Números de épsilon (matemática) - Epsilon numbers (mathematics)

Em matemática , os números épsilon são uma coleção de números transfinitos cuja propriedade definidora é que eles são pontos fixos de um mapa exponencial . Conseqüentemente, eles não são alcançáveis ​​a partir de 0 por meio de uma série finita de aplicações do mapa exponencial escolhido e de operações "mais fracas", como adição e multiplicação. Os números épsilon originais foram introduzidos por Georg Cantor no contexto da aritmética ordinal ; eles são os números ordinais ε que satisfazem a equação

${\ displaystyle \ varepsilon = \ omega ^ {\ varepsilon}, \,}$

em que ω é o menor ordinal infinito.

O mínimo desse ordinal é ε ₀ (pronuncia-se épsilon zero ou épsilon zero ), que pode ser visto como o "limite" obtido por recursão transfinita a partir de uma sequência de ordinais limite menores:

${\ displaystyle \ varepsilon _ {0} = \ omega ^ {\ omega ^ {\ omega ^ {\ cdot ^ {\ cdot ^ {\ cdot}}}}} = \ sup \ {\ omega, \ omega ^ {\ omega}, \ omega ^ {\ omega ^ {\ omega}}, \ omega ^ {\ omega ^ {\ omega ^ {\ omega}}}, \ dots \}}$

Pontos fixos ordinais maiores do mapa exponencial são indexados por subscritos ordinais, resultando em . O ordinal ε ₀ ainda é contável , como qualquer número épsilon cujo índice é contável (existem incontáveis ​​ordinais e incontáveis ​​números épsilon cujo índice é um ordinal incontável). ${\ displaystyle \ varepsilon _ varej {1}, \ varejpsilon _ {2}, \ ldots, \ varepsilon _ {\ omega}, \ varejpsilon _ {\ omega +1}, \ ldots, \ ldots, \ ldots _ {0 }}, \ ldots, \ varepsilon _ {\ varepsilon _ {1}}, \ ldots, \ varepsilon _ {\ varepsilon _ {\ varepsilon _ {\ cdot _ {\ cdot _ {\ cdot}}}}}, \ ldots}$

O menor número épsilon ε ₀ aparece em muitas provas de indução , porque para muitos propósitos, a indução transfinita só é necessária até ε ₀ (como na prova de consistência de Gentzen e a prova do teorema de Goodstein ). Seu uso por Gentzen para provar a consistência da aritmética de Peano , junto com o segundo teorema da incompletude de Gödel , mostra que a aritmética de Peano não pode provar o fundamento desta ordenação (é de fato o menos ordinal com esta propriedade e, como tal, em prova -análise ordinal teórica , é usada como uma medida da força da teoria da aritmética de Peano).

Muitos números epsilon maiores podem ser definidos usando a função de Veblen .

Uma classe mais geral de números épsilon foi identificada por John Horton Conway e Donald Knuth no sistema numérico surreal , consistindo em todos os surreais que são pontos fixos do mapa exponencial ω base x → ω ^x .

Hessenberg (1906) definiu os números gama (ver ordinal aditivamente indecomponível ) como números γ> 0 tais que α + γ = γ sempre que α <γ, e números delta (ver ordinais multiplicativamente indecomponíveis ) como números δ> 1 tal que αδ = δ sempre que 0 <α <δ, e os números epsilon sejam números ε > 2 tais que α ^ε = ε sempre que 1 < α < ε . Seus números gama são aqueles da forma ω ^β , e seus números delta são aqueles da forma ω ^{ω β} . erro harvtxt: sem alvo: CITEREFHessenberg1906 ( ajuda )

Números ε ordinais

A definição padrão de exponenciação ordinal com base α é:

• ${\ displaystyle \ alpha ^ {0} = 1 \ ,,}$
• ${\ displaystyle \ alpha ^ {\ beta +1} = \ alpha ^ {\ beta} \ cdot \ alpha \ ,,}$
• ${\ displaystyle \ alpha ^ {\ kappa} = \ limsup _ {\ lambda <\ kappa} \, \ alpha ^ {\ lambda}}$para o limite .${\ displaystyle \ kappa}$

Desta definição, segue-se que para qualquer ordinal fixo α  > 1, o mapeamento é uma função normal , então ele tem pontos fixos arbitrariamente grandes pelo lema de ponto fixo para funções normais . Quando , esses pontos fixos são precisamente os números épsilon ordinais. O menor deles, ε ₀ , é o supremo da sequência ${\ displaystyle \ beta \ mapsto \ alpha ^ {\ beta}}$${\ displaystyle \ alpha = \ omega}$

${\ displaystyle 0, \ omega ^ {0} = 1, \ omega ^ {1} = \ omega, \ omega ^ {\ omega}, \ omega ^ {\ omega ^ {\ omega}}, \ ldots, \ omega \ uparrow \ uparrow k, \ ldots}$

em que cada elemento é a imagem de seu antecessor no mapeamento . (O termo geral é dado usando a notação de seta para cima de Knuth ; o operador é equivalente à tetração .) Assim como ω ^ω é definido como o supremo de {ω ^k } para os números naturais k , o menor número epsilon ordinal ε ₀ também pode ser denotado ; esta notação é muito menos comum que ε ₀ . ${\ displaystyle \ beta \ mapsto \ omega ^ {\ beta}}$${\ displaystyle \ uparrow \ uparrow}$${\ displaystyle \ omega \ uparrow \ uparrow \ omega}$

O próximo número épsilon depois é ${\ displaystyle \ varepsilon _ {0}}$

${\ displaystyle \ varepsilon _ {1} = \ sup \ {\ varepsilon _ {0} +1, \ omega ^ {\ varepsilon _ {0} +1}, \ omega ^ {\ omega ^ {\ varepsilon _ {0 } +1}}, \ omega ^ {\ omega ^ {\ omega ^ {\ varepsilon _ {0} +1}}}, \ dots \},}$

em que a sequência é novamente construída por exponenciação repetida de base ω, mas começa em em vez de em 0 (ou 1). Perceber ${\ displaystyle \ varepsilon _ {0} +1}$

${\ displaystyle \ omega ^ {\ varepsilon _ {0} +1} = \ omega ^ {\ varepsilon _ {0}} \ cdot \ omega ^ {1} = \ varepsilon _ {0} \ cdot \ omega \ ,, }$

${\ displaystyle \ omega ^ {\ omega ^ {\ varepsilon _ {0} +1}} = \ omega ^ {(\ varepsilon _ {0} \ cdot \ omega)} = {(\ omega ^ {\ varepsilon _ { 0}})} ^ {\ omega} = \ varepsilon _ {0} ^ {\ omega} \ ,,}$

${\ displaystyle \ omega ^ {\ omega ^ {\ omega ^ {\ varejpsilon _ {0} +1}}} = \ omega ^ {{\ varepsilon _ {0}} ^ {\ omega}} = \ omega ^ { {\ varejpsilon _ {0}} ^ {1+ \ omega}} = \ omega ^ {(\ varepsilon _ {0} \ cdot {\ varepsilon _ {0}} ^ {\ omega})} = {(\ omega})} = {(\ omega} ^ {\ varepsilon _ {0}})} ^ {{\ varejpsilon _ {0}} ^ {\ omega}} = {\ varepsilon _ {0}} ^ {{\ varepsilon _ {0}} ^ {\ omega }} \ ,.}$

Uma sequência diferente com o mesmo supremo,, é obtida partindo de 0 e exponenciando com base ε _{0 em} vez disso: ${\ displaystyle \ varepsilon _ {1}}$

${\ displaystyle \ varepsilon _ {1} = \ sup \ {0,1, \ varepsilon _ {0}, {\ varepsilon _ {0}} ^ {\ varepsilon _ {0}}, {\ varepsilon _ {0} } ^ {{\ varepsilon _ {0}} ^ {\ varepsilon _ {0}}}, \ ldots \},}$

O número épsilon indexado por qualquer ordinal sucessor α + 1 é construído de forma semelhante, por exponenciação de base ω a partir de (ou por exponenciação de base a partir de 0). ${\ displaystyle \ varepsilon _ {\ alpha +1}}$${\ displaystyle \ varepsilon _ {\ alpha} +1}$${\ displaystyle \ varepsilon _ {\ alpha}}$

${\ displaystyle \ varepsilon _ {\ alpha +1} = \ sup \ {\ varejpsilon _ {\ alpha} +1, \ omega ^ {\ varepsilon _ {\ alpha} +1}, \ omega ^ {\ omega ^ { \ varejpsilon _ {\ alpha} +1}}, \ dots \} = \ sup \ {0,1, \ varepsilon _ {\ alpha}, \ varepsilon _ {\ alpha} ^ {\ varejpsilon _ {\ alpha}} , \ varepsilon _ {\ alpha} ^ {\ varejpsilon _ {\ alpha} ^ {\ varejpsilon _ {\ alpha}}}, \ dots \}}$

Um número épsilon indexado por um limite ordinal α é construído de forma diferente. O número é o supremo do conjunto de números épsilon . O primeiro desses números é . Quer o índice α seja ou não um ordinal limite, é um ponto fixo não apenas de exponenciação de base ω, mas também de exponenciação de base γ para todos os ordinais . ${\ displaystyle \ varepsilon _ {\ alpha}}$${\ displaystyle \ {\ varepsilon _ {\ beta}, \ beta <\ alpha \}}$${\ displaystyle \ varepsilon _ {\ omega}}$${\ displaystyle \ varepsilon _ {\ alpha}}$${\ displaystyle 1 <\ gamma <\ varepsilon _ {\ alpha}}$

Como os números épsilon são uma subclasse ilimitada dos números ordinais, eles são enumerados usando os próprios números ordinais. Para qualquer número ordinal , é o menor número épsilon (ponto fixo do mapa exponencial) que ainda não está no conjunto . Pode parecer que este é o equivalente não construtivo da definição construtiva usando exponenciação iterada; mas as duas definições são igualmente não construtivas em etapas indexadas por limites ordinais, que representam recursão transfinita de uma ordem superior do que tomar o supremo de uma série exponencial. ${\ displaystyle \ alpha}$${\ displaystyle \ varepsilon _ {\ alpha}}$${\ displaystyle \ {\ varepsilon _ {\ beta}, \ beta <\ alpha \}}$

Os seguintes fatos sobre os números épsilon são muito fáceis de provar:

• Embora seja um número bastante grande, ainda é contável , sendo uma união contável de ordinais contáveis; na verdade, é contável se e somente se for contável.${\ displaystyle \ varepsilon _ {0}}$${\ displaystyle \ varepsilon _ {\ alpha}}$${\ displaystyle \ alpha}$
• A união (ou supremo) de qualquer conjunto não vazio de números épsilon é um número épsilon; então por exemplo

${\ displaystyle \ varepsilon _ {\ omega} = \ sup \ {\ varepsilon _ {0}, \ varepsilon _ {1}, \ varepsilon _ {2}, \ ldots \}}$

é um número épsilon. Portanto, o mapeamento é uma função normal.${\ displaystyle \ alpha \ mapsto \ varepsilon _ {\ alpha}}$

• O ordinal inicial de qualquer cardeal incontável é um número épsilon.

${\ displaystyle \ alpha \ geq 1 \ Rightarrow \ varepsilon _ {\ omega _ {\ alpha}} = \ omega _ {\ alpha} \ ,.}$

Representação de por árvores enraizadas${\ displaystyle \ varepsilon _ {0}}$

Qualquer número épsilon ε tem a forma normal Cantor , o que significa que a forma normal Cantor não é muito útil para números épsilon. Os ordinais menores que ε ₀ , no entanto, podem ser descritos de forma útil por suas formas normais de Cantor, o que leva a uma representação de ε ₀ como o conjunto ordenado de todas as árvores com raiz finita , como segue. Qualquer ordinal tem a forma normal de Cantor, em que k é um número natural e ordinais com , determinado exclusivamente por . Cada um dos ordinais, por sua vez, tem uma forma normal de Cantor semelhante. Obtemos a árvore com raiz finita que representa α unindo as raízes das árvores que representam a uma nova raiz. (Isso tem a consequência de que o número 0 é representado por uma única raiz, enquanto o número é representado por uma árvore contendo uma raiz e uma única folha.) Uma ordem no conjunto de árvores com raízes finitas é definida recursivamente: primeiro ordenamos as subárvores unidos à raiz em ordem decrescente e, em seguida, use a ordem lexicográfica nessas sequências ordenadas de subárvores. Desta forma, o conjunto de todas as árvores com raízes finitas torna-se um conjunto bem ordenado que é isomórfico de ordem a ε ₀ . ${\ displaystyle \ varepsilon = \ omega ^ {\ varepsilon}}$${\ displaystyle \ alpha <\ varepsilon _ {0}}$${\ displaystyle \ alpha = \ omega ^ {\ beta _ {1}} + \ omega ^ {\ beta _ {2}} + \ cdots + \ omega ^ {\ beta _ {k}}}$${\ displaystyle \ beta _ {1}, \ ldots, \ beta _ {k}}$${\ displaystyle \ alpha> \ beta _ {1} \ geq \ cdots \ geq \ beta _ {k}}$${\ displaystyle \ alpha}$${\ displaystyle \ beta _ {1}, \ ldots, \ beta _ {k}}$${\ displaystyle \ beta _ {1}, \ ldots, \ beta _ {k}}$${\ displaystyle 1 = \ omega ^ {0}}$

Hierarquia de Veblen

Os pontos fixos do "mapeamento épsilon" formam uma função normal, cujos pontos fixos formam uma função normal, cujo ...; isto é conhecido como hierarquia de Veblen (as funções de Veblen com base φ ₀ (α) = ω ^α ). Na notação da hierarquia de Veblen, o mapeamento épsilon é φ ₁ , e seus pontos fixos são enumerados por φ ₂ . ${\ displaystyle x \ mapsto \ varepsilon _ {x}}$

Continuando nessa linha, pode-se definir mapas φ _α para ordinais progressivamente maiores α (incluindo, por esta forma rarefeita de recursão transfinita, ordinais limites), com pontos fixos mínimos progressivamente maiores φ _{α + 1} (0). O mínimo ordinal não alcançável de 0 por este procedimento - isto é, o menor ordinal α para o qual φ _α (0) = α, ou equivalentemente o primeiro ponto fixo do mapa - é o ordinal de Feferman-Schütte Γ ₀ . Em uma teoria de conjuntos onde tal ordinal pode ser provado existir, tem-se um mapa Γ que enumera os pontos fixos Γ ₀ , Γ ₁ , Γ ₂ , ... de ; todos esses ainda são números épsilon, pois estão na imagem de φ _β para cada β ≤ Γ ₀ , incluindo do mapa φ ₁ que enumera os números épsilon. ${\ displaystyle \ alpha \ mapsto \ varphi _ {\ alpha} (0)}$${\ displaystyle \ alpha \ mapsto \ varphi _ {\ alpha} (0)}$

Números surreais ε

Em On Numbers and Games , a exposição clássica sobre números surreais , John Horton Conway forneceu vários exemplos de conceitos que tinham extensões naturais dos ordinais aos surreais. Uma dessas funções é o -map ; esse mapeamento se generaliza naturalmente para incluir todos os números surreais em seu domínio , o que, por sua vez, fornece uma generalização natural da forma normal de Cantor para números surreais. ${\ displaystyle \ omega}$ ${\ displaystyle n \ mapsto \ omega ^ {n}}$

É natural considerar qualquer ponto fixo desse mapa expandido como um número épsilon, seja ou não estritamente um número ordinal. Alguns exemplos de números épsilon não ordinais são

${\ displaystyle \ varepsilon _ {- 1} = \ {0,1, \ omega, \ omega ^ {\ omega}, \ ldots \ mid \ varepsilon _ {0} -1, \ omega ^ {\ varejpsilon _ {0 } -1}, \ ldots \}}$

e

${\ displaystyle \ varepsilon _ {1/2} = \ {\ varepsilon _ {0} +1, \ omega ^ {\ varepsilon _ {0} +1}, \ ldots \ mid \ varepsilon _ {1} -1, \ omega ^ {\ varepsilon _ {1} -1}, \ ldots \}.}$

Existe uma maneira natural de definir para cada número surreal n , e o mapa continua preservando a ordem. Conway passa a definir uma classe mais ampla de números surreais "irredutíveis" que inclui os números épsilon como uma subclasse particularmente interessante. ${\ displaystyle \ varepsilon _ {n}}$

Veja também

• Aritmética ordinal
• Grande ordinal contável

Referências

• JH Conway, On Numbers and Games (1976) Academic Press ISBN  0-12-186350-6
• Seção XIV.20 de Sierpiński, Wacław (1965), Números cardinais e ordinais (2ª ed.), PWN - Polish Scientific Publishers