Princípio de Maupertuis - Maupertuis's principle

Na mecânica clássica , o princípio de Maupertuis (em homenagem a Pierre Louis Maupertuis ) afirma que o caminho seguido por um sistema físico é o de menor comprimento (com uma interpretação adequada de caminho e comprimento ). É um caso especial do princípio da menor ação declarado de maneira mais geral . Usando o cálculo de variações , resulta em uma formulação de equação integral das equações de movimento para o sistema.

Formulação matemática

O princípio de Maupertuis afirma que o verdadeiro caminho de um sistema descrito por coordenadas generalizadas entre dois estados especificados e é um ponto estacionário (ou seja, um extremo (mínimo ou máximo) ou um ponto de sela) do funcional de ação abreviado${\ displaystyle N}$ ${\ displaystyle \ mathbf {q} = \ left (q_ {1}, q_ {2}, \ ldots, q_ {N} \ right)}$${\ displaystyle \ mathbf {q} _ {1}}$${\ displaystyle \ mathbf {q} _ {2}}$

${\ displaystyle {\ mathcal {S}} _ {0} [\ mathbf {q} (t)] \ {\ stackrel {\ mathrm {def}} {=}} \ \ int \ mathbf {p} \ cdot d \ mathbf {q}}$

onde estão os momentos conjugados das coordenadas generalizadas, definidas pela equação ${\ displaystyle \ mathbf {p} = \ left (p_ {1}, p_ {2}, \ ldots, p_ {N} \ right)}$

${\ displaystyle p_ {k} \ {\ stackrel {\ mathrm {def}} {=}} \ {\ frac {\ partial L} {\ partial {\ dot {q}} _ {k}}}}$

onde está a função Lagrangiana para o sistema. Em outras palavras, qualquer perturbação de primeira ordem do caminho resulta em (no máximo) mudanças de segunda ordem em . Observe que a ação abreviada é funcional (ou seja, uma função de um espaço vetorial em seu campo escalar subjacente), que, neste caso, toma como entrada uma função (ou seja, os caminhos entre os dois estados especificados). ${\ displaystyle L (\ mathbf {q}, {\ dot {\ mathbf {q}}}, t)}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {S}} _ {0}}$${\ displaystyle {\ mathcal {S}} _ {0}}$

Formulação de Jacobi

Para muitos sistemas, a energia cinética é quadrática nas velocidades generalizadas ${\ displaystyle T}$${\ displaystyle {\ dot {\ mathbf {q}}}}$

${\ displaystyle T = {\ frac {1} {2}} {\ dot {\ mathbf {q}}} \ \ mathbf {M} \ {\ dot {\ mathbf {q}}} ^ {\ intercal}}$

embora o tensor de massa possa ser uma função complicada das coordenadas generalizadas . Para tais sistemas, uma relação simples relaciona a energia cinética, os momentos generalizados e as velocidades generalizadas ${\ displaystyle \ mathbf {M}}$${\ displaystyle \ mathbf {q}}$

${\ displaystyle 2T = \ mathbf {p} \ cdot {\ dot {\ mathbf {q}}}}$

desde que a energia potencial não envolva as velocidades generalizadas. Definindo uma distância normalizada ou métrica no espaço de coordenadas generalizadas ${\ displaystyle V (\ mathbf {q})}$ ${\ displaystyle ds}$

${\ displaystyle ds ^ {2} = d \ mathbf {q} \ \ mathbf {M} \ d \ mathbf {q ^ {\ intercal}}}$

pode-se reconhecer imediatamente o tensor de massa como um tensor métrico . A energia cinética pode ser escrita em uma forma sem massa

${\ displaystyle T = {\ frac {1} {2}} \ left ({\ frac {ds} {dt}} \ right) ^ {2}}$

ou,

${\ displaystyle 2Tdt = {\ sqrt {2T}} \ ds.}$

Portanto, a ação abreviada pode ser escrita

${\ displaystyle {\ mathcal {S}} _ {0} \ {\ stackrel {\ mathrm {def}} {=}} \ \ int \ mathbf {p} \ cdot d \ mathbf {q} = \ int ds \ , {\ sqrt {2}} {\ sqrt {E _ {\ text {tot}} - V (\ mathbf {q})}}}$

uma vez que a energia cinética é igual à energia total (constante) menos a energia potencial . Em particular, se a energia potencial é uma constante, então o princípio de Jacobi se reduz a minimizar o comprimento do caminho no espaço das coordenadas generalizadas, que é equivalente ao princípio da menor curvatura de Hertz . ${\ displaystyle T = E _ {\ text {tot}} - V (\ mathbf {q})}$${\ displaystyle E _ {\ text {tot}}}$${\ displaystyle V (\ mathbf {q})}$${\ displaystyle s = \ int ds}$

Comparação com o princípio de Hamilton

O princípio de Hamilton e o princípio de Maupertuis são ocasionalmente confundidos e ambos foram chamados de princípio da menor ação . Eles diferem um do outro de três maneiras importantes:

• sua definição da ação ...

Principais usos de Hamilton , o integrante do lagrangiano ao longo do tempo , variou entre dois tempos finais fixos , e endpoints , . Em contraste, o princípio de Maupertuis usa a integral de ação abreviada sobre as coordenadas generalizadas , variadas ao longo de todos os caminhos de energia constante terminando em e . ${\ displaystyle {\ mathcal {S}} \ {\ stackrel {\ mathrm {def}} {=}} \ \ int L \, dt}$${\ displaystyle t_ {1}}$${\ displaystyle t_ {2}}$${\ displaystyle q_ {1}}$${\ displaystyle q_ {2}}$${\ displaystyle \ mathbf {q} _ {1}}$${\ displaystyle \ mathbf {q} _ {2}}$

• a solução que eles determinam ...

O princípio de Hamilton determina a trajetória em função do tempo, enquanto o princípio de Maupertuis determina apenas a forma da trajetória nas coordenadas generalizadas. Por exemplo, o princípio de Maupertuis determina a forma da elipse na qual uma partícula se move sob a influência de uma força central do inverso do quadrado, como a gravidade , mas não descreve per se como a partícula se move ao longo dessa trajetória. (No entanto, essa parametrização de tempo pode ser determinada a partir da própria trajetória em cálculos subsequentes usando a conservação de energia.) Em contraste, o princípio de Hamilton especifica diretamente o movimento ao longo da elipse como uma função do tempo. ${\ displaystyle \ mathbf {q} (t)}$

• ... e as restrições na variação.

O princípio de Maupertuis requer que os dois estados finais e sejam dados e que a energia seja conservada ao longo de cada trajetória. Em contraste, o princípio de Hamilton não requer a conservação de energia, mas requer que os tempos do ponto final e sejam especificados, bem como os estados do ponto final e . ${\ displaystyle q_ {1}}$${\ displaystyle q_ {2}}$${\ displaystyle t_ {1}}$${\ displaystyle t_ {2}}$${\ displaystyle q_ {1}}$${\ displaystyle q_ {2}}$

História

Maupertuis foi o primeiro a publicar um princípio de menor ação , onde definiu ação como , que deveria ser minimizada em todos os caminhos que conectam dois pontos especificados. No entanto, Maupertuis aplicou o princípio apenas à luz, não à matéria (veja a referência a Maupertuis de 1744 abaixo ). Ele chegou ao princípio considerando a lei de Snell para a refração da luz , que Fermat explicara pelo princípio de Fermat , de que a luz segue o caminho do tempo mais curto , não da distância. Isso incomodava Maupertuis, pois achava que o tempo e a distância deveriam estar em pé de igualdade: "por que a luz deveria preferir o caminho do tempo mais curto ao da distância?" Consequentemente, Maupertuis afirma sem nenhuma justificativa adicional o princípio da menor ação como equivalente, mas mais fundamental do que o princípio de Fermat , e o usa para derivar a lei de Snell . Maupertuis afirma especificamente que a luz não segue as mesmas leis dos objetos materiais. ${\ displaystyle \ int v \, ds}$

Poucos meses depois, bem antes de o trabalho de Maupertuis aparecer na impressão, Leonhard Euler definiu independentemente a ação em sua forma abreviada moderna e a aplicou ao movimento de uma partícula, mas não à luz (ver a referência de Euler de 1744 abaixo ). Euler também reconheceu que o princípio só se mantinha quando a velocidade era função apenas da posição, ou seja, quando a energia total era conservada. (O fator de massa na ação e o requisito de conservação de energia não eram relevantes para Maupertuis, que se preocupava apenas com a luz.) Euler usou este princípio para derivar as equações de movimento de uma partícula em movimento uniforme, de maneira uniforme e não campo de força uniforme e em um campo de força central. A abordagem de Euler é inteiramente consistente com o entendimento moderno do princípio de Maupertuis descrito acima, exceto que ele insistiu que a ação deveria ser sempre um mínimo, ao invés de um ponto estacionário. ${\ displaystyle {\ mathcal {S}} _ {0} \ {\ stackrel {\ mathrm {def}} {=}} \ \ int mv \, ds \ {\ stackrel {\ mathrm {def}} {=} } \ \ int p \, dq}$

Dois anos depois, Maupertuis cita o trabalho de Euler de 1744 como uma "bela aplicação do meu princípio ao movimento dos planetas" e passa a aplicar o princípio da menor ação ao problema da alavanca em equilíbrio mecânico e às colisões perfeitamente elásticas e perfeitamente inelásticas ( veja a publicação 1746 abaixo ). Assim, Maupertuis leva o crédito por conceber o princípio da menor ação como um princípio geral aplicável a todos os sistemas físicos (não apenas à luz), ao passo que a evidência histórica sugere que Euler foi quem deu esse salto intuitivo. Notavelmente, as definições de Maupertuis da ação e protocolos para minimizá-la neste artigo são inconsistentes com a abordagem moderna descrita acima. Assim, o trabalho publicado de Maupertuis não contém um único exemplo no qual ele usou o princípio de Maupertuis (como atualmente entendido).

Em 1751, a prioridade de Maupertuis para o princípio da menor ação foi contestada na impressão ( Nova Acta Eruditorum de Leipzig) por um velho conhecido, Johann Samuel Koenig, que citou uma carta de 1707 supostamente de Leibniz que descreveu resultados semelhantes aos derivados de Euler em 1744 No entanto, Maupertuis e outros exigiram que Koenig apresentasse o original da carta para autenticar que ela foi escrita por Leibniz. Koenig tinha apenas uma cópia e nenhuma pista sobre o paradeiro do original. Consequentemente, a Academia de Berlim sob a direção de Euler declarou que a carta era uma falsificação e que seu presidente, Maupertuis, poderia continuar reivindicando a prioridade por ter inventado o princípio. Koenig continuou a lutar pela prioridade de Leibniz e logo Voltaire e o rei da Prússia, Frederico II, se envolveram na briga. No entanto, nenhum progresso foi feito até a virada do século XX, quando outras cópias independentes da carta de Leibniz foram descobertas.

Veja também

• Mecânica analítica
• Princípio de hamilton
• Princípio da menor restrição de Gauss (também descreve o princípio da menor curvatura de Hertz )
• Equação de Hamilton-Jacobi

Referências

• Pierre Louis Maupertuis , Accord de différentes loix de la nature qui avoient jusqu'ici paru incompatibles (texto original em francês de 1744) ; Acordo entre diferentes leis da Natureza que pareciam incompatíveis (tradução para o inglês)
• Leonhard Euler , Methodus inveniendi / Additamentum II (texto original em latim de 1744) ; Methodus inveniendi / Apêndice 2 (tradução para o inglês)
• Pierre Louis Maupertuis , Les loix du mouvement et du repos déduites d'un principe metaphysique (texto original em francês de 1746) ; Derivação das leis de movimento e equilíbrio a partir de um princípio metafísico (tradução para o inglês)
• Leonhard Euler , Exposé concernant l'examen de la lettre de M. de Leibnitz (texto original em francês de 1752) ; Investigação da carta de Leibniz (tradução para o inglês)
• König JS "De universali principio aequilibrii et motus", Nova Acta Eruditorum , 1751 , 125–135, 162–176.
• JJ O'Connor e EF Robertson, " The Berlin Academy and forgery ", (2003), no arquivo The MacTutor History of Mathematics .
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• W. Kabitz, (1913) "Uber eine em Gota aufgefundene Abschrift des von S. König em seinem Streite mit der Akademie Maupertuis und veröffentlichten, Seinerzeit für unecht erklärten Leibnizbriefes", Sitzungsberichte der Königlich Preussischen Akademie der Wissenschaften , II , 632-638.
• H. Goldstein, (1980) Classical Mechanics , 2ª ed., Addison Wesley, pp. 362-371. ISBN   0-201-02918-9
• LD Landau e EM Lifshitz, (1976) Mechanics , 3rd. ed., Pergamon Press, pp. 140-143. ISBN   0-08-021022-8 (capa dura) e ISBN   0-08-029141-4 (capa mole)
• GCJ Jacobi, Vorlesungen über Dynamik, gehalten an der Universität Königsberg im Wintersemester 1842–1843 . A. Clebsch (ed.) (1866); Reimer; Berlim. 290 páginas, disponíveis online Œuvres complètes volume 8 em Gallica-Math da Gallica Bibliothèque nationale de France .
• H. Hertz, (1896) Principies of Mechanics , in Miscellaneous Papers , vol. III, Macmillan.
• VV Rumyantsev (2001) [1994], "Princípio da mínima curvatura de Hertz" , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press