Pêndulo elástico - Elastic pendulum

Em física e matemática , na área de sistemas dinâmicos , um pêndulo elástico (também chamado de pêndulo de mola ou mola oscilante ) é um sistema físico onde um pedaço de massa é conectado a uma mola de modo que o movimento resultante contenha elementos de um pêndulo simples e um sistema de massa-mola unidimensional . O sistema exibe um comportamento caótico e é sensível às condições iniciais . O movimento de um pêndulo elástico é governado por um conjunto de equações diferenciais ordinárias acopladas .

Análise e interpretação

Pêndulo elástico de 2 DOF com plotagens de coordenadas polares.

O sistema é muito mais complexo do que um simples pêndulo, pois as propriedades da mola adicionam uma dimensão extra de liberdade ao sistema. Por exemplo, quando a mola se comprime, o raio mais curto faz com que a mola se mova mais rápido devido à conservação do momento angular . Também é possível que a mola tenha uma amplitude que é ultrapassada pelo movimento do pêndulo, tornando-a praticamente neutra ao movimento do pêndulo.

Lagrangiana

A mola tem o comprimento restante e pode ser esticada até o fim . O ângulo de oscilação do pêndulo é . ${\ displaystyle l_ {0}}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle \ theta}$

O Lagrangiano é: ${\ displaystyle L}$

${\ displaystyle L = TV}$

onde está a energia cinética e é a energia potencial . ${\ displaystyle T}$${\ displaystyle V}$

Ver. A lei de Hooke é a energia potencial da própria mola:

${\ displaystyle V_ {k} = {\ frac {1} {2}} kx ^ {2}}$

onde está a constante de primavera. ${\ displaystyle k}$

A energia potencial da gravidade , por outro lado, é determinada pela altura da massa. Para um determinado ângulo e deslocamento, a energia potencial é:

${\ displaystyle V_ {g} = - gm (l_ {0} + x) \ cos \ theta}$

onde está a aceleração gravitacional . ${\ displaystyle g}$

A energia cinética é dada por:

${\ displaystyle T = {\ frac {1} {2}} mv ^ {2}}$

onde está a velocidade da massa. Para se relacionar com as outras variáveis, a velocidade é escrita como uma combinação de um movimento ao longo e perpendicular à mola: ${\ displaystyle v}$${\ displaystyle v}$

${\ displaystyle T = {\ frac {1} {2}} m ({\ dot {x}} ^ {2} + (l_ {0} + x) ^ {2} {\ dot {\ theta}} ^ {2})}$

Assim, o Lagrangiano se torna:

${\ displaystyle L = T-V_ {k} -V_ {g}}$

${\ displaystyle L [x, {\ dot {x}}, \ theta, {\ dot {\ theta}}] = {\ frac {1} {2}} m ({\ dot {x}} ^ {2 } + (l_ {0} + x) ^ {2} {\ dot {\ theta}} ^ {2}) - {\ frac {1} {2}} kx ^ {2} + gm (l_ {0} + x) \ cos \ theta}$

Equações de movimento

Com dois graus de liberdade , para e , as equações de movimento podem ser encontradas usando duas equações de Euler-Lagrange : ${\ displaystyle x}$${\ displaystyle \ theta}$

${\ displaystyle {\ partial L \ over \ partial x} - {\ operatorname {d} \ over \ operatorname {d} t} {\ parcial L \ over \ partial {\ dot {x}}} = 0}$

${\ displaystyle {\ parcial L \ over \ partial \ theta} - {\ operatorname {d} \ over \ operatorname {d} t} {\ parcial L \ over \ partial {\ dot {\ theta}}} = 0}$

Para : ${\ displaystyle x}$

${\ displaystyle m (l_ {0} + x) {\ dot {\ theta}} ^ {2} -kx + gm \ cos \ theta -m {\ ddot {x}} = 0}$

${\ displaystyle {\ ddot {x}}}$ isolado:

${\ displaystyle {\ ddot {x}} = (l_ {0} + x) {\ dot {\ theta}} ^ {2} - {\ frac {k} {m}} x + g \ cos \ theta}$

E para : ${\ displaystyle \ theta}$

${\ displaystyle -gm (l_ {0} + x) \ sin \ theta -m (l_ {0} + x) ^ {2} {\ ddot {\ theta}} - 2m (l_ {0} + x) { \ dot {x}} {\ dot {\ theta}} = 0}$

${\ displaystyle {\ ddot {\ theta}}}$ isolado:

${\ displaystyle {\ ddot {\ theta}} = - {\ frac {g} {l_ {0} + x}} \ sin \ theta - {\ frac {2 {\ ponto {x}}} {l_ {0 } + x}} {\ ponto {\ theta}}}$

O pêndulo elástico é agora descrito com duas equações diferenciais ordinárias acopladas . Isso pode ser resolvido numericamente . Além disso, pode-se usar métodos analíticos para estudar o fenômeno intrigante de ordem-caos-ordem neste sistema.

Veja também

• Pêndulo duplo
• Oscilador Duffing
• Pendulum (matemática)
• Sistema de massa da mola

Referências

Leitura adicional

links externos

• Holovatsky V., Holovatska Y. (2019) "Oscillations of an elastic pendulum" (animação interativa), Wolfram Demonstrations Project, publicado em 19 de fevereiro de 2019.