) + y ( zx ) + z ( xy ) = 0 dependendo dos autores.
- Identidade Jordan : ( x 2 y ) x = x 2 ( yx ) ou ( xy ) x 2 = x ( yx 2 ) dependendo dos autores.
- Alternativa : ( xx ) y = x ( xy ) (alternativa à esquerda) e ( yx ) x = y ( xx ) (alternativa à direita).
- Flexível : ( xy ) x = x ( yx ) .
-
n ésima potência associativa com n ≥ 2 : x n − k x k = x n para todos os inteiros k de forma que 0 < k < n .
- Terceira potência associativa: x 2 x = xx 2 .
- Quarta potência associativa: x 3 x = x 2 x 2 = xx 3 (compare com a quarta potência comutativa abaixo).
- Potência associativa : a subálgebra gerada por qualquer elemento é associativa, ou seja, n- ésima potência associativa para todo n ≥ 2 .
-
n- ésima potência comutativa com n ≥ 2 : x n − k x k = x k x n − k para todos os inteiros k de forma que 0 < k < n .
- Terceira potência comutativa: x 2 x = xx 2 .
- Quarta potência comutativa: x 3 x = xx 3 (compare com a quarta potência associativa acima).
- Potência comutativa: a subálgebra gerada por qualquer elemento é comutativa, ou seja, n- ésima potência comutativa para todo n ≥ 2 .
- Nilpotente do índice n ≥ 2 : o produto de quaisquer n elementos, em qualquer associação, desaparece, mas não para alguns n −1 elementos: x 1 x 2 ... x n = 0 e existem n −1 elementos de modo que y 1 y 2 … y n −1 ≠ 0 para uma associação específica.
- Nil de índice n ≥ 2 : associativo potência e x n = 0 e existe um elemento Y de modo que Y n -1 ≠ 0 .
Relações entre propriedades
Para K de qualquer característica :
- Associativo implica alternativa .
- Quaisquer duas das três propriedades , alternativa à esquerda , alternativa à direita e flexível , implicam na terceira.
- Assim, alternativa implica flexível .
- A alternativa implica a identidade de Jordan .
- Comutativo implica flexível .
- Anticomutativo implica flexível .
- Alternativa implica poder associativo .
- Flexível implica terceira potência associativa .
- Segundo associativa poder e segunda comutativa poder são sempre verdadeiras.
- A terceira potência associativa e a terceira potência comutativa são equivalentes.
- n- ésima associação de potência implica n- ésima potência comutativa .
- Zero do índice 2 implica anticommutativo .
- O zero do índice 2 implica a identidade de Jordan .
- O nilpotente do índice 3 implica a identidade de Jacobi .
- Nilpotente do índice n implica nulo do índice N com 2 ≤ N ≤ n .
- Unital e nulo do índice n são incompatíveis.
Se K ≠ GF (2) ou dim ( A ) ≤ 3 :
- A identidade de Jordan e comutativa juntas implicam poder associativo .
Se char ( K ) ≠ 2 :
-
Alternativa certa implica poder associativo .
- Da mesma forma, a alternativa à esquerda implica poder associativo .
- A identidade Unital e Jordan juntas implicam em flexibilidade .
- A identidade de Jordan e flexibilidade juntas implicam poder associativo .
- Comutativo e anticommutativo juntos implicam nilpotente do índice 2 .
- Anticomutativo implica nulo do índice 2 .
- Unital e anticommutativo são incompatíveis.
Se char ( K ) ≠ 3 :
- As identidades unital e Jacobi são incompatíveis.
Se char ( K ) ∉ {2,3,5 }:
- Commutative e X 4 = x 2 x 2 (uma das duas identidades que definem quarto associativo potência ) em conjunto implica associativo potência .
Se char ( K ) = 0 :
- Terceiro associativo potência e X 4 = x 2 x 2 (uma das duas identidades que definem quarto associativo potência ) em conjunto implica associativo potência .
Se char ( K ) = 2 :
- Comutativo e anticommutativo são equivalentes.
Associador
O associador em A é o K - mapa multilinear dado por
- [ x , y , z ] = ( xy ) z - x ( yz ) .
Ele mede o grau de nonassociativity de , e pode ser usado para expressar convenientemente algumas possíveis identidades satisfeitas por um .
Sejam x , y e z os elementos arbitrários da álgebra.
- Associativo: [ x , y , z ] = 0 .
- Alternativa: [ x , x , y ] = 0 (alternativa à esquerda) e [ y , x , x ] = 0 (alternativa à direita).
- Implica que a permuta de quaisquer dois termos muda o sinal: [ x , y , z ] = - [ x , z , y ] = - [ z , y , x ] = - [ y , x , z ] ; o inverso é válido apenas se char ( K ) ≠ 2 .
- Flexível: [ x , y , x ] = 0 .
- Isso implica que a permuta dos termos extremos muda o sinal: [ x , y , z ] = - [ z , y , x ] ; o inverso é válido apenas se char ( K ) ≠ 2 .
- Identidade de Jordan: [ x 2 , y , x ] = 0 ou [ x , y , x 2 ] = 0 dependendo dos autores.
- Terceira potência associativa: [ x , x , x ] = 0 .
O núcleo é o conjunto de elementos que se associam com todos os outros: ou seja, o n em A tal que
- [ n , A , A ] = [ A , n , A ] = [ A , A , n ] = {0} .
O núcleo é um subanel associativo de Uma .
Centro
O centro de A é o conjunto de elementos que comutam e se associam a tudo em A , que é a interseção de
com o núcleo. Acontece que para os elementos de C (A) é suficiente que dois dos conjuntos sejam para que o terceiro seja também o conjunto zero.
Exemplos
- O espaço euclidiano R 3 com multiplicação dada pelo produto vetorial vetorial é um exemplo de álgebra que é anticommutativa e não associativa. O produto cruzado também satisfaz a identidade Jacobi.
- Álgebras de Lie são álgebras que satisfazem a anticomutatividade e a identidade de Jacobi.
- Álgebras de campos vetoriais em uma variedade diferenciável (se K for R ou os números complexos C ) ou uma variedade algébrica (para K geral );
- Álgebras de Jordan são álgebras que satisfazem a lei comutativa e a identidade de Jordan.
- Toda álgebra associativa dá origem a uma álgebra de Lie usando o comutador como colchete de Lie. Na verdade, toda álgebra de Lie pode ser construída dessa maneira ou é uma subálgebra de uma álgebra de Lie assim construída.
- Cada álgebra associativa sobre um campo de característica diferente de 2 dá origem a uma álgebra de Jordan ao definir uma nova multiplicação x * y = ( xy + yx ) / 2. Em contraste com o caso da álgebra de Lie, nem toda álgebra de Jordan pode ser construída dessa maneira. Aqueles que podem são chamados de especiais .
- Álgebras alternativas são álgebras que satisfazem a propriedade alternativa. Os exemplos mais importantes de álgebras alternativas são as octonions (uma álgebra sobre os reais) e generalizações das octonions sobre outros campos. Todas as álgebras associativas são alternativas. Até o isomorfismo, a única alternativa real de dimensão finita, álgebras de divisão (veja abaixo) são os reais, complexos, quaternions e octonions.
- Álgebras associativas de poder são aquelas álgebras que satisfazem a identidade associativa de poder. Os exemplos incluem todas as álgebras associativas, todas as álgebras alternativas, álgebras de Jordan sobre um campo diferente de GF (2) (consulte a seção anterior) e os sedenions .
- A álgebra quaternion hiperbólica sobre R , que era uma álgebra experimental antes da adoção do espaço de Minkowski para a relatividade especial .
Mais classes de álgebras:
- Álgebras graduadas . Isso inclui a maioria das álgebras de interesse para álgebra multilinear , como álgebra de tensores , álgebra simétrica e álgebra externa sobre um determinado espaço vetorial . Álgebras graduadas podem ser generalizadas para álgebras filtradas .
- Álgebras de divisão , nas quais existem inversos multiplicativos. As álgebras de divisão alternativa de dimensão finita sobre o campo de números reais foram classificadas. Eles são os números reais (dimensão 1), os números complexos (dimensão 2), os quaternions (dimensão 4) e as octonions (dimensão 8). Os quatérnions e octonions não são comutativos. Dessas álgebras, todas são associativas, exceto as octonions.
- Álgebras quadráticas , que requerem que xx = re + sx , para alguns elementos r e s no campo fundamental, e e uma unidade para a álgebra. Os exemplos incluem todas as álgebras alternativas de dimensão finita e a álgebra de matrizes reais 2 por 2. Até o isomorfismo, a única alternativa, álgebras reais quadráticas sem divisores de zero são os reais, complexos, quatérnions e octonions.
- As álgebras de Cayley-Dickson (onde K é R ), que começam com:
- C (uma álgebra comutativa e associativa);
- os quatérnions H (uma álgebra associativa);
- as octonions (uma álgebra alternativa );
- os sedenions e a seqüência infinita de álgebras de Cayley-Dickson (álgebras associativas de poder ).
- Álgebras hypercomplex são todos unital finitos-dimensional R -álgebras, eles incluem, assim, álgebras de Cayley-Dickson e muitos mais.
- As álgebras de Poisson são consideradas na quantização geométrica . Eles carregam duas multiplicações, transformando-as em álgebras comutativas e álgebras de Lie de maneiras diferentes.
- Álgebras genéticas são álgebras não associativas usadas em genética matemática.
- Sistemas triplos
Propriedades
Existem várias propriedades que podem ser familiares da teoria dos anéis ou de álgebras associativas, que nem sempre são verdadeiras para álgebras não associativas. Ao contrário do caso associativo, os elementos com um inverso multiplicativo (nos dois lados) também podem ser um divisor zero . Por exemplo, todos os elementos diferentes de zero dos sedenions têm um inverso de dois lados, mas alguns deles também são divisores zero.
Álgebra não associativa gratuita
A álgebra não associativa livre em um conjunto X sobre um campo K é definida como a álgebra com base consistindo de todos os monômios não associativos, produtos formais finitos de elementos de X retendo parênteses. O produto dos monômios u , v é apenas ( u ) ( v ). A álgebra é unital se tomarmos o produto vazio como um monômio.
Kurosh provou que toda subálgebra de uma álgebra não associativa livre é gratuita.
Álgebras associadas
Uma álgebra A ao longo de um campo K é em particular um K espaço -vector e assim pode-se considerar a álgebra associativa extremidade K ( A ) de K -linear endomorfismo espaço vectorial de um . Podemos associar à estrutura da álgebra em A duas subálgebras de End K ( A ), a álgebra de derivação e a álgebra envolvente (associativa) .
Álgebra de derivação
Uma derivação em A é um mapa D com a propriedade
As derivações em A formam um subespaço Der K ( A ) em End K ( A ). O comutador de duas derivações é novamente uma derivação, de modo que o colchete de Lie dá Der K ( A ) uma estrutura da álgebra de Lie .
Álgebra Envolvente
Existem mapas lineares L e R anexados a cada elemento a de uma álgebra A :
A álgebra envolvente associativa ou álgebra de multiplicação de A é a álgebra associativa gerada pelos mapas lineares esquerdo e direito. O centróide de A é o centralizador da álgebra envolvente na álgebra de endomorfismo End K ( A ). Uma álgebra é central se seu centróide consiste nos múltiplos K- scalar da identidade.
Algumas das possíveis identidades satisfeitas por álgebras não associativas podem ser convenientemente expressas em termos de mapas lineares:
- Comutativo: cada L ( a ) é igual ao R ( a ) correspondente;
- Associativo: qualquer L comuta com qualquer R ;
- Flexível: todo L ( a ) comuta com o R ( a ) correspondente;
- Jordan: todo L ( a ) comuta com R ( a 2 );
- Alternativa: todo L ( a ) 2 = L ( a 2 ) e da mesma forma para a direita.
A representação quadrática Q é definida por:
ou equivalente
O artigo sobre álgebras envolventes universais descreve a construção canônica de álgebras envolventes, bem como os teoremas do tipo PBW para elas. Para álgebras de Lie, tais álgebras envolventes têm uma propriedade universal, o que não é válido, em geral, para álgebras não associativas. O exemplo mais conhecido é, talvez a álgebra de Albert , uma álgebra de Jordan excepcional que não é envolvida pela construção canônica da álgebra envolvente das álgebras de Jordan.
Veja também
- Lista de álgebras
- Magmas não associativos comutativos , que dão origem a álgebras não associativas
Citações
Notas
Referências
- Albert, A. Adrian (2003) [1939]. Estrutura das álgebras . American Mathematical Society Colloquium Publ. 24 (reimpressão corrigida da edição revisada de 1961). Nova York: American Mathematical Society . ISBN 0-8218-1024-3. Zbl 0023.19901 .
- Albert, A. Adrian (1948a). "Anéis associativos de poder" . Transactions of the American Mathematical Society . 64 : 552–593. doi : 10.2307 / 1990399 . ISSN 0002-9947 . JSTOR 1990399 . MR 0027750 . Zbl 0033.15402 .
- Albert, A. Adrian (1948b). "Sobre álgebras alternativas corretas". Annals of Mathematics . 50 : 318–328. doi : 10.2307 / 1969457 . JSTOR 1969457 .
- Bremner, Murray; Murakami, Lúcia; Shestakov, Ivan (2013) [2006]. "Capítulo 86: Álgebras não associativas" (PDF) . Em Hogben, Leslie (ed.). Handbook of Linear Algebra (2ª ed.). CRC Press . ISBN 978-1-498-78560-0.
- Herstein, IN , ed. (2011) [1965]. Alguns Aspectos da Teoria do Anel: Palestras proferidas na Escola de Verão do Centro Internazionale Matematico Estivo (CIME), realizada em Varenna (Como), Itália, de 23 a 31 de agosto de 1965 . CIME Summer Schools. 37 (edição reimpressa). Springer-Verlag . ISBN 3-6421-1036-3.
- Jacobson, Nathan (1968). Estrutura e representações das álgebras de Jordan . American Mathematical Society Colloquium Publications, Vol. XXXIX. Providence, RI: American Mathematical Society . ISBN 978-0-821-84640-7. MR 0251099 .
- Knus, Max-Albert; Merkurjev, Alexander ; Rost, Markus ; Tignol, Jean-Pierre (1998). O livro das involuções . Publicações do Colloquium. 44 . Com prefácio de J. Tits. Providence, RI: American Mathematical Society . ISBN 0-8218-0904-0. Zbl 0955.16001 .
- Koecher, Max (1999). Krieg, Aloys; Walcher, Sebastian (eds.). As notas de Minnesota sobre álgebras de Jordan e suas aplicações . Notas de aula em matemática. 1710 . Berlim: Springer-Verlag . ISBN 3-540-66360-6. Zbl 1072.17513 .
- Kokoris, Louis A. (1955). "Anéis associativos de poder da característica dois" . Proceedings of the American Mathematical Society . American Mathematical Society . 6 (5): 705–710. doi : 10.2307 / 2032920 .
- Kurosh, AG (1947). "Álgebras não associativas e produtos livres de álgebras". Esteira. Sbornik . 20 (62). MR 0020986 . Zbl 0041.16803 .
- McCrimmon, Kevin (2004). Uma amostra das álgebras de Jordan . Universitext. Berlim, Nova York: Springer-Verlag . doi : 10.1007 / b97489 . ISBN 978-0-387-95447-9. MR 2014924 . Zbl 1044.17001 . Errata .
- Mikheev, IM (1976). "Nilpotência certa em anéis alternativos certos". Siberian Mathematical Journal . 17 (1): 178-180. doi : 10.1007 / BF00969304 .
- Okubo, Susumu (2005) [1995]. Introdução ao Octonion e outras álgebras não associativas em física . Montroll Memorial Lecture Series in Mathematical Physics. 2 . Cambridge University Press . doi : 10.1017 / CBO9780511524479 . ISBN 0-521-01792-0. Zbl 0841.17001 .
- Rosenfeld, Boris (1997). Geometria dos grupos de Lie . Matemática e suas aplicações. 393 . Dordrecht: Kluwer Academic Publishers. ISBN 0-7923-4390-5. Zbl 0867.53002 .
- Rowen, Louis Halle (2008). Álgebra de Pós-Graduação: Visão Não Comutativa . Pós-graduação em matemática. American Mathematical Society . ISBN 0-8218-8408-5.
- Schafer, Richard D. (1995) [1966]. Uma introdução às álgebras não associativas . Dover. ISBN 0-486-68813-5. Zbl 0145.25601 .
- Zhevlakov, Konstantin A .; Slin'ko, Arkadii M .; Shestakov, Ivan P .; Shirshov, Anatoly I. (1982) [1978]. Anéis que são quase associativos . Traduzido por Smith, Harry F. ISBN 0-12-779850-1.