Função Hasse-Weil zeta - Hasse–Weil zeta function

Em matemática , a função zeta Hasse-Weil ligado a uma variedade algébrica V definida ao longo de um campo de número algébrico K é um dos dois tipos mais importantes de L-função . Essas funções L são chamadas de 'globais', pois são definidas como produtos de Euler em termos de funções zeta locais . Eles formam uma das duas classes principais de funções L globais , sendo a outra as funções L associadas a representações automórficas . Conjeturalmente, há apenas um tipo essencial de função L global , com duas descrições (vindo de uma variedade algébrica, vindo de uma representação automórfica); isso seria uma vasta generalização da conjectura de Taniyama-Shimura , ela própria um resultado muito profundo e recente (a partir de 2009) na teoria dos números .

Definição

A descrição da função Hasse-Weil zeta até um número finito de fatores de seu produto de Euler é relativamente simples. Isso segue as sugestões iniciais de Helmut Hasse e André Weil , motivadas pelo caso em que V é um único ponto, e o resultado da função zeta de Riemann .

Tomando o caso de K o campo de números racionais Q , e V uma variedade projetiva não singular , podemos para quase todos os números primos p considerar a redução de V módulo p , uma variedade algébrica V _p sobre o corpo finito F _p com p elementos , apenas através da redução equações para V . Esquema-teoricamente, esta redução é apenas a retirada de V ao longo do mapa canónica Spec F _p → Spec Z . Novamente, para quase todo p será não singular. Nós definimos

${\ displaystyle Z_ {V, Q} (s)}$

ser a série de Dirichlet da variável complexa s , que é o produto infinito das funções zeta locais

${\ displaystyle \ zeta _ {V, p} \ left (p ^ {- s} \ right).}$

Então Z ( s ), de acordo com nossa definição, é bem definido apenas até a multiplicação por funções racionais em um número finito de . ${\ displaystyle p ^ {- s}}$

Visto que a indeterminação é relativamente inofensiva e tem continuação meromórfica em todos os lugares, há um sentido em que as propriedades de Z (s) não dependem essencialmente dela. Em particular, enquanto a forma exata da equação funcional para Z ( s ), refletindo em uma linha vertical no plano complexo, definitivamente dependerá dos fatores "ausentes", a existência de alguma equação funcional não depende.

Uma definição mais refinada tornou-se possível com o desenvolvimento da cohomologia étale ; isso explica com clareza o que fazer com os fatores ausentes e de 'redução ruim'. De acordo com os princípios gerais visíveis na teoria da ramificação , os primos 'ruins' carregam boas informações (teoria do condutor ). Isso se manifesta na teoria étale no critério de Ogg – Néron – Shafarevich para uma boa redução ; a saber, que há uma boa redução, em um sentido definido, em todos os primos p para os quais a representação de Galois ρ nos grupos de cohomologia étale de V não é ramificada . Para aqueles, a definição da função zeta local pode ser recuperada em termos do polinômio característico de

${\ displaystyle \ rho (\ operatorname {Frob} (p)),}$

Frob ( p ) sendo um elemento Frobenius para p . O que acontece no p ramificado é que ρ é não trivial no grupo de inércia I ( p ) para p . Nesses primos a definição deve ser 'corrigida', tomando o maior quociente da representação ρ sobre a qual o grupo de inércia atua pela representação trivial . Com esse refinamento, a definição de Z ( s ) pode ser atualizada com êxito de 'quase todos' p para todos os p participantes do produto de Euler. As consequências para a equação funcional foram elaboradas por Serre e Deligne no final dos anos 1960; a própria equação funcional não foi provada em geral.

Exemplo: curva elíptica sobre Q

Deixe E ser uma curva elíptica sobre Q do condutor N . Então, E tem boa redução em todos os primos p não dividindo N , tem redução multiplicativa nos primos p que dividem exatamente N (ou seja, tal que p divide N , mas p ² não; isso é escrito p || N ), e tem redução aditiva em outro lugar (ou seja, nos primos onde p ² divide N ). A função Hasse-Weil zeta de E então assume a forma

${\ displaystyle Z_ {E, \ mathbf {Q}} (s) = {\ frac {\ zeta (s) \ zeta (s-1)} {L (s, E)}}. \,}$

Aqui, ζ ( s ) é a função zeta usual de Riemann e L ( s ,  E ) é chamada de função L de E / Q , que assume a forma

${\ displaystyle L (s, E) = \ prod _ {p} L_ {p} (s, E) ^ {- 1} \,}$

onde, para um dado primo p ,

${\ displaystyle L_ {p} (s, E) = {\ begin {cases} (1-a_ {p} p ^ {- s} + p ^ {1-2s}), & {\ text {if}} p \ nmid N \\ (1-a_ {p} p ^ {- s}), & {\ text {if}} p \ mid N {\ text {e}} p ^ {2} \ nmid N \\ 1, & {\ text {if}} p ^ {2} \ mid N \ end {cases}}}$

onde, no caso de boa redução a _p é p  + 1 - (número de pontos de E  mod  p ), e no caso de redução multiplicativa a _p é ± 1 dependendo se E tem redução multiplicativa dividida ou não dividida em  p .

Conjectura de Hasse-Weil

A conjectura de Hasse-Weil afirma que a função zeta de Hasse-Weil deve se estender a uma função meromórfica para todos os s complexos e deve satisfazer uma equação funcional semelhante à da função zeta de Riemann . Para curvas elípticas sobre os números racionais, a conjectura de Hasse-Weil segue do teorema da modularidade .

Veja também

• Função zeta aritmética

Referências

Bibliografia

• J.-P. Serre , Facteurs locaux des fonctions zêta des variétés algébriques (definições e conjecturas) , 1969/1970, Sém. Delange – Pisot – Poitou, exposé 19