Posição geral - General position

Na geometria algébrica e na geometria computacional , a posição geral é uma noção de genericidade para um conjunto de pontos ou outros objetos geométricos. Significa a situação de caso geral , ao contrário de alguns casos mais especiais ou coincidentes que são possíveis, que é chamada de posição especial . Seu significado preciso difere em diferentes configurações.

Por exemplo, genericamente, duas linhas no plano se cruzam em um único ponto (elas não são paralelas ou coincidentes). Diz-se também que "duas linhas genéricas se cruzam em um ponto", o que é formalizado pela noção de um ponto genérico . Da mesma forma, três pontos genéricos no plano não são colineares ; se três pontos são colineares (ainda mais fortes, se dois coincidem), este é um caso degenerado .

Essa noção é importante em matemática e suas aplicações, porque casos degenerados podem requerer um tratamento excepcional; por exemplo, ao declarar teoremas gerais ou fornecer declarações precisas sobre eles e ao escrever programas de computador (ver complexidade genérica ).

Posição linear geral

Um conjunto de pontos em uma d - dimensional espaço afim ( d -dimensional espaço euclidiano é um exemplo comum) está na posição geral linear (ou apenas posição geral ) se não k deles encontram-se em um ( k - 2) - dimensional plana para k = 2, 3, ..., d + 1 . Essas condições contêm redundância considerável, uma vez que, se a condição for válida para algum valor k ₀ , ela também deve ser válida para todo k com 2 ≤ k ≤ k ₀ . Assim, para um conjunto contendo pelo menos d + 1 pontos no espaço afim d- dimensional estar em posição geral, é suficiente que nenhum hiperplano contenha mais do que d pontos - isto é, os pontos não satisfazem nenhuma relação mais linear do que deveriam.

Um conjunto de no máximo d + 1 pontos na posição linear geral também é dito ser afinamente independente (este é o análogo afim da independência linear dos vetores, ou mais precisamente da classificação máxima), e d + 1 pontos na posição linear geral em espaço- d afim são uma base afim . Veja a transformação afim para mais.

Da mesma forma, n vetores em um espaço vetorial n- dimensional são linearmente independentes se e somente se os pontos que eles definem no espaço projetivo (de dimensão n - 1 ) estão em posição linear geral.

Se um conjunto de pontos não está em posição linear geral, é chamado de caso degenerado ou configuração degenerada, o que implica que eles satisfazem uma relação linear que nem sempre precisa ser mantida.

Uma aplicação fundamental é que, no plano, cinco pontos determinam uma cônica , desde que os pontos estejam em posição linear geral (nenhum três é colinear).

De forma geral

Esta definição pode ser generalizada mais adiante: pode-se falar de pontos em posição geral com respeito a uma classe fixa de relações algébricas (por exemplo, seções cônicas ). Na geometria algébrica, esse tipo de condição é frequentemente encontrado, em que os pontos devem impor condições independentes às curvas que passam por eles.

Por exemplo, cinco pontos determinam uma cônica , mas em geral seis pontos não se encontram em uma cônica, portanto, estar em posição geral em relação a cônicas requer que nenhum seis pontos se encontre em uma cônica.

A posição geral é preservada em mapas biregulares - se os pontos da imagem satisfazem uma relação, então, em um mapa biregular, essa relação pode ser puxada de volta aos pontos originais. Significativamente, o mapa Veronese é biregular; como os pontos no mapa de Veronese correspondem à avaliação de um polinômio de grau d naquele ponto, isso formaliza a noção de que os pontos na posição geral impõem condições lineares independentes nas variedades que passam por eles.

A condição básica para a posição geral é que os pontos não caiam em subvariedades de grau inferior ao necessário; no plano dois pontos não devem ser coincidentes, três pontos não devem cair sobre uma linha, seis pontos não devem cair sobre uma cônica, dez pontos não devem cair sobre uma cúbica, e da mesma forma para grau superior.

No entanto, isso não é suficiente. Enquanto nove pontos determinam uma cúbica, há configurações de nove pontos que são especiais em relação à cúbica, ou seja, a interseção de duas cúbicas. A intersecção de duas cúbicas, que são pontos (pelo teorema de Bézout ), é especial porque nove pontos na posição geral estão contidos em uma única cúbica, enquanto se eles estão contidos em duas cúbicas eles na verdade estão contidos em um lápis (1- sistema linear de parâmetros ) de cúbicas, cujas equações são as combinações lineares projetivas das equações para as duas cúbicas. Assim, tais conjuntos de pontos impõem uma condição a menos nas cúbicas que os contêm do que o esperado e, portanto, satisfazem uma restrição adicional, a saber, o teorema de Cayley-Bacharach de que qualquer cúbica que contenha oito dos pontos necessariamente contém o nono. Declarações análogas valem para um grau superior. ${\ displaystyle 3 \ times 3 = 9}$

Para pontos no plano ou em uma curva algébrica, a noção de posição geral é feita algebricamente precisa pela noção de um divisor regular e é medida pelo desaparecimento dos grupos de cohomologia de feixe superior do feixe de linha associado (formalmente, feixe invertível ) Como a terminologia reflete, isso é significativamente mais técnico do que a imagem geométrica intuitiva, semelhante a como uma definição formal de número de interseção requer álgebra sofisticada. Esta definição generaliza em dimensões superiores para hipersuperfícies (subvariedades de codimensão 1), ao invés de conjuntos de pontos, e divisores regulares são contrastados com divisores superabundantes , como discutido no teorema de Riemann-Roch para superfícies .

Observe que nem todos os pontos na posição geral são projetivamente equivalentes, o que é uma condição muito mais forte; por exemplo, quaisquer k pontos distintos na linha estão em posição geral, mas as transformações projetivas são apenas 3-transitivas, com o invariante de 4 pontos sendo a razão cruzada .

Geometrias diferentes

Geometrias diferentes permitem noções diferentes de restrições geométricas. Por exemplo, um círculo é um conceito que faz sentido na geometria euclidiana , mas não na geometria linear afim ou na geometria projetiva, onde os círculos não podem ser distinguidos das elipses, uma vez que se pode transformar um círculo em uma elipse. Da mesma forma, uma parábola é um conceito na geometria afim, mas não na geometria projetiva, onde uma parábola é simplesmente uma espécie de cônica. A geometria que é predominantemente usada na geometria algébrica é a geometria projetiva, com a geometria afim encontrando significância, mas muito menos uso.

Assim, na geometria euclidiana três pontos não colineares determinam um círculo (como o circunferência do triângulo que eles definem), mas quatro pontos em geral não (eles fazem isso apenas para quadriláteros cíclicos ), então a noção de "posição geral com respeito para círculos ", ou seja," não há quatro pontos em um círculo "faz sentido. Na geometria projetiva, ao contrário, os círculos não são distintos das cônicas, e cinco pontos determinam uma cônica, de modo que não há noção projetiva de "posição geral em relação aos círculos".

Tipo geral

A posição geral é uma propriedade das configurações de pontos ou, mais geralmente, de outras subvariedades (linhas na posição geral, portanto, não há três concorrentes e semelhantes). A posição geral é uma noção extrínseca , que depende de uma incorporação como uma subvariedade. Informalmente, as subvariedades estão em posição geral se não puderem ser descritas de forma mais simples do que outras. Um análogo intrínseco da posição geral é do tipo geral e corresponde a uma variedade que não pode ser descrita por equações polinomiais mais simples do que outras. Isso é formalizado pela noção da dimensão Kodaira de uma variedade, e por esta medida os espaços projetivos são as variedades mais especiais, embora existam outras igualmente especiais, o que significa ter dimensão Kodaira negativa. Para curvas algébricas, a classificação resultante é: linha projetiva, toro, superfícies de gênero superior ( ) e classificações semelhantes ocorrem em dimensões superiores, notadamente a classificação de Enriques-Kodaira de superfícies algébricas . ${\ displaystyle g \ geq 2}$

Outros contextos

Na teoria da intersecção , tanto na geometria algébrica quanto na topologia geométrica , a noção análoga de transversalidade é usada: subvariedades em geral se cruzam transversalmente, ou seja , com multiplicidade 1, ao invés de serem tangentes ou outras intersecções de ordem superior.

Posição geral para triangulações de Delaunay no plano

Ao discutir as tesselações de Voronoi e as triangulações de Delaunay no plano, um conjunto de pontos no plano é considerado em posição geral apenas se quatro deles não estiverem no mesmo círculo e nenhum deles for colinear. A transformação de levantamento usual que relaciona a triangulação de Delaunay com a metade inferior de um casco convexo (ou seja, dando a cada ponto p uma coordenada extra igual a | p | ² ) mostra a conexão com a vista plana: Quatro pontos estão em um círculo ou três deles são colineares exatamente quando suas contrapartes levantadas não estão na posição linear geral.

Abstratamente: espaços de configuração

Em termos muito abstratos, a posição geral é uma discussão das propriedades genéricas de um espaço de configuração ; neste contexto, significa propriedades que se mantêm no ponto genérico de um espaço de configuração, ou equivalentemente em um conjunto aberto de Zariski.

Esta noção coincide com a noção teórica de medida de genérico, significando quase em todos os lugares no espaço de configuração, ou equivalentemente que pontos escolhidos ao acaso estarão quase certamente (com probabilidade 1) em posição geral.

Notas

Referências

• Yale, Paul B. (1968), Geometria e Simetria , Holden-Day