Selecionar nível - Level set
Em matemática , um conjunto de nível de uma função real avaliada f de n variáveis reais é um conjunto onde a função assume um determinado valor constante c , ou seja:
Quando o número de variáveis independentes é dois, um conjunto de níveis é chamado de curva de nível , também conhecida como linha de contorno ou isolinha ; portanto, uma curva de nível é o conjunto de todas as soluções de valor real de uma equação em duas variáveis x 1 e x 2 . Quando n = 3, um conjunto de nível é chamado de superfície nivelada (ou isosuperfície ); portanto, uma superfície nivelada é o conjunto de todas as raízes com valor real de uma equação em três variáveis x 1 , x 2 e x 3 . Para valores mais altos de n , o conjunto de nível é uma hipersuperfície de nível , o conjunto de todas as raízes com valor real de uma equação em n > 3 variáveis.
Um conjunto de níveis é um caso especial de fibra .
Nomes alternativos
Os conjuntos de níveis aparecem em muitos aplicativos, geralmente com nomes diferentes.
Por exemplo, uma curva implícita é uma curva de nível, que é considerada independentemente de suas curvas vizinhas, enfatizando que tal curva é definida por uma equação implícita . Analogamente, uma superfície nivelada às vezes é chamada de superfície implícita ou isosuperfície .
O nome isocontour também é usado, o que significa um contorno de altura igual. Em diversas áreas de aplicação, isocontours receberam nomes específicos, que indicam muitas vezes a natureza dos valores da função considerada, como isobar , isotérmica , isogon , isochrone , isoquanta e curva de indiferença .
Exemplos
Considere a distância euclidiana bidimensional:
Um segundo exemplo é o gráfico da função de
Himmelblau mostrado na figura à direita. Cada curva mostrada é uma curva de nível da função e elas são espaçadas logaritmicamente: se uma curva representa , a curva diretamente "dentro" representa e a curva diretamente "fora" representa .Conjuntos de níveis versus gradiente
- Teorema : Se a função f é diferenciável , o gradiente de f em um ponto é zero ou perpendicular ao conjunto de nível de f naquele ponto.
Para entender o que isso significa, imagine que dois caminhantes estão no mesmo local em uma montanha. Um deles é ousado e decide ir na direção em que a inclinação é mais acentuada. O outro é mais cauteloso; não quer subir nem descer, escolhendo um caminho que o mantenha na mesma altura. Em nossa analogia, o teorema acima diz que os dois caminhantes partirão em direções perpendiculares entre si.
Uma consequência desse teorema (e de sua prova) é que se f é diferenciável, um conjunto de níveis é uma hipersuperfície e uma variedade fora dos pontos críticos de f . Em um ponto crítico, um conjunto de níveis pode ser reduzido a um ponto (por exemplo, em um extremo local de f ) ou pode ter uma singularidade , como um ponto de autointerseção ou uma
cúspide .Conjuntos de subnível e supernível
Um conjunto do formulário
é chamado de conjunto de
subnível de f (ou, alternativamente, um conjunto de nível inferior ou trincheira de f ). Um conjunto estrito de subnível de f éde forma similar
é chamado de conjunto de
supernível de f . E da mesma forma, um conjunto estrito de supernível de f éConjuntos de subnível são importantes na teoria de minimização . O limite de algum conjunto de subnível não vazio e a semicontinuidade inferior da função implica que uma função atinge seu mínimo, pelo teorema de Weierstrass . A convexidade de todos os conjuntos de subníveis caracteriza as funções quase-
convexas .