Lei das tangentes - Law of tangents

Figura 1 - Um triângulo. Os ângulos α , β e γ são respectivamente opostos aos lados a , b e c .

Trigonometria
Contorno História Uso Funções  ( inversa ) Trigonometria generalizada
Referência
Identidades Constantes exatas Mesas Círculo de unidade
Leis e teoremas
Sines Cossenos Tangentes Cotangents teorema de Pitágoras
Cálculo
Substituição trigonométrica Integrais  ( funções inversas ) Derivados
v t e

Na trigonometria , a lei das tangentes é uma declaração sobre a relação entre as tangentes de dois ângulos de um triângulo e os comprimentos dos lados opostos.

Na Figura 1, a , b e c são os comprimentos dos três lados do triângulo, e α , β e γ são os ângulos opostos a esses três lados respectivos. A lei das tangentes afirma que

${\ displaystyle {\ frac {ab} {a + b}} = {\ frac {\ tan {\ tfrac {1} {2}} (\ alpha - \ beta)} {\ tan {\ tfrac {1} { 2}} (\ alpha + \ beta)}}.}$

A lei das tangentes, embora não tão comumente conhecida como a lei dos senos ou a lei dos cossenos , é equivalente à lei dos senos e pode ser usada em qualquer caso onde dois lados e o ângulo incluído, ou dois ângulos e um lado , são conhecidos.

Prova

Para provar a lei das tangentes, pode-se começar com a lei dos senos :

${\ displaystyle {\ frac {a} {\ sin \ alpha}} = {\ frac {b} {\ sin \ beta}}.}$

Deixar

${\ displaystyle d = {\ frac {a} {\ sin \ alpha}} = {\ frac {b} {\ sin \ beta}}}$

de modo a

${\ displaystyle a = d \ sin \ alpha \ quad {\ text {e}} \ quad b = d \ sin \ beta.}$

Segue que

${\ displaystyle {\ frac {ab} {a + b}} = {\ frac {d \ sin \ alpha -d \ sin \ beta} {d \ sin \ alpha + d \ sin \ beta}} = {\ frac {\ sin \ alpha - \ sin \ beta} {\ sin \ alpha + \ sin \ beta}}.}$

Usando a identidade trigonométrica , a fórmula do fator para senos especificamente

${\ displaystyle \ sin \ alpha \ pm \ sin \ beta = 2 \ sin {\ tfrac {1} {2}} (\ alpha \ pm \ beta) \, \ cos {\ tfrac {1} {2}} ( \ alpha \ mp \ beta),}$

Nós temos

${\ displaystyle {\ frac {ab} {a + b}} = {\ frac {2 \ sin {\ tfrac {1} {2}} (\ alpha - \ beta) \, \ cos {\ tfrac {1} {2}} (\ alpha + \ beta)} {2 \ sin {\ tfrac {1} {2}} (\ alpha + \ beta) \, \ cos {\ tfrac {1} {2}} (\ alpha - \ beta)}} = {\ frac {\ sin {\ tfrac {1} {2}} (\ alpha - \ beta)} {\ cos {\ tfrac {1} {2}} (\ alpha - \ beta )}} {\ Bigg /} {\ frac {\ sin {\ tfrac {1} {2}} (\ alpha + \ beta)} {\ cos {\ tfrac {1} {2}} (\ alpha + \ beta)}} = {\ frac {\ tan {\ tfrac {1} {2}} (\ alpha - \ beta)} {\ tan {\ tfrac {1} {2}} (\ alpha + \ beta)} }.}$

Como alternativa ao uso da identidade para a soma ou diferença de dois senos, pode-se citar a identidade trigonométrica

${\ displaystyle \ tan {\ tfrac {1} {2}} (\ alpha \ pm \ beta) = {\ frac {\ sin \ alpha \ pm \ sin \ beta} {\ cos \ alpha + \ cos \ beta} }}$

(veja a fórmula do meio-ângulo da tangente ).

Aplicativo

A lei de tangentes pode ser usado para calcular o lado em falta e os ângulos de um triângulo no qual dois lados um e b e do ângulo fechado γ são dadas. A partir de

${\ displaystyle \ tan {\ tfrac {1} {2}} (\ alpha - \ beta) = {\ frac {ab} {a + b}} \ tan {\ tfrac {1} {2}} (\ alpha + \ beta) = {\ frac {ab} {a + b}} \ cot {\ tfrac {1} {2}} \ gamma}$

pode-se calcular α - β ; junto com α + β = 180 ° - γ isso resulta em α e β ; o lado c restante pode então ser calculado usando a lei dos senos . No tempo antes de as calculadoras eletrônicas estarem disponíveis, este método era preferível a uma aplicação da lei dos cossenos c = √ a ² + b ² - 2 ab cos γ , visto que esta última lei necessitava de uma pesquisa adicional em uma tabela de logaritmo , para para calcular a raiz quadrada. Nos tempos modernos, a lei da tangentes podem ter melhor numéricos propriedades do que a lei dos cossenos: Se γ é pequeno, e um e b são quase iguais, então uma aplicação da lei dos co-senos leva a uma subtração de valores quase iguais, o que implica uma perda de dígitos significativos .

Versão esférica

Em uma esfera de raio unitário, os lados do triângulo são arcos de grandes círculos . Consequentemente, seus comprimentos podem ser expressos em radianos ou quaisquer outras unidades de medida angular. Sejam A , B , C os ângulos nos três vértices do triângulo e sejam a , b , c os respectivos comprimentos dos lados opostos. A lei esférica das tangentes diz

${\ displaystyle {\ frac {\ tan {\ tfrac {1} {2}} (AB)} {\ tan {\ tfrac {1} {2}} (A + B)}} = {\ frac {\ tan {\ tfrac {1} {2}} (ab)} {\ tan {\ tfrac {1} {2}} (a + b)}}.}$

História

A lei das tangentes para triângulos esféricos foi descrita no século 13 pelo matemático persa Nasir al-Din al-Tusi (1201-1274), que também apresentou a lei dos senos para triângulos planos em sua obra de cinco volumes, Tratado sobre o Quadrilátero .

Veja também

• Lei dos senos
• Lei dos cossenos
• Lei dos cotangentes
• Fórmula de Mollweide
• Fórmula de meio lado
• Fórmula de meio-ângulo tangente

Notas