Conjugado harmônico projetivo - Projective harmonic conjugate

D é o conjugado de harmónica C wrt A e B .
A , D , B , C formam uma faixa harmônica.
KLMN é um quadrângulo completo que o gera.

Na geometria projetiva , o ponto conjugado harmônico de um triplo ordenado de pontos na linha projetiva real é definido pela seguinte construção:

Dados três pontos colineares A , B , C, seja L um ponto que não está em sua junção e deixe qualquer linha através de C encontrar LA , LB em M , N respectivamente. Se AN e BM encontram em K , e LK encontra AB a D , então D é chamado o conjugado harmónica de C em relação a um , B .

O ponto D não depende de que ponto G é feita inicialmente, nem sobre o linha através de C é usado para encontrar M e N . Este fato decorre do teorema de Desargues .

Na geometria projetiva real, a conjugação harmônica também pode ser definida em termos da razão cruzada como  ( A , B ; C , D ) = -1 .

Critério de razão cruzada

Os quatro pontos são algumas vezes chamados de faixa harmônica (na linha projetiva real), pois se verifica que D sempre divide o segmento AB internamente na mesma proporção que C divide AB externamente . Isso é:

${\ displaystyle {AC}: {BC} = {AD}: {DB} \ ,.}$

Se esses segmentos agora estiverem dotados com a interpretação métrica ordinária de números reais, eles serão assinados e formarão uma proporção dupla conhecida como razão cruzada (às vezes proporção dupla )

${\ displaystyle (A, B; C, D) = {\ frac {AC} {AD}} \ left / {\ frac {BC} {- DB}} \ right.,}$

para o qual uma faixa harmônica é caracterizada por um valor de -1. Portanto, escrevemos:

${\ displaystyle (A, B; C, D) = {\ frac {AC} {AD}} \ cdot {\ frac {BD} {BC}} = - 1.}$

O valor de uma razão cruzada em geral não é único , pois depende da ordem de seleção dos segmentos (e há seis seleções possíveis). Mas para um intervalo harmônico em particular, existem apenas três valores de razão cruzada: {−1, 1/2, 2}, uma vez que −1 é autoinverso - portanto, a troca dos últimos dois pontos apenas retribui cada um desses valores, mas não produz novo valor, e é conhecido classicamente como a razão cruzada harmônica .

Em termos de um rácio de duas vezes, dado pontos um e b em uma linha afim, a relação de divisão de um ponto X é

${\ displaystyle t (x) = {\ frac {xa} {xb}}.}$

Observe que quando a < x < b , então t ( x ) é negativo, e que é positivo fora do intervalo. A razão cruzada ( c , d ; a , b ) = t ( c ) / t ( d ) é uma razão de razões de divisão, ou uma razão dupla. Definir a razão dupla para menos um significa que quando t ( c ) + t ( d ) = 0 , então c e d são conjugados harmônicos em relação a a e b . Portanto, o critério da proporção de divisão é que eles sejam inversos aditivos .

A divisão harmônica de um segmento de linha é um caso especial da definição de círculo de Apolônio .

Em alguns estudos escolares, a configuração de uma faixa harmônica é chamada de divisão harmônica .

Do ponto médio

Ponto médio e infinito são conjugados harmônicos.

Quando x é o ponto médio do segmento de a a b , então

${\ displaystyle t (x) = {\ frac {xa} {xb}} = - 1.}$

Pelo critério de razão cruzada, o conjugado harmônico de x será y quando t ( y ) = 1 . Mas não há solução finita para y na reta entre a e b . Mesmo assim,

${\ displaystyle \ lim _ {y \ to \ infty} t (y) = 1,}$

motivando assim a inclusão de um ponto no infinito na linha projetiva. Este ponto no infinito serve como o conjugado harmônico do ponto médio x .

Do quadrilátero completo

Outra abordagem para o conjugado harmônico é através do conceito de um quadrângulo completo , como KLMN no diagrama acima. Com base em quatro pontos, o quadrilátero completo tem pares de lados e diagonais opostos. Na expressão de conjugados harmônicos por HSM Coxeter , as diagonais são consideradas um par de lados opostos:

D é o conjugado harmônico de C em relação a A e B , o que significa que há um quadrângulo IJKL tal que um par de lados opostos se cruzam em A e um segundo par em B , enquanto o terceiro par encontra AB em C e D .

Foi Karl von Staudt quem primeiro usou o conjugado harmônico como base para a geometria projetiva independente das considerações métricas:

... Staudt conseguiu libertar a geometria projetiva da geometria elementar. Em sua Geometrie der Lage Staudt introduziu um quádruplo harmônico de elementos independentemente do conceito de razão cruzada seguindo uma rota puramente projetiva, usando um quadrilátero ou quadrilátero completo.

${\ displaystyle P_ {1} = A, \ P_ {2} = S,}$
${\ displaystyle P_ {3} = B, \ P_ {4} = Q, D = M;}$
(ignore o M verde).

Para ver o quadrângulo completo aplicado à obtenção do ponto médio, considere a seguinte passagem de JW Young:

Se duas linhas arbitrárias AQ e AS são traçadas por A e as linhas BS e BQ são traçadas por B paralelas a AQ e AS respectivamente, as linhas AQ e SB se encontram, por definição, em um ponto R no infinito, enquanto AS e QB se encontram por definição em um ponto P no infinito. O quadrilátero completo PQRS então tem dois pontos diagonais em A e B , enquanto o par restante de lados opostos passa por M e o ponto no infinito em AB . O ponto H é então por construção do conjugado harmónica do ponto no infinito em AB com respeito a um e B . Por outro lado, que M é o ponto médio do segmento AB decorre da proposição familiar de que as diagonais de um paralelogramo ( PQRS ) se dividem entre si.

Relações quaternárias

Quatro pontos ordenados em uma faixa projetiva são chamados de pontos harmônicos quando há um tetrastigma no plano, de modo que o primeiro e o terceiro são codot e os outros dois pontos estão nos conectores do terceiro codot.

Se p é um ponto que não está em uma reta com pontos harmônicos, as junções de p com os pontos são retas harmônicas . Da mesma forma, se o eixo de um lápis de planos é inclinado para uma reta com pontos harmônicos, os planos nos pontos são planos harmônicos .

Um conjunto de quatro em tal relação foi denominado quádruplo harmônico .

Cônicas projetivas

Uma cônica no plano projetivo é uma curva C que tem a seguinte propriedade: Se P é um ponto que não está em C , e se uma linha variável através de P encontra C nos pontos A e B , então o conjugado harmônico variável de P em relação a A e B traçam uma linha. O ponto P é chamado de pólo dessa linha de conjugados harmônicos, e essa linha é chamada de linha polar de P em relação à cônica. Veja o artigo Pólo e polar para mais detalhes.

Geometria inversa

No caso em que a cônica é um círculo, nos diâmetros estendidos do círculo, os conjugados harmônicos em relação ao círculo são inversos em um círculo . Este fato decorre de um dos teoremas de Smogorzhevsky:

Se os círculos k e q são mutuamente ortogonais, então uma linha reta passando pelo centro de k e interceptando q faz isso em pontos simétricos em relação a  k .

Ou seja, se a linha é um diâmetro estendido de k , então as interseções com q são conjugados harmônicos.

Tétrades de Galois

Na geometria de Galois sobre um campo de Galois GF ( q ), uma reta possui q + 1 pontos, onde ∞ = (1,0). Nesta linha quatro pontos formam uma tétrade harmônica quando dois separam harmonicamente os outros. A condição

${\ displaystyle (c, d; a, b) = - 1, \ {\ text {equivalentemente}} \ \ 2 (cd + ab) = (c + d) (a + b),}$

caracteriza tétrades harmônicas. A atenção a essas tétrades levou Jean Dieudonné a delinear alguns isomorfismos acidentais dos grupos lineares projetivos PGL (2, q ) para q = 5, 7 e 9.

Se q = 2 ⁿ , e dados A e B , então o conjugado harmônico de C é ele mesmo.

Conjugados harmônicos projetivos iterados e a razão áurea

Sejam três pontos diferentes na linha projetiva real. Considere a sequência infinita de pontos em que o conjugado de harmónica em relação a para esta sequência é convergente. ${\ displaystyle P_ {0}, P_ {1}, P_ {2}}$${\ displaystyle P_ {n},}$${\ displaystyle P_ {n}}$${\ displaystyle P_ {n-3}}$${\ displaystyle P_ {n-1}, P_ {n-2}}$${\ displaystyle n> 2.}$

Para um limite finito , temos ${\ displaystyle P}$

${\ displaystyle \ lim _ {n \ to \ infty} {\ frac {P_ {n + 1} P} {P_ {n} P}} = \ Phi -2 = - \ Phi ^ {- 2} = - { \ frac {3 - {\ sqrt {5}}} {2}},}$

onde está a proporção áurea , ou seja, para grande . Por um limite infinito, temos ${\ displaystyle \ Phi = {\ tfrac {1} {2}} (1 + {\ sqrt {5}})}$${\ displaystyle P_ {n + 1} P \ aprox - \ Phi ^ {- 2} P_ {n} P}$${\ displaystyle n}$

${\ displaystyle \ lim _ {n \ to \ infty} {\ frac {P_ {n + 2} P_ {n + 1}} {P_ {n + 1} P_ {n}}} = - 1- \ Phi = - \ Phi ^ {2}.}$

Para uma prova, considere o isomorfismo projetivo

${\ displaystyle f (z) = {\ frac {az + b} {cz + d}}}$

com

${\ displaystyle f \ left ((- 1) ^ {n} \ Phi ^ {2n} \ right) = P_ {n}.}$

Referências

• Juan Carlos Alverez (2000) Geometria Projetiva , ver Capítulo 2: O Plano Projetivo Real, seção 3: Quádruplos Harmônicos e teorema de von Staudt.
• Robert Lachlan (1893) An Elementary Treatise on Modern Pure Geometry , link da Cornell University Historical Math Monographs.
• Bertrand Russell (1903) Principles of Mathematics , página 384.
• Russell, John Wellesley (1905). Geometria pura . Clarendon Press.