Hardy-Ramanujan teorema - Hardy–Ramanujan theorem

Em matemática , o teorema de Hardy-Ramanujan , provou por GH Hardy e Srinivasa Ramanujan  ( 1917 ), afirma que a ordem normal do ω número ( N ) de diferentes factores primos de um número n é o log (registo ( n )).

Grosso modo, isso significa que a maioria dos números têm sobre esta série de fatores principais distintos.

declaração precisa

Uma versão mais precisa afirma que para qualquer função ψ de valor real ( n ) que tende para infinito quando n tende ao infinito

${\ Displaystyle | \ omega (n) - \ log (\ log (n)) | <\ psi (n) {\ sqrt {\ log (\ log (n))}}}$

ou mais tradicionalmente

${\ Displaystyle | \ omega (n) - \ log (\ log (n)) | <{(\ log (\ log (n)))} ^ {{\ frac {1} {2}} + \ epsilon} }$

para quase todos (todos, mas uma proporção infinitesimal) inteiros. Isto é, que g ( x ) ser o número de números inteiros positivos n menos de x para o qual a desigualdade acima falhar: então g ( x ) / x converge para zero à medida que x vai para infinito.

História

Uma prova simples ao resultado Turán (1934) foi dado por Pál Turán , que usou a peneira Turán para provar que

${\ Displaystyle \ sum _ {n \ leq x} | \ omega (n) - \ log \ log n | ^ {2} \ ll x \ log \ log x \.}$

generalizações

Os mesmos resultados são verdadeiras de Ω ( n ), o número de factores primos de n contados com multiplicidade . Este teorema é generalizado pelo teorema Erdős-Kac , o que mostra que ω ( n ) é, essencialmente, normalmente distribuídos .

Referências

• Hardy, GH ; Ramanujan, S. (1917), "O número normal de factores primos de um número n " , Quarterly Journal of Mathematics , 48 : 76-92, JFM  46.0262.03
• Kuo, Wentang; Liu, Yu-Ru (2008), "O teorema Erdős-Kac e suas generalizações", em De Koninck, Jean-Marie ; Granville, Andrew ; Luca, Florian, Anatomia de inteiros. Com base na oficina de CRM, Montreal, Canadá, de Março de 13--17 de 2006 , CRM procedimentos e Lecture Notes, 46 , Providence, RI: American Mathematical Society ., Pp 209-216, ISBN  978-0-8218-4406-9 , Zbl  1.187,11024
• Turan, Pál (1934), "Em um teorema de Hardy e Ramanujan", Journal of London Mathematical Society , 9 : 274-276, DOI : 10.1112 / JLMS / s1-9.4.274 , ISSN  0.024-6.107 , Zbl  0.010,10401
• Hildebrand, A. (2001) [1994], "H / h110080" , em Hazewinkel, Michiel , Encyclopedia of Mathematics , Springer Science + Business Media BV / Kluwer Academic Publishers, ISBN  978-1-55608-010-4