Teorema de Marden - Marden's theorem

Um triângulo e sua inelipse de Steiner. Os zeros de p ( z ) são os pontos pretos e os zeros de p ' ( z ) são os pontos vermelhos). O ponto verde central é o zero de  p "( z ) . O teorema de Marden afirma que os pontos vermelhos são os focos da elipse.

Em matemática , o teorema de Marden , nomeado após Morris Marden, mas provado cerca de 100 anos antes por Jörg Siebeck, fornece uma relação geométrica entre os zeros de um polinômio de terceiro grau com coeficientes complexos e os zeros de sua derivada . Consulte também propriedades geométricas de raízes polinomiais .

Demonstração

Um polinômio cúbico tem três zeros no plano dos números complexos, que em geral formam um triângulo, e o teorema de Gauss-Lucas afirma que as raízes de sua derivada estão dentro desse triângulo. O teorema de Marden afirma sua localização dentro deste triângulo com mais precisão:

Suponha que os zeros z 1 , z 2 e z 3 de um polinômio de terceiro grau p ( z ) sejam não colineares. Há uma elipse única inscrita no triângulo com vértices z 1 , z 2 , z 3 e tangente aos lados em seus pontos médios : a inelipse de Steiner . Os focos dessa elipse são os zeros da derivada p ' ( z ) .

Relações adicionais entre localizações de raiz e o Inellipse de Steiner

Pelo teorema de Gauss-Lucas , a raiz da derivada dupla p "( z ) deve ser a média dos dois focos, que é o ponto central da elipse e o centróide do triângulo. No caso especial em que o triângulo é equilátero (como acontece, por exemplo, para o polinômio p ( z ) = z 3 - 1 ) a elipse inscrita degenera em um círculo, e a derivada de  p tem uma raiz dupla no centro do círculo. Por outro lado, se a derivada tem uma raiz dupla, então o triângulo deve ser equilátero ( Kalman 2008a ).

Generalizações

Uma versão mais geral do teorema, devido a Linfield (1920) , aplica-se aos polinômios p ( z ) = ( z - a ) i ( z - b ) j ( z - c ) k cujo grau i + j + k pode ser maior que três, mas que tem apenas três raízes a , b e c . Para tais polinômios, as raízes da derivada podem ser encontradas nas raízes múltiplas do polinômio dado (as raízes cujo expoente é maior que um) e nos focos de uma elipse cujos pontos de tangência ao triângulo dividem seus lados nas razões i  : j , j  : k , e k  : i .

Outra generalização ( Parish (2006) ) é para n -gons: alguns n -gons têm uma elipse interna que é tangente a cada lado no ponto médio do lado. O teorema de Marden ainda se aplica: os focos desta inelipse ponto médio-tangente são zeros da derivada do polinômio cujos zeros são os vértices do n -gon.

História

Jörg Siebeck descobriu esse teorema 81 anos antes de Marden escrever sobre ele. No entanto, Dan Kalman intitulou seu artigo American Mathematical Monthly de "Teorema de Marden" porque, como ele escreve, "Eu chamo isso de Teorema de Marden porque o li pela primeira vez no maravilhoso livro de M. Marden".

Marden ( 1945 , 1966 ) atribui o que agora é conhecido como teorema de Marden a Siebeck (1864) e cita nove artigos que incluíam uma versão do teorema. Dan Kalman ganhou o Prêmio Lester R. Ford de 2009 da Mathematical Association of America por seu artigo de 2008 no American Mathematical Monthly descrevendo o teorema.

Uma prova curta e elementar do teorema de Marden é explicada na solução de um exercício no livro “Geometri” de Fritz Carlson (em sueco, 1943).

Veja também

Referências