Teorema do centróide de Pappus - Pappus's centroid theorem

O teorema aplicado a um cilindro aberto, cone e esfera para obter suas áreas de superfície. Os centróides estão a uma distância a (em vermelho) do eixo de rotação.

Em matemática, o teorema do centróide de Pappus (também conhecido como teorema de Guldinus , teorema de Pappus-Guldinus ou teorema de Pappus ) é um dos dois teoremas relacionados que lidam com as áreas de superfície e volumes de superfícies e sólidos de revolução.

Os teoremas são atribuídos a Pappus de Alexandria e Paul Guldin . A declaração de Pappus desse teorema aparece na impressão pela primeira vez em 1659, mas já era conhecida antes, por Kepler em 1615 e Guldin em 1640.

O primeiro teorema

O primeiro teorema afirma que a área de superfície A de uma superfície de revolução gerada pela rotação de uma curva plana C em torno de um eixo externo a C e no mesmo plano é igual ao produto do comprimento do arco s de C pela distância d percorrida por o centróide geométrico de C :

${\ displaystyle A = sd.}$

Por exemplo, a área de superfície do toro com raio menor r e raio maior R é

${\ displaystyle A = (2 \ pi r) (2 \ pi R) = 4 \ pi ^ {2} Rr.}$

O segundo teorema

O segundo teorema que o volume de V de um sólido de revolução gerada pela rotação de uma figura plana F torno de um eixo externo é igual ao produto da área A de F e a distância d percorrida pelo centróide geométrico de F . (O centróide de F é geralmente diferente do centróide de sua curva limite C. ) Ou seja:

${\ displaystyle V = Anúncio.}$

Por exemplo, o volume do toro com raio menor r e raio maior R é

${\ displaystyle V = (\ pi r ^ {2}) (2 \ pi R) = 2 \ pi ^ {2} Rr ^ {2}.}$

Este caso especial foi derivado por Johannes Kepler usando infinitesimais.

Prova

Deixe ser a área de , o sólido de revolução e o volume de . Suponha que comece no plano e gire em torno do eixo. A distância do centróide de do eixo é a sua coordenada ${\ displaystyle A}$${\ displaystyle F}$${\ displaystyle W}$${\ displaystyle F}$${\ displaystyle V}$${\ displaystyle W}$${\ displaystyle F}$${\ displaystyle xz}$${\ displaystyle z}$${\ displaystyle F}$${\ displaystyle z}$${\ displaystyle x}$

${\ displaystyle R = {\ frac {\ iint _ {F} x \, dA} {A}},}$

e o teorema afirma que

${\ displaystyle V = Ad = A \ cdot 2 \ pi R = 2 \ pi \ iint _ {F} x \, dA.}$

Para mostrar isso, vamos no plano xz , parametrizado por for , uma região de parâmetro. Como é essencialmente um mapeamento de para , a área de é dada pela fórmula de mudança de variáveis : ${\ displaystyle F}$${\ displaystyle \ mathbf {\ Phi} (u, v) = (x (u, v), 0, z (u, v))}$${\ displaystyle (u, v) \ in F ^ {*}}$${\ displaystyle \ mathbf {\ Phi}}$${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {2}}$${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {2}}$${\ displaystyle F}$

${\ displaystyle A = \ iint _ {F} dA = \ iint _ {F ^ {*}} \ left | {\ frac {\ partial (x, z)} {\ partial (u, v)}} \ right | \, du \, dv = \ iint _ {F ^ {*}} \ left | {\ frac {\ partial x} {\ partial u}} {\ frac {\ partial z} {\ partial v}} - {\ frac {\ partial x} {\ partial v}} {\ frac {\ partial z} {\ partial u}} \ right | \, du \, dv,}$

onde está o determinante da matriz Jacobiana da mudança de variáveis. ${\ displaystyle \ left | {\ tfrac {\ partial (x, z)} {\ partial (u, v)}} \ right |}$

O sólido possui parametrização toroidal para na região do parâmetro ; e seu volume é ${\ displaystyle W}$${\ displaystyle \ mathbf {\ Phi} (u, v, \ theta) = (x (u, v) \ cos \ theta, x (u, v) \ sin \ theta, z (u, v))}$${\ displaystyle (u, v, \ theta)}$${\ displaystyle W ^ {*} = F ^ {*} \ times [0,2 \ pi]}$

${\ displaystyle V = \ iiint _ {W} dV = \ iiint _ {W ^ {*}} \ left | {\ frac {\ partial (x, y, z)} {\ partial (u, v, \ theta )}} \ right | \, du \, dv \, d \ theta.}$

Expandindo,

${\ displaystyle {\ begin {alinhados} \ left | {\ frac {\ partial (x, y, z)} {\ partial (u, v, \ theta)}} \ right | & = \ left | \ det { \ begin {bmatrix} {\ frac {\ partial x} {\ partial u}} \ cos \ theta & {\ frac {\ partial x} {\ partial v}} \ cos \ theta & -x \ sin \ theta \ \ [6pt] {\ frac {\ parcial x} {\ parcial u}} \ sin \ theta & {\ frac {\ parcial x} {\ parcial v}} \ sin \ theta & x \ cos \ theta \\ [6pt ] {\ frac {\ partial z} {\ partial u}} & {\ frac {\ partial z} {\ partial v}} & 0 \ end {bmatrix}} \ right | \\ [5pt] & = \ left | - {\ frac {\ parcial z} {\ parcial v}} {\ frac {\ parcial x} {\ parcial u}} \, x + {\ frac {\ parcial z} {\ parcial u}} {\ frac { \ parcial x} {\ parcial v}} \, x \ direita | = \ \ esquerda | -x \, {\ frac {\ parcial (x, z)} {\ parcial (u, v)}} \ direita | = x \ left | {\ frac {\ partial (x, z)} {\ partial (u, v)}} \ right |. \ end {alinhado}}}$

A última igualdade é mantida porque o eixo de rotação deve ser externo a , ou seja . Agora, ${\ displaystyle F}$${\ displaystyle x \ geq 0}$

${\ displaystyle {\ begin {alinhado} V & = \ iiint _ {W ^ {*}} \ left | {\ frac {\ partial (x, y, z)} {\ partial (u, v, \ theta)} } \ right | \, du \, dv \, d \ theta = \ int _ {0} ^ {2 \ pi} \! \! \! \! \ iint _ {F ^ {*}} x (u, v) \ left | {\ frac {\ partial (x, z)} {\ partial (u, v)}} \ right | \, du \, dv \, d \ theta \\ [6pt] & = 2 \ pi \ iint _ {F ^ {*}} x (u, v) \ left | {\ frac {\ partial (x, z)} {\ partial (u, v)}} \ right | \, du \, dv = 2 \ pi \ iint _ {F} x \, dA \ end {alinhado}}}$

por mudança de variáveis.

Generalizações

Os teoremas podem ser generalizados para curvas e formas arbitrárias, sob condições apropriadas.

Goodman & Goodman generalizam o segundo teorema da seguinte maneira. Se o valor F move-se através do espaço de modo a que permaneça perpendicular para a curva G rastreada pelo centróide de F , então ele varre um sólido do volume V = Ad , onde A é a área de F e d é o comprimento de L . (Isso pressupõe que o sólido não se intercepta.) Em particular, F pode girar em torno de seu centróide durante o movimento.

No entanto, a generalização correspondente do primeiro teorema só é verdade se a curva G traçada pelos mentiras centróide num plano perpendicular ao plano de C .

Em n-dimensões

Em geral, pode-se gerar um sólido dimensional girando um sólido dimensional em torno de uma esfera dimensional. Isso é chamado de sólido de revolução das espécies . Deixe o -ésimo centróide de ser definido por ${\ displaystyle n}$${\ displaystyle np}$${\ displaystyle F}$${\ displaystyle p}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle p}$${\ displaystyle p}$${\ displaystyle F}$

${\ displaystyle R = {\ frac {\ iint _ {F} x ^ {p} \, dA} {A}},}$

Então os teoremas de Pappus generalizam para:

Volume do -sólido de revolução da espécie = (Volume do -sólido gerador ) (Área de superfície da -esfera traçada pelo -ésimo centróide do sólido gerador) ${\ displaystyle n}$${\ displaystyle p}$
${\ displaystyle (n {-} p)}$${\ displaystyle \ times}$${\ displaystyle p}$${\ displaystyle p}$

e

Área de superfície de -sólido de revolução da espécie = (Área de superfície de -sólido de geração ) (Área de superfície de -sfera traçada pelo -ésimo centróide do sólido de geração) ${\ displaystyle n}$${\ displaystyle p}$
${\ displaystyle (n {-} p)}$${\ displaystyle \ times}$${\ displaystyle p}$${\ displaystyle p}$

Os teoremas originais são o caso com . ${\ displaystyle n = 3, \, p = 1}$

Notas de rodapé

Referências

links externos

• Weisstein, Eric W. "Pappus's Centroid Theorem" . MathWorld .