Teoria invariante - Invariant theory

A teoria dos invariantes é um ramo da álgebra abstrata que lida com ações de grupos em variedades algébricas , como espaços vetoriais, do ponto de vista de seu efeito em funções. Classicamente, a teoria tratava da questão da descrição explícita de funções polinomiais que não mudam, ou são invariantes , sob as transformações de um determinado grupo linear . Por exemplo, se considerarmos a ação do grupo linear especial SL _n no espaço de n por n matrizes por multiplicação à esquerda, então o determinante é uma invariante desta ação porque o determinante de AX é igual ao determinante de X , quando A é em SL _n .

Introdução

Let Ser um grupo , e um espaço vetorial de dimensão finita sobre um campo (que na teoria invariante clássica foi geralmente assumido para ser os números complexos ). Uma representação de in é um homomorfismo de grupo , que induz uma ação grupal de on . Se for o espaço das funções polinomiais on , a ação do grupo de on produz uma ação on pela seguinte fórmula: ${\displaystyle G}$${\displaystyle V}$ ${\displaystyle k}$${\displaystyle G}$${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \pi :G\to GL(V)}$${\displaystyle G}$${\displaystyle V}$${\displaystyle k[V]}$${\displaystyle V}$${\displaystyle G}$${\displaystyle V}$${\displaystyle k[V]}$

${\displaystyle (g\cdot f)(x):=f(g^{-1}(x))\qquad \forall x\in V,g\in G,f\in k[V].}$

Com esta ação é natural considerar o subespaço de todas as funções polinomiais que são invariantes sob esta ação de grupo, em outras palavras, o conjunto de polinômios tal que para todos . Este espaço de polinômios invariantes é denotado . ${\displaystyle g\cdot f=f}$${\displaystyle g\in G}$${\displaystyle k[V]^{G}}$

Primeiro problema da teoria invariante : uma álgebra gerada finitamente acabou ? ${\displaystyle k[V]^{G}}$${\displaystyle k}$

Por exemplo, se e o espaço de matrizes quadradas, e a ação de on é dada pela multiplicação à esquerda, então é isomórfico a uma álgebra polinomial em uma variável, gerada pelo determinante. Em outras palavras, neste caso, todo polinômio invariante é uma combinação linear de potências do polinômio determinante. Portanto, neste caso, é gerado finitamente . ${\displaystyle G=SL_{n}}$${\displaystyle V=M_{n}}$${\displaystyle G}$${\displaystyle V}$${\displaystyle k[V]^{G}}$${\displaystyle k[V]^{G}}$${\displaystyle k}$

Se a resposta for sim, então a próxima questão é encontrar uma base mínima e perguntar se o módulo de relações polinomiais entre os elementos de base (conhecido como sizigias ) é finitamente gerado . ${\displaystyle k[V]}$

A teoria invariante de grupos finitos tem conexões íntimas com a teoria de Galois . Um dos primeiros resultados principais foi o teorema principal sobre as funções simétricas que descreveu os invariantes do grupo simétrico agindo no anel polinomial ] por permutações das variáveis. De maneira mais geral, o teorema de Chevalley-Shephard-Todd caracteriza grupos finitos cuja álgebra de invariantes é um anel polinomial. A pesquisa moderna em teoria invariante de grupos finitos enfatiza resultados "eficazes", como limites explícitos nos graus dos geradores. O caso da característica positiva , ideologicamente próximo da teoria da representação modular , é uma área de estudo ativo, com ligações à topologia algébrica . ${\displaystyle S_{n}}$ ${\displaystyle R[x_{1},\ldots ,x_{n}}$

A teoria invariante de grupos infinitos está inextricavelmente ligada ao desenvolvimento da álgebra linear , especialmente, as teorias das formas quadráticas e determinantes . Outro assunto com forte influência mútua foi a geometria projetiva , onde se esperava que a teoria invariante desempenhasse um papel importante na organização do material. Um dos destaques dessa relação é o método simbólico . A teoria da representação de grupos de Lie semisimples tem suas raízes na teoria dos invariantes.

O trabalho de David Hilbert sobre a questão da geração finita da álgebra dos invariantes (1890) resultou na criação de uma nova disciplina matemática, a álgebra abstrata. Um artigo posterior de Hilbert (1893) tratou das mesmas questões de maneiras mais construtivas e geométricas, mas permaneceu virtualmente desconhecido até David Mumford trazer essas ideias de volta à vida na década de 1960, de uma forma consideravelmente mais geral e moderna, em sua invariante geométrica teoria . Em grande medida, devido à influência de Mumford, o assunto da teoria dos invariantes é visto como abrangendo a teoria das ações de grupos algébricos lineares em variedades afins e projetivas . Uma vertente distinta da teoria invariante, que remonta aos métodos construtivos e combinatórios clássicos do século XIX, foi desenvolvida por Gian-Carlo Rota e sua escola. Um exemplo importante desse círculo de idéias é dado pela teoria dos monômios padrão .

Exemplos

Exemplos simples de teoria invariante vêm do cálculo dos monômios invariantes de uma ação de grupo. Por exemplo, considere a ação-no envio ${\displaystyle \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} }$${\displaystyle \mathbb {C} [x,y]}$

${\displaystyle {\begin{aligned}x\mapsto -x&&y\mapsto -y\end{aligned}}}$

Então, uma vez que são os monômios de menor grau que são invariantes, temos que ${\displaystyle x^{2},xy,y^{2}}$

${\displaystyle \mathbb {C} [x,y]^{\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} }\cong \mathbb {C} [x^{2},xy,y^{2}]\cong {\frac {\mathbb {C} [a,b,c]}{(ac-b^{2})}}}$

Este exemplo forma a base para muitos cálculos.

As origens do século XIX

Cayley estabeleceu pela primeira vez a teoria invariante em seu "On the Theory of Linear Transformations (1845)". Na abertura de seu artigo, Cayley credita um artigo de 1841 de George Boole, "investigações foram sugeridas a mim por um artigo muito elegante sobre o mesmo assunto ... pelo Sr. Boole." (O artigo de Boole foi Exposition of a General Theory of Linear Transformations, Cambridge Mathematical Journal.)

Classicamente, o termo "teoria invariante" refere-se ao estudo de formas algébricas invariantes (equivalentemente, tensores simétricos ) para a ação de transformações lineares . Este foi um importante campo de estudo na última parte do século XIX. Teorias atuais relacionadas ao grupo simétrico e funções simétricas , álgebra comutativa , espaços de módulos e as representações de grupos de Lie estão enraizadas nesta área.

Mais detalhadamente, dado um espaço vetorial de dimensão finita V de dimensão n , podemos considerar a álgebra simétrica S ( S ^r ( V )) dos polinômios de grau r sobre V , e a ação sobre ele de GL ( V ). Na verdade, é mais preciso considerar as invariantes relativas de GL ( V ), ou representações de SL ( V ), se vamos falar de invariantes : isso é porque um múltiplo escalar da identidade atuará em um tensor de categoria r em S ( V ) através da r- ésima potência 'peso' do escalar. A questão é então definir a subálgebra de invariantes I ( S ^r ( V )) para a ação. Estamos, em linguagem clássica, olhando para invariantes de n -ary r -ics, onde N é a dimensão do  V . (Isso não é o mesmo que encontrar invariantes de GL ( V ) em S ( V ); este é um problema desinteressante, pois os únicos invariantes são constantes.) O caso mais estudado foram os invariantes de formas binárias onde n  = 2.

Outro trabalho incluiu o de Felix Klein no cálculo dos anéis invariantes de ações de grupos finitos sobre (os grupos poliédricos binários , classificados pela classificação ADE ); esses são os anéis de coordenadas das singularidades du Val . ${\displaystyle \mathbf {C} ^{2}}$

O trabalho de David Hilbert , provando que I ( V ) foi finitamente apresentado em muitos casos, quase acabou com a teoria invariante clássica por várias décadas, embora a época clássica no assunto continuasse até as publicações finais de Alfred Young , mais de 50 anos depois. Cálculos explícitos para fins específicos são conhecidos nos tempos modernos (por exemplo, Shioda, com os octávicos binários).

Teoremas de Hilbert

Hilbert (1890) provou que se V é uma representação de dimensão finita do grupo algébrico complexo G = SL _n ( C ) então o anel de invariantes de G atuando no anel de polinômios R = S ( V ) é finitamente gerado. Sua prova usou o operador de Reynolds ρ de R a R ^G com as propriedades

• ρ (1) = 1
• ρ ( a + b ) = ρ ( a ) + ρ ( b )
• ρ ( ab ) = a ρ ( b ) sempre que a for invariante.

Hilbert construiu o operador de Reynolds explicitamente usando o processo de Cayley , embora agora seja mais comum construir ρ indiretamente da seguinte forma: para grupos compactos G , o operador de Reynolds é dado tomando a média sobre G , e grupos redutivos não compactos podem ser reduzido ao caso de grupos compactos usando o truque unitário de Weyl .

Dado o operador de Reynolds, o teorema de Hilbert é provado como segue. O anel R é um anel polinomial, então é graduado em graus, e o ideal I é definido como sendo o ideal gerado pelos invariantes homogêneos de graus positivos. Pelo teorema da base de Hilbert, o ideal I é finitamente gerado (como um ideal). Conseqüentemente, I é finitamente gerado por finitamente muitos invariantes de G (porque se nos é dado qualquer - possivelmente infinito - subconjunto S que gere um ideal finitamente gerado I , então I já é gerado por algum subconjunto finito de S ). Seja i ₁ , ..., i _n um conjunto finito de invariantes de G gerando I (como um ideal). A ideia principal é mostrar que eles geram o anel R ^G de invariantes. Suponha que x seja algum invariante homogêneo de grau d  > 0. Então

x = a ₁ i ₁ + ... + a _n i _n

para algum a _j no anel R porque x está no I ideal . Podemos assumir que a _j é homogêneo de grau d - deg i _j para todo j (caso contrário, substituímos a _j por seu componente homogêneo de grau d - deg i _j ; se fizermos isso para todo j , a equação x = a ₁ i ₁ + ... + a _n i _n permanecerá válido). Agora, aplicando o operador de Reynolds a x = a ₁ i ₁ + ... + a _n i _n dá

x = ρ ( a ₁ ) i ₁ + ... + ρ ( a _n ) i _n

Vamos agora mostrar que x está na R- álgebra gerada por i ₁ , ..., i _n .

Primeiro, façamos isso no caso em que todos os elementos ρ ( a _k ) têm grau menor que d . Nesse caso, eles estão todos na álgebra R gerada por i ₁ , ..., i _n (por nossa suposição de indução). Portanto, x também está nesta R- álgebra (uma vez que x = ρ ( a ₁ ) i ₁ + ... + ρ ( a _n ) i _n ).

No caso geral, não podemos ter certeza de que todos os elementos ρ ( a _k ) têm grau menor que d . Mas podemos substituir cada ρ ( a _k ) por seu componente homogêneo de grau d - deg i _j . Como resultado, esses ρ ( a _k ) modificados ainda são G -invariantes (porque todo componente homogêneo de uma G -invariante é uma G -invariante) e têm grau menor que d (desde deg i _k > 0). A equação x = ρ ( a ₁ ) i ₁ + ... + ρ ( a _n ) i _n ainda é válida para nosso ρ ( a _k ) modificado , então podemos novamente concluir que x está no R- álgebra gerado por i ₁ , ..., i _n .

Portanto, por indução no grau, todos os elementos de R ^G estão na R- álgebra gerada por i ₁ , ..., i _n .

Teoria geométrica invariante

A formulação moderna da teoria dos invariantes geométricos é devida a David Mumford , e enfatiza a construção de um quociente pela ação do grupo que deve capturar informações invariantes através de seu anel de coordenadas. É uma teoria sutil, em que o sucesso é obtido excluindo algumas órbitas 'ruins' e identificando outras com órbitas 'boas'. Em um desenvolvimento separado, o método simbólico da teoria invariante , uma notação combinatória aparentemente heurística, foi reabilitado.

Uma motivação era construir espaços de módulos em geometria algébrica como quocientes de esquemas parametrizando objetos marcados. Nas décadas de 1970 e 1980, a teoria desenvolveu interações com geometria simplética e topologia equivariante, e foi usada para construir espaços de módulos de objetos em geometria diferencial , como instantons e monopólos .

Veja também

• Teorema de Gram
• teoria da representação de grupos finitos
• Série Molien
• invariante (matemática)
• Invariante de uma forma binária
• Primeiro e segundo teoremas fundamentais da teoria invariante

Referências

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links externos

• H. Kraft, C. Procesi, Classical Invariant Theory, a Primer
• VL Popov, EB Vinberg, `` Invariant Theory ", em Algebraic geometry . IV. Encyclopaedia of Mathematical Sciences, 55 (traduzido da edição russa de 1989) Springer-Verlag, Berlin, 1994; vi + 284 pp .; ISBN  3-540- 54682-0