Estrutura matemática - Mathematical structure

Em matemática , uma estrutura é um conjunto dotado de alguns recursos adicionais no conjunto (por exemplo, uma operação , relação , métrica ou topologia ). Freqüentemente, os recursos adicionais são anexados ou relacionados ao conjunto, de modo a fornecer a ele algum significado ou importância adicional.

Uma lista parcial de estruturas possíveis são medidas , estruturas algébricas ( grupos , campos , etc.), topologias , estruturas métricas ( geometrias ), ordens , eventos , relações de equivalência , estruturas diferenciais e categorias .

Às vezes, um conjunto é dotado de mais de uma estrutura simultaneamente, o que permite aos matemáticos estudar a interação entre as diferentes estruturas de forma mais rica. Por exemplo, uma ordenação impõe uma forma, formato ou topologia rígida no conjunto, e se um conjunto tiver uma estrutura de topologia e uma estrutura de grupo, de modo que essas duas estruturas estejam relacionadas de uma certa maneira, então o conjunto se torna uma estrutura topológica grupo .

Os mapeamentos entre conjuntos que preservam estruturas (ou seja, estruturas no domínio são mapeadas para estruturas equivalentes no codomínio ) são de interesse especial em muitos campos da matemática. Exemplos são homomorfismos , que preservam estruturas algébricas; homeomorfismos , que preservam as estruturas topológicas; e difeomorfismos , que preservam estruturas diferenciais.

História

Em 1939, o grupo francês com o pseudônimo de Nicolas Bourbaki via as estruturas como a raiz da matemática. Eles os mencionaram pela primeira vez em seu "Fascículo" da Teoria dos Conjuntos e o expandiram para o Capítulo IV da edição de 1957. Eles identificaram três estruturas-mãe : algébrica, topológica e de ordem.

Exemplo: os números reais

O conjunto de números reais tem várias estruturas padrão:

• Um pedido: cada número é menor ou maior do que qualquer outro número.
• Estrutura algébrica: existem operações de multiplicação e adição que o tornam um campo .
• Uma medida: os intervalos da linha real têm um comprimento específico , que pode ser estendido à medida de Lebesgue em muitos de seus subconjuntos .
• Uma métrica: existe uma noção de distância entre os pontos.
• Uma geometria: está equipada com uma métrica e é plana .
• Uma topologia: existe uma noção de conjuntos abertos .

Existem interfaces entre estas:

• Sua ordem e, independentemente, sua estrutura métrica induzem sua topologia.
• Sua ordem e estrutura algébrica o tornam um campo ordenado .
• Sua estrutura algébrica e topologia o tornam um grupo de Lie , um tipo de grupo topológico .

Veja também

• Estrutura abstrata
• Isomorfismo
• Definições equivalentes de estruturas matemáticas
• Teoria do tipo intuicionista
• Espaço (matemática)

Referências

Leitura adicional

• Foldes, Stephan (1994). Estruturas Fundamentais de Álgebra e Matemática Discreta . Hoboken: John Wiley & Sons. ISBN 9781118031438.
• Hegedus, Stephen John; Moreno-Armella, Luis (2011). “O surgimento de estruturas matemáticas”. Estudos Educacionais em Matemática . 77 (2): 369–388. doi : 10.1007 / s10649-010-9297-7 . S2CID  119981368 .
• Kolman, Bernard; Busby, Robert C .; Ross, Sharon Cutler (2000). Estruturas matemáticas discretas (4ª ed.). Upper Saddle River, NJ: Prentice Hall. ISBN 978-0-13-083143-9.
• Malik, DS; Sen, MK (2004). Estruturas matemáticas discretas: teoria e aplicações . Austrália: Thomson / Curso de Tecnologia. ISBN 978-0-619-21558-3.
• Pudlák, Pavel (2013). "Estruturas matemáticas". Fundamentos lógicos da matemática e complexidade computacional uma introdução suave . Cham: Springer. pp. 2–24. ISBN 9783319001197.
• Senechal, M. (21 de maio de 1993). "Estruturas matemáticas". Ciência . 260 (5111): 1170–1173. doi : 10.1126 / science.260.5111.1170 . PMID  17806355 .

links externos

• "Estrutura" . PlanetMath . (fornece uma definição teórica do modelo.)
• Estruturas matemáticas em ciência da computação (periódico)