dimensão isoperimétrica - Isoperimetric dimension

Em matemática , a dimensão isoperimétrica de um colector é uma noção da dimensão que tenta capturar a forma como o comportamento em larga escala do colector assemelha a de um espaço euclidiano (ao contrário da dimensão topológica ou a dimensão de Hausdorff que comparar diferentes comportamentos locais contra os de o espaço euclidiano).

No espaço euclidiano , a desigualdade isoperimétrica diz que de todos os corpos com o mesmo volume, a bola tem a área de superfície menor. Em outras manifolds é geralmente muito difícil encontrar o corpo precisa minimizar a área de superfície, e não é isso que a dimensão isoperimétrica é sobre. A pergunta que vai fazer é, o que é aproximadamente a área de superfície mínima, qualquer que seja o corpo perceber que poderia ser.

Definição formal

Nós dizer sobre uma variedade diferenciável M que satisfaz uma d -dimensional desigualdade isoperimétrica se por qualquer conjunto aberto D em M com um limite suave tem

${\ Displaystyle \ mathrm {área} \, (\ D parcial) \ GEQ C \, \ mathrm {vol} \, (D) ^ {(d-1) / d}.}$

O notações vol e área referem-se às noções regulares de volume e área de superfície no distribuidor, ou mais precisamente, se o colector tem n dimensões topológicos, em seguida, vol refere-se a n volume de -dimensional e área refere-se a ( n  - 1) de volume -dimensional . C aqui refere-se a uma constante, que não depende de D (que pode depender do colector e em d ).

A dimensão isoperimétrica de M é o supremo de todos os valores de d de tal modo que H satisfaz uma d -dimensional desigualdade isoperimétrica.

Exemplos

Um d -dimensional espaço euclidiano tem isoperimétrica dimensão d . Este é o bem conhecido problema isoperimétrica - como foi discutido acima, para o espaço euclidiano a constante C é conhecida precisamente desde o mínimo é obtido para a bola.

Um cilindro infinito (ou seja, um produto do círculo e a linha ) tem dimensão topológica 2 mas isoperimétrica dimensão 1. Com efeito, multiplicando qualquer colector com um colector compacto não se altera a dimensão isoperimétrica (apenas altera o valor da constante C ). Qualquer variedade compacta tem dimensão isoperimétrica 0.

Também é possível para a dimensão isoperimétrica a ser maior do que a dimensão topológica. O exemplo mais simples é o infinito trepa-trepa , que tem dimensão topológica 2 e dimensão isoperimétrica 3. Veja [1] para fotos e código de Mathematica.

O plano hiperbólico tem dimensão topológica 2 e infinito dimensão isoperimétrica. Na verdade, o plano hiperbólico tem positiva constante Cheeger . Isso significa que ele satisfaz a desigualdade

${\ Displaystyle \ mathrm {área} \, (\ D parcial) \ GEQ C \, \ mathrm {vol} \, (D),}$

o que obviamente implica dimensão isoperimétrica infinito.

de gráficos

A dimensão isoperimétrica de gráficos pode ser definida de forma semelhante. A definição precisa é dado na pesquisa de Chung. Área e volume são medidos por tamanhos fixos. Para cada subconjunto A do gráfico G se define como o conjunto de vértices no com um vizinho em  um . Um d desigualdade isoperimétrica -dimensional é agora definida pela ${\ Displaystyle \ Um parcial}$${\ Displaystyle G \ setminus A}$

${\ Displaystyle | \ Um parcial | \ GEQ C \ esquerda (\ min \ esquerda (| A |, | G \ setminus A | \ direita) \ direita). ^ {(D-1) / d}}$

(Esta questão MathOverflow fornece mais detalhes.) Os análogos gráfico de todos os exemplos acima preensão, mas a definição é ligeiramente diferente, a fim de evitar que a dimensão isoperimétrica de qualquer gráfico finito é 0: Na fórmula acima do volume de é substituído por ( veja pesquisa de Chung, a secção 7). ${\ Displaystyle A}$${\ Displaystyle \ min (| A |, | G \ setminus A |)}$

A dimensão de um isoperimétrica d grade -dimensional é d . Em geral, a dimensão isoperimétrica é preservada por isometries quasi , tanto por quase-isometries entre colectores, entre gráficos, e ainda por que transportam quase isometries colectores de gráficos, com as respectivas definições. Em termos brutos, isso significa que um gráfico de "imitar" um determinado colector (como os imitadores de grade o espaço euclidiano) teria a mesma dimensão isoperimétrica como o colector. Uma completa infinita árvore binária tem ∞ dimensão isoperimétrica.

Consequências da isoperimetry

Uma simples integração sobre r (ou soma no caso de gráficos) mostra que uma d -dimensional desigualdade isoperimétrica implica um d -dimensional crescimento de volume , ou seja

${\ Displaystyle \ mathrm {vol} \, B (x, r) \ GEQ Cr ^ {d}}$

onde B ( x , r ) indica a esfera de raio R em torno do ponto x na distância Riemannianos ou na distância gráfico . Em geral, o oposto não é verdade, isto é, mesmo uniformemente exponencial de crescimento de volume não implicam qualquer tipo de desigualdade isoperimétrica. Um exemplo simples pode ser tido, tendo o gráfico Z (isto é, todos os números inteiros com arestas entre n e n  + 1) e a ligação ao vértice n uma árvore binária completa de altura | n |. Ambas as propriedades (crescimento exponencial e 0 dimensão isoperimétrica) são fáceis de verificar.

Uma exceção interessante é o caso de grupos . Acontece que um grupo com crescimento polinomial de ordem d tem isoperimétrica dimensão d . Isto é válido tanto para o caso de grupos de Lie e para o gráfico de Cayley de um grupo finitos gerado .

Um teorema de Varopoulos liga a dimensão isoperimétrica de um gráfico da taxa de fuga do passeio aleatório no gráfico. Os estados de resultado

teorema Varopoulos': Se L é um gráfico que satisfaça uma desigualdade isoperimétrica d-dimensional, em seguida

${\ Displaystyle P_ {n} (x, y) \ leq Cn ^ {- d / 2}}$

onde representa a probabilidade de que um passeio aleatório em L a partir de x será em y após n passos, e C é uma constante.${\ Displaystyle \ scriptstyle P_ {n} (x, y)}$

Referências

• Isaac Chavel, isoperimétrica Desigualdades: persepectives geométricas e analíticas diferenciais , Cambridge University Press, Cambridge, Reino Unido (2001), ISBN  0-521-80267-9

Discute o tema no contexto das variedades, nenhuma menção de gráficos.

• N. Th. Varopoulos, desigualdades isoperimétrica e Cadeias de Markov , J. Funct. Anal. 63: 2 (1985), 215-239.
• Thierry Coulhon e Laurent Saloff-Coste, Isopérimétrie pour les groupes et les Variétés , Rev. Mat. Iberoamericana 9: 2 (1993), 293-314.

Este papel contém o resultado que, em grupos de crescimento polinomial, o crescimento do volume e desigualdades isoperimétrica são equivalentes. Em francês.

• Ventilador de Chung, Discreta isoperimétrica desigualdades . Pesquisas em Geometria Diferencial IX , International Press, (2004), 53-82. http://math.ucsd.edu/~fan/wp/iso.pdf .

Este papel contém uma definição exacta da dimensão isoperimétrica de um grafo, e estabelece muitas das suas propriedades.