Princípio de Hamilton - Hamilton's principle

Parte de uma série sobre
Mecânica clássica
${\ displaystyle {\ textbf {F}} = {\ frac {d} {dt}} (m {\ textbf {v}})}$ Segunda lei do movimento
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Em física , princípio de Hamilton é William Rowan Hamilton formulação do 's princípio de ação estacionária . Afirma que a dinâmica de um sistema físico é determinada por um problema variacional para um funcional baseado em uma única função, a Lagrangiana , que pode conter todas as informações físicas sobre o sistema e as forças que atuam sobre ele. O problema variacional é equivalente e permite a derivação das equações diferenciais de movimento do sistema físico. Embora formulado originalmente para a mecânica clássica , princípio de Hamilton também se aplica aos clássicos campos tais como os eletromagnéticos e gravitacionais campos , e desempenha um papel importante na mecânica quântica , teoria quântica de campos e teorias criticidade.

Conforme o sistema evolui, q traça um caminho através do espaço de configuração (apenas alguns são mostrados). O caminho percorrido pelo sistema (vermelho) tem ação estacionária (δ S = 0) sob pequenas mudanças na configuração do sistema (δ q ).

Formulação matemática

O princípio de Hamilton afirma que a verdadeira evolução q ( t ) de um sistema descrito por N coordenadas generalizadas q = ( q ₁ , q ₂ , ..., q _N ) entre dois estados especificados q ₁ = q ( t ₁ ) e q ₂ = q ( t ₂ ) em dois tempos especificados t ₁ e t ₂ é um ponto estacionário (um ponto onde a variação é zero) do funcional de ação

${\ displaystyle {\ mathcal {S}} [\ mathbf {q}] \ {\ stackrel {\ mathrm {def}} {=}} \ \ int _ {t_ {1}} ^ {t_ {2}} L (\ mathbf {q} (t), {\ dot {\ mathbf {q}}} (t), t) \, dt}$

onde está a função Lagrangiana para o sistema. Em outras palavras, qualquer perturbação de primeira ordem da evolução verdadeira resulta em (no máximo) mudanças de segunda ordem em . A ação é funcional , ou seja, algo que toma como entrada uma função e retorna um único número, um escalar . Em termos de análise funcional , o princípio de Hamilton afirma que a verdadeira evolução de um sistema físico é uma solução da equação funcional ${\ displaystyle L (\ mathbf {q}, {\ dot {\ mathbf {q}}}, t)}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {S}}}$${\ displaystyle {\ mathcal {S}}}$

Ou seja, o sistema percorre um caminho no espaço de configuração para o qual a ação é estacionária, com condições de contorno fixas no início e no final do caminho.

Equações de Euler-Lagrange derivadas da integral de ação

Veja também derivação mais rigorosa da equação de Euler-Lagrange

Exigir que a trajetória verdadeira q ( t ) seja um ponto estacionário do funcional de ação é equivalente a um conjunto de equações diferenciais para q ( t ) (as equações de Euler-Lagrange ), que podem ser derivadas como segue. ${\ displaystyle {\ mathcal {S}}}$

Seja q ( t ) a verdadeira evolução do sistema entre dois estados especificados q ₁ = q ( t ₁ ) e q ₂ = q ( t ₂ ) em dois tempos especificados t ₁ e t ₂ , e seja ε ( t ) uma pequena perturbação que é zero nos pontos finais da trajetória

${\ displaystyle {\ boldsymbol {\ varepsilon}} (t_ {1}) = {\ boldsymbol {\ varepsilon}} (t_ {2}) \ {\ stackrel {\ mathrm {def}} {=}} \ 0}$

Para a primeira ordem na perturbação ε ( t ), a mudança no funcional de ação seria ${\ displaystyle \ delta {\ mathcal {S}}}$

${\ displaystyle \ delta {\ mathcal {S}} = \ int _ {t_ {1}} ^ {t_ {2}} \; \ left [L (\ mathbf {q} + {\ boldsymbol {\ varepsilon}} , {\ dot {\ mathbf {q}}} + {\ dot {\ boldsymbol {\ varepsilon}}}) - L (\ mathbf {q}, {\ dot {\ mathbf {q}}}) \ right] dt = \ int _ {t_ {1}} ^ {t_ {2}} \; \ left ({\ boldsymbol {\ varepsilon}} \ cdot {\ frac {\ parcial L} {\ parcial \ mathbf {q}} } + {\ dot {\ boldsymbol {\ varepsilon}}} \ cdot {\ frac {\ partial L} {\ partial {\ dot {\ mathbf {q}}}}} \ right) \, dt}$

onde expandimos o Lagrangeano L à primeira ordem na perturbação ε ( t ).

Aplicar integração por partes ao último termo resulta em

${\ displaystyle \ delta {\ mathcal {S}} = \ left [{\ boldsymbol {\ varepsilon}} \ cdot {\ frac {\ partial L} {\ partial {\ dot {\ mathbf {q}}}}} \ right] _ {t_ {1}} ^ {t_ {2}} + \ int _ {t_ {1}} ^ {t_ {2}} \; \ left ({\ boldsymbol {\ varepsilon}} \ cdot { \ frac {\ partial L} {\ partial \ mathbf {q}}} - {\ boldsymbol {\ varepsilon}} \ cdot {\ frac {d} {dt}} {\ frac {\ partial L} {\ partial { \ dot {\ mathbf {q}}}}} \ right) \, dt}$

As condições de contorno fazem com que o primeiro termo desapareça ${\ displaystyle {\ boldsymbol {\ varepsilon}} (t_ {1}) = {\ boldsymbol {\ varepsilon}} (t_ {2}) \ {\ stackrel {\ mathrm {def}} {=}} \ 0}$

${\ displaystyle \ delta {\ mathcal {S}} = \ int _ {t_ {1}} ^ {t_ {2}} \; {\ boldsymbol {\ varejpsilon}} \ cdot \ left ({\ frac {\ partial L} {\ partial \ mathbf {q}}} - {\ frac {d} {dt}} {\ frac {\ partial L} {\ partial {\ dot {\ mathbf {q}}}}} \ right) \, dt}$

O princípio de Hamilton requer que essa mudança de primeira ordem seja zero para todas as perturbações possíveis ε ( t ), ou seja, o caminho verdadeiro é um ponto estacionário do funcional de ação (um ponto mínimo, máximo ou sela). Este requisito pode ser satisfeito se e somente se ${\ displaystyle \ delta {\ mathcal {S}}}$${\ displaystyle {\ mathcal {S}}}$

Essas equações são chamadas de equações de Euler-Lagrange para o problema variacional.

Momentos canônicos e constantes de movimento

O momento conjugado p _k para uma coordenada generalizada q _k é definido pela equação

${\ displaystyle p_ {k} \ {\ overset {\ mathrm {def}} {=}} \ {\ frac {\ partial L} {\ partial {\ dot {q}} _ {k}}}}$.

Um caso especial importante da equação de Euler-Lagrange ocorre quando L não contém uma coordenada generalizada q _k explicitamente,

${\ displaystyle {\ frac {\ partial L} {\ partial q_ {k}}} = 0 \ quad \ Rightarrow \ quad {\ frac {d} {dt}} {\ frac {\ partial L} {\ partial { \ dot {q}} _ {k}}} = 0 \ quad \ Rightarrow \ quad {\ frac {dp_ {k}} {dt}} = 0 \ ,,}$

ou seja, o momento conjugado é uma constante do movimento .

Nesses casos, a coordenada q _k é chamada de coordenada cíclica . Por exemplo, se usarmos as coordenadas polares t, r, θ para descrever o movimento planar de uma partícula, e se L não depende de θ , o momento conjugado é o momento angular conservado.

Exemplo: partícula livre em coordenadas polares

Exemplos triviais ajudam a apreciar o uso do princípio de ação por meio das equações de Euler-Lagrange. Uma partícula livre (massa m e velocidade v ) em movimentos espaço euclidiano de uma linha recta. Usando as equações de Euler-Lagrange, isso pode ser mostrado em coordenadas polares como segue. Na ausência de um potencial, o Lagrangiano é simplesmente igual à energia cinética

${\ displaystyle L = {\ frac {1} {2}} mv ^ {2} = {\ frac {1} {2}} m \ left ({\ dot {x}} ^ {2} + {\ dot {y}} ^ {2} \ right)}$

em coordenadas ortonormais ( x , y ), onde o ponto representa a diferenciação em relação ao parâmetro da curva (geralmente o tempo, t ). Portanto, mediante a aplicação das equações de Euler-Lagrange,

${\ displaystyle {\ frac {d} {dt}} \ left ({\ frac {\ partial L} {\ partial {\ dot {x}}}} \ right) - {\ frac {\ partial L} {\ parcial x}} = 0 \ qquad \ Rightarrow \ qquad m {\ ddot {x}} = 0}$

E da mesma forma para y . Assim, a formulação de Euler-Lagrange pode ser usada para derivar as leis de Newton.

Em coordenadas polares ( r , φ) a energia cinética e, portanto, a Lagrangiana torna-se

${\ displaystyle L = {\ frac {1} {2}} m \ left ({\ dot {r}} ^ {2} + r ^ {2} {\ dot {\ varphi}} ^ {2} \ right ).}$

Os componentes radiais r e φ das equações de Euler-Lagrange tornam-se, respectivamente

${\ displaystyle {\ frac {d} {dt}} \ left ({\ frac {\ partial L} {\ partial {\ dot {r}}}} \ right) - {\ frac {\ partial L} {\ parcial r}} = 0 \ qquad \ Rightarrow \ qquad {\ ddot {r}} - r {\ dot {\ varphi}} ^ {2} = 0}$

${\ displaystyle {\ frac {d} {dt}} \ left ({\ frac {\ partial L} {\ partial {\ dot {\ varphi}}}} \ right) - {\ frac {\ partial L} { \ partial \ varphi}} = 0 \ qquad \ Rightarrow \ qquad {\ ddot {\ varphi}} + {\ frac {2} {r}} {\ dot {r}} {\ dot {\ varphi}} = 0 .}$

lembrando que r também depende do tempo e a regra do produto é necessária para calcular a derivada do tempo total . ${\ displaystyle {\ frac {d} {dt}} mr ^ {2} {\ dot {\ varphi}}}$

A solução dessas duas equações é dada por

${\ displaystyle r = {\ sqrt {(at + b) ^ {2} + c ^ {2}}}}$

${\ displaystyle \ varphi = \ tan ^ {- 1} \ left ({\ frac {at + b} {c}} \ right) + d}$

para um conjunto de constantes a, b, c, d determinado pelas condições iniciais. Assim, de fato, a solução é uma linha reta dada em coordenadas polares: a é a velocidade, c é a distância da aproximação mais próxima à origem e d é o ângulo de movimento.

Aplicado a corpos deformáveis

O princípio de Hamilton é um princípio variacional importante em elastodinâmica . Ao contrário de um sistema composto de corpos rígidos, os corpos deformáveis ​​possuem um número infinito de graus de liberdade e ocupam regiões contínuas do espaço; conseqüentemente, o estado do sistema é descrito usando funções contínuas de espaço e tempo. O Princípio de Hamilton estendido para tais corpos é dado por

${\ displaystyle \ int _ {t_ {1}} ^ {t_ {2}} \ left [\ delta W_ {e} + \ delta T- \ delta U \ right] dt = 0}$

onde T é a energia cinética, U é a energia elástica, W _e é o trabalho realizado por cargas externas no corpo, e t ₁ , t ₂ os tempos inicial e final. Se o sistema é conservadora, o trabalho realizado pelas forças externas podem ser derivados a partir de um escalar potencial V . Nesse caso,

${\ displaystyle \ delta \ int _ {t_ {1}} ^ {t_ {2}} \ left [T- (U + V) \ right] dt = 0.}$

Isso é chamado de princípio de Hamilton e é invariante sob transformações de coordenadas.

Comparação com o princípio de Maupertuis

O princípio de Hamilton e o princípio de Maupertuis são ocasionalmente confundidos e ambos foram chamados (incorretamente) de princípio da menor ação . Eles diferem de três maneiras importantes:

• sua definição da ação ...

O princípio de Maupertuis usa uma integral sobre as coordenadas generalizadas, conhecida como ação abreviada ou ação reduzida

${\ displaystyle {\ mathcal {S}} _ {0} \ {\ stackrel {\ mathrm {def}} {=}} \ \ int \ mathbf {p} \ cdot d \ mathbf {q}}$

onde p = ( p ₁ , p ₂ , ..., p _N ) são os momentos conjugados definidos acima. Em contraste, o princípio de Hamilton usa a integral de Lagrangiana ao longo do tempo .${\ displaystyle {\ mathcal {S}}}$

• a solução que eles determinam ...

O princípio de Hamilton determina a trajetória q ( t ) em função do tempo, enquanto o princípio de Maupertuis determina apenas a forma da trajetória nas coordenadas generalizadas. Por exemplo, o princípio de Maupertuis determina a forma da elipse na qual uma partícula se move sob a influência de uma força central do inverso do quadrado, como a gravidade , mas não descreve per se como a partícula se move ao longo dessa trajetória. (No entanto, esta parametrização de tempo pode ser determinada a partir da própria trajetória em cálculos subsequentes usando a conservação de energia ). Em contraste, o princípio de Hamilton especifica diretamente o movimento ao longo da elipse em função do tempo.

• ... e as restrições na variação.

O princípio de Maupertuis requer que os dois estados finais q ₁ e q ₂ sejam dados e que a energia seja conservada ao longo de cada trajetória (a mesma energia para cada trajetória). Isso força os tempos dos terminais também a serem variados. Em contraste, o princípio de Hamilton não requer a conservação de energia, mas requer que os tempos finais t ₁ e t ₂ sejam especificados, bem como os estados finais q ₁ e q ₂ .

Princípio de ação para campos

Teoria de campo clássica

O princípio de ação pode ser estendido para obter as equações de movimento para campos , como o campo eletromagnético ou a gravidade .

A equação de Einstein utiliza a ação de Einstein-Hilbert restringida por um princípio variacional .

O caminho de um corpo em um campo gravitacional (ou seja, queda livre no espaço-tempo, uma chamada geodésica) pode ser encontrado usando o princípio de ação.

Mecânica quântica e teoria quântica de campo

Na mecânica quântica , o sistema não segue um único caminho cuja ação é estacionária, mas o comportamento do sistema depende de todos os caminhos imagináveis ​​e do valor de sua ação. A ação correspondente aos vários caminhos é usada para calcular a integral do caminho , que fornece as amplitudes de probabilidade dos vários resultados.

Embora equivalente na mecânica clássica às leis de Newton , o princípio de ação é mais adequado para generalizações e desempenha um papel importante na física moderna. Na verdade, esse princípio é uma das grandes generalizações da ciência física. Em particular, é totalmente apreciado e melhor compreendido dentro da mecânica quântica . Richard Feynman 's caminho formulação integrante da mecânica quântica se baseia em um princípio de ação estacionário, usando integrais de caminho. As equações de Maxwell podem ser derivadas como condições de ação estacionária.

Veja também

• Mecânica analítica
• Espaço de configuração
• Equação de Hamilton-Jacobi
• Espaço de fase
• Geodésica como fluxos hamiltonianos

Referências

• WR Hamilton, "On a General Method in Dynamics.", Philosophical Transactions of the Royal Society Parte II (1834) pp. 247-308 ; Parte I (1835) pp. 95–144 . ( Da coleção Sir William Rowan Hamilton (1805–1865): Artigos matemáticos editados por David R. Wilkins, School of Mathematics, Trinity College, Dublin 2, Irlanda. (2000); também revisado como On a General Method in Dynamics )
• Goldstein H. (1980) Classical Mechanics , 2ª ed., Addison Wesley, pp. 35-69.
• Landau LD e Lifshitz EM (1976) Mechanics , 3rd. ed., Pergamon Press. ISBN  0-08-021022-8 (capa dura) e ISBN  0-08-029141-4 (capa mole), pp. 2–4.
• Arnold VI. (1989) Mathematical Methods of Classical Mechanics , 2ª ed., Springer Verlag, pp. 59-61.
• Cassel, Kevin W .: Métodos Variacionais com Aplicações em Ciência e Engenharia, Cambridge University Press, 2013.