Série de Grandi - Grandi's series

Em matemática , a série infinita 1 - 1 + 1 - 1 + ⋯ , também escrita

${\ displaystyle \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} (- 1) ^ {n}}$

às vezes é chamada de série de Grandi, em homenagem ao matemático, filósofo e sacerdote italiano Guido Grandi , que deu um tratamento memorável à série em 1703. É uma série divergente , o que significa que falta uma soma no sentido usual. Por outro lado, sua soma Cesàro é 1/2.

Métodos rigorosos

Um método óbvio para atacar a série

1 - 1 + 1 - 1 + 1 - 1 + 1 - 1 + ...

é tratá-lo como uma série telescópica e realizar as subtrações no local:

(1 - 1) + (1 - 1) + (1 - 1) + ... = 0 + 0 + 0 + ... = 0.

Por outro lado, um procedimento semelhante de colchetes leva ao resultado aparentemente contraditório

1 + (−1 + 1) + (−1 + 1) + (−1 + 1) + ... = 1 + 0 + 0 + 0 + ... = 1.

Assim, aplicando parênteses às séries de Grandi de diferentes maneiras, pode-se obter 0 ou 1 como um "valor". (Variações dessa ideia, chamadas de fraude de Eilenberg-Mazur , às vezes são usadas na teoria dos nós e álgebra .)

Tratando a série de Grandi como uma série geométrica divergente e usando os mesmos métodos algébricos que avaliam séries geométricas convergentes para obter um terceiro valor:

S = 1 - 1 + 1 - 1 + ..., então

1 - S = 1 - (1 - 1 + 1 - 1 + ...) = 1 - 1 + 1 - 1 + ... = S

1 - S = S

1 = 2 S ,

resultando em S =1/2. A mesma conclusão resulta do cálculo de - S , subtraindo o resultado de S e resolvendo 2 S = 1.

As manipulações acima não consideram o que a soma de uma série realmente significa e como os ditos métodos algébricos podem ser aplicados a séries geométricas divergentes . Ainda assim, na medida em que é importante ser capaz de agrupar séries à vontade, e que é mais importante ser capaz de realizar aritmética com elas, pode-se chegar a duas conclusões:

• A série 1 - 1 + 1 - 1 + ... não tem soma.
• ... mas sua soma deve ser1/2.

Na verdade, ambas as afirmações podem ser feitas de forma precisa e formalmente comprovada, mas apenas usando conceitos matemáticos bem definidos que surgiram no século XIX. Após a introdução do cálculo na Europa no final do século 17 , mas antes do advento do rigor moderno , a tensão entre essas respostas alimentou o que foi caracterizado como uma disputa "interminável" e "violenta" entre matemáticos .

Relação com a série geométrica

Para qualquer número no intervalo , a soma ao infinito de uma série geométrica pode ser avaliada via ${\ displaystyle r}$${\ displaystyle (-1,1)}$

${\ displaystyle \ lim _ {N \ to \ infty} \ sum _ {n = 0} ^ {N} r ^ {n} = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} r ^ {n} = {\ frac {1} {1-r}}.}$

Para qualquer um, encontra-se assim ${\ displaystyle \ varepsilon \ in (0,2)}$

${\ displaystyle \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} (- 1+ \ varejpsilon) ^ {n} = {\ frac {1} {1 - (- 1+ \ varejpsilon)}} = {\ frac {1} {2- \ varepsilon}},}$

e assim o limite das avaliações da série é ${\ displaystyle \ varepsilon \ a 0}$

${\ displaystyle \ lim _ {\ varepsilon \ to 0} \ lim _ {N \ to \ infty} \ sum _ {n = 0} ^ {N} (- 1+ \ varepsilon) ^ {n} = {\ frac {1} {2}}.}$

No entanto, como mencionado, a série obtida pela mudança dos limites,

${\ displaystyle \ lim _ {N \ to \ infty} \ lim _ {\ varepsilon \ to 0} \ sum _ {n = 0} ^ {N} (- 1+ \ varepsilon) ^ {n} = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} (- 1) ^ {n}}$

é divergente.

Em termos de análise complexa , portanto , é visto como o valor em da continuação analítica da série , que só é definida no disco da unidade complexa ,. ${\ displaystyle {\ tfrac {1} {2}}}$${\ displaystyle z = -1}$${\ displaystyle \ sum _ {n = 0} ^ {N} z ^ {n}}$${\ displaystyle | z | <1}$

Ideias iniciais

Divergência

Na matemática moderna, a soma de uma série infinita é definida como o limite da sequência de suas somas parciais , se existir. A sequência de somas parciais da série de Grandi é 1, 0, 1, 0, ..., o que claramente não se aproxima de nenhum número (embora tenha dois pontos de acumulação em 0 e 1). Portanto, a série de Grandi é divergente .

Pode-se mostrar que não é válido realizar muitas operações aparentemente inócuas em uma série, como reordenar termos individuais, a menos que a série seja absolutamente convergente . Caso contrário, essas operações podem alterar o resultado da soma. Além disso, os termos da série de Grandi podem ser reorganizados para ter seus pontos de acumulação em qualquer intervalo de dois ou mais números inteiros consecutivos, não apenas 0 ou 1. Por exemplo, a série

${\ displaystyle 1 + 1 + 1 + 1 + 1-1-1 + 1 + 1-1-1 + 1 + 1-1-1 + 1 + 1- \ cdots}$

(em que, após cinco termos iniciais +1, os termos se alternam em pares de termos +1 e -1) é uma permutação da série de Grandi em que cada valor na série reorganizada corresponde a um valor que está no máximo quatro posições de distância de na série original; seus pontos de acumulação são 3, 4 e 5.

Educação

Impacto cognitivo

Por volta de 1987, Anna Sierpińska apresentou a série de Grandi a um grupo de alunos de pré-cálculo de 17 anos em um liceu de Varsóvia . Ela se concentrou nos alunos de ciências humanas com a expectativa de que sua experiência matemática fosse menos significativa do que a de seus colegas estudando matemática e física, de modo que os obstáculos epistemológicos que eles exibem seriam mais representativos dos obstáculos que ainda podem estar presentes nos alunos do liceu.

Sierpińska inicialmente esperava que os alunos hesitassem em atribuir um valor à série de Grandi, ponto em que ela poderia chocá-los alegando que 1 - 1 + 1 - 1 + · · · = ¹ ⁄ ₂ como resultado da fórmula da série geométrica. Idealmente, procurando o erro de raciocínio e investigando a fórmula para várias razões comuns, os alunos "perceberiam que existem dois tipos de série e uma concepção implícita de convergência nascerá". No entanto, os alunos não ficaram chocados ao saber que 1 - 1 + 1 - 1 + · · · = ¹ ⁄ ₂ ou mesmo que 1 + 2 + 4 + 8 + · · · = −1 . Sierpińska observa que, a priori , a reação dos alunos não deveria ser muito surpreendente, visto que Leibniz e Grandi pensaram que ¹ ⁄ ₂ era um resultado plausível;

“A posteriori, porém, a explicação para essa falta de choque por parte dos alunos pode ser um pouco diferente. Eles aceitaram com calma o absurdo porque, afinal, 'a matemática é completamente abstrata e distante da realidade', e 'com aqueles matemáticos transformações você pode provar todos os tipos de absurdos ', como um dos meninos disse mais tarde. "

Em última análise, os alunos não estavam imunes à questão da convergência; Sierpińska conseguiu envolvê-los na questão vinculando-a às expansões decimais no dia seguinte. Assim que 0,999 ... = 1 pegou os alunos de surpresa, o resto do material "passou por seus ouvidos".

Preconceitos

Em outro estudo realizado em Treviso , Itália , por volta do ano 2000, alunos do terceiro e quarto anos do Liceo Scientifico (entre 16 e 18 anos) receberam cartões com o seguinte:

"Em 1703, o matemático Guido Grandi estudou a adição: 1 - 1 + 1 - 1 + ... (adendos, infinitos, são sempre +1 e -1). Qual a sua opinião sobre isso?"

Os alunos foram apresentados à ideia de um conjunto infinito, mas não tinham nenhuma experiência anterior com séries infinitas. Eles receberam dez minutos sem livros ou calculadoras. As 88 respostas foram categorizadas da seguinte forma:

(26) o resultado é 0

(18) o resultado pode ser 0 ou 1

(5) o resultado não existe

(4) o resultado é ¹ ⁄ ₂

(3) o resultado é 1

(2) o resultado é infinito

(30) sem resposta

O pesquisador Giorgio Bagni entrevistou vários alunos para determinar seu raciocínio. Cerca de 16 deles justificaram uma resposta 0 usando uma lógica semelhante à de Grandi e Riccati. Outros justificaram ¹ ⁄ ₂ como sendo a média de 0 e 1. Bagni observa que seu raciocínio, embora semelhante ao de Leibniz, carece da base probabilística que era tão importante para a matemática do século XVIII. Ele conclui que as respostas são consistentes com uma ligação entre o desenvolvimento histórico e o desenvolvimento individual, embora o contexto cultural seja diferente.

Perspectivas

Joel Lehmann descreve o processo de distinção entre diferentes conceitos de soma como a construção de uma ponte sobre uma fenda conceitual: a confusão sobre a divergência que perseguiu a matemática do século XVIII.

“Como as séries geralmente são apresentadas sem história e separadas das aplicações, o aluno deve se perguntar não apenas“ O que são essas coisas? ”, Mas também“ Por que estamos fazendo isso? ”A preocupação em determinar a convergência, mas não a soma, faz com que todo o processo pareça artificial e inútil para muitos alunos - e instrutores também. "

Como resultado, muitos alunos desenvolvem uma atitude semelhante à de Euler:

"... problemas que surgem naturalmente (ou seja, da natureza) têm soluções, então a suposição de que as coisas vão funcionar eventualmente é justificada experimentalmente sem a necessidade de tipos de provas de existência. Suponha que tudo está bem, e se o solução funciona, provavelmente você estava certo, ou pelo menos certo o suficiente. ... então por que se preocupar com os detalhes que só aparecem nos problemas de lição de casa? "

Lehmann recomenda responder a essa objeção com o mesmo exemplo que foi apresentado contra o tratamento de Euler da série de Grandi por Callet.

Somabilidade

Problemas relacionados

A série 1 - 2 + 3 - 4 + 5 - 6 + 7 - 8 + .... ( até o infinito) também é divergente, mas alguns métodos podem ser usados ​​para somar 1 ⁄ 4 . Este é o quadrado do valor que a maioria dos métodos de soma atribuem à série de Grandi, o que é razoável, pois pode ser visto como o produto de Cauchy de duas cópias da série de Grandi.

Veja também

• 1 - 1 + 2 - 6 + 24 - 120 + · · ·
• 1 + 1 + 1 + 1 + · · ·
• 1 - 2 + 3 - 4 + · · ·
• 1 + 2 + 3 + 4 + · · ·
• 1 + 2 + 4 + 8 + · · ·
• 1 - 2 + 4 - 8 + ⋯
• Soma de Ramanujan
• Soma de Cesàro
• Lâmpada de Thomson
• Fraude de Eilenberg-Mazur

Notas

Referências

links externos

• Um menos um mais um menos um - Numberphile , série de Grandi