círculo generalizada - Generalised circle

Um círculo generalizada , também referida como uma "Cline" ou "circline", é uma linha recta ou um círculo . O conceito é usado principalmente em geometria inversiva , porque as linhas rectas e círculos têm propriedades muito semelhantes em que a geometria e são melhor tratadas em conjunto.

Geometria plana Inversive é formulado no plano estendido por um ponto no infinito . Uma linha recta é então considerado como um dos círculos que passa através do assintótica ponto no infinito. As transformações fundamentais em geometria Inversive, as inversões , têm a propriedade de que eles mapeiam círculos generalizadas para círculos generalizadas. Transformações de Möbius , que são composições de inversões, herdar essa propriedade. Essas transformações não necessariamente mapear linhas para linhas e círculos para círculos: eles podem misturar os dois.

Inversões vêm em dois tipos: inversões em círculos e reflexões nas linhas. Desde os dois têm propriedades muito semelhantes, nós combiná-los e falar sobre inversões em círculos generalizadas.

Dados quaisquer três pontos distintos no plano prolongado, existe precisamente um círculo generalizada que passa através dos três pontos.

O plano alargado pode ser identificado com a esfera usando uma projecção stereographic . O ponto no infinito torna-se então um ponto comum sobre a esfera, e todos os círculos generalizadas tornam-se círculos na esfera.

Equação no plano complexo estendido

O plano alargado de geometria inversiva pode ser identificado com o plano complexo estendida , de modo que as equações de números complexos podem ser usados para descrever linhas, círculos e inversões.

Um círculo Γ é o conjunto dos pontos z num plano que se encontram no raio R a partir de um ponto central γ .

${\ Displaystyle \ Gama (\ gama, r) ​​= \ {z: {\ texto {a distância entre}} z {\ texto {e}} \ gama {\ {texto é}} r \}}$

Utilizando o plano complexo , que pode tratar γ como um número e círculo complexo Γ como um conjunto de números complexos.

Utilizando a propriedade que um número complexo multiplicado pelo seu conjugado nos dá o quadrado do módulo do número, e que seu módulo é a distância Euclidiana desde a origem, podemos expressar a equação para Γ como segue:

${\ Displaystyle {\ left | z \ gamma \ right |} = r}$

${\ Displaystyle {\ left | z \ gamma \ right |} ^ {2} = r ^ {2}}$

${\ Displaystyle (Z- \ gama) {\ {linha superior (Z- \ gama)}} = r ^ {2}}$

${\ Displaystyle z {\ bar {z}} - {z \ bar {\ gamma}} - {\ bar {z}} \ gamma + \ gama {\ bar {\ gamma}} = r ^ {2}}$

${\ Displaystyle z {\ bar {z}} - z {\ bar {\ gamma}} - {\ bar {z}} \ gamma + \ gama {\ bar {\ gamma}} - r ^ {2} = 0 .}$

Podemos multiplicar isso por uma verdadeira constante A para obter uma equação da forma

${\ Displaystyle Az {\ bar {z}} + Bz C + {\ bar {z}} + D = 0}$

onde A e D são reais , e B e C são complexos conjugados . Invertendo os passos, vemos que, para que este seja um círculo, o raio ao quadrado deve ser igual a BC / A ² - D / A > 0. Assim, a equação acima define um círculo generalizada sempre AD <BC . Note que quando A é zero, esta equação define uma linha reta.

A transformação w = 1 / z

Agora, é fácil ver que a transformação w = 1 / z mapas generalizada círculos aos círculos generalizadas:

${\ Displaystyle {\ begin {alinhados} Az {\ bar {z}} + Bz + C {\ bar {z}} + D & = 0 \\ [6 pt] A {\ frac {1} {w}} {\ frac {1} {\ bar {w}}} + B {\ frac {1} {w}} + C {\ frac {1} {\ bar {w}}} + D & = 0 \\ [6 pt] A + B {\ bar {w}} + Cw + Dw {\ bar {w}} & = 0 \\ [6pt] D {\ bar {w}} w + Cw + B {\ bar {w}} + A & = 0. \ final {alinhados}}}$

Vemos que as linhas que passam pela origem ( A  =  D  = 0) são mapeados para as linhas que passam pela origem, as linhas que não passa através da origem ( A  = 0; D  ≠ 0) a círculos que passam pela origem, círculos que passam através a origem ( a  ≠ 0; D  = 0) para as linhas não passam através da origem, e os círculos não passam através da origem ( a  ≠ 0; D  ≠ 0) para círculos não passam através da origem.

Representação por matrizes hermitianas

Os dados que definem a equação de um círculo generalizada

${\ Displaystyle Az {\ bar {z}} + Bz C + {\ bar {z}} + D = 0}$

pode ser utilmente colocada na forma de um invertível matriz Hermitiana

${\ Displaystyle {\ mathfrak {C}} = {\ {começar pmatrix} A e B \\ C & D \ final {pmatrix}} = {\ mathfrak {C}} ^ {\ punhal}.}$

Duas dessas matrizes hermitianos inversíveis especificar o mesmo círculo generalizada se e somente se eles diferem por um múltiplo real.

Para transformar um círculo descrito por generalizada pela transformação de Moebius , tomar a inversa da transformação e fazer ${\ Displaystyle {\ mathfrak {C}}}$ ${\ Displaystyle {\ mathfrak {H}}}$${\ Displaystyle {\ mathfrak {G}}}$${\ Displaystyle {\ mathfrak {H}}}$

${\ Displaystyle {\ mathfrak {C}} \ mapsto {\ mathfrak {G}} ^ {\ text {T}} {\ mathfrak {C}} {\ bar {\ mathfrak {G}}}.}$

Referências

• Hans Schwerdtfeger, geometria dos números complexos , Courier Dover Publications , 1979
• Michael Henle, "Geometria Modern: não-euclidiana, projetiva e discreto", 2ª edição, Prentice Hall , 2001