Pêndulo duplo - Double pendulum

Um pêndulo duplo consiste em dois pêndulos unidos de ponta a ponta.

Em física e matemática , na área de sistemas dinâmicos , um pêndulo duplo é um pêndulo com outro pêndulo preso em sua extremidade, é um sistema físico simples que exibe um comportamento dinâmico rico com uma forte sensibilidade às condições iniciais . O movimento de um pêndulo duplo é governado por um conjunto de equações diferenciais ordinárias acopladas e é caótico .

Análise e interpretação

Várias variantes do pêndulo duplo podem ser consideradas; os dois membros podem ter comprimentos e massas iguais ou desiguais, podem ser pêndulos simples ou pêndulos compostos (também chamados de pêndulos complexos) e o movimento pode ser tridimensional ou restrito ao plano vertical. Na análise a seguir, os membros são considerados pêndulos compostos idênticos de comprimento le massa m , e o movimento é restrito a duas dimensões.

Pêndulo composto duplo

Movimento do pêndulo composto duplo (a partir da integração numérica das equações de movimento)

Trajetórias de um pêndulo duplo

Em um pêndulo composto, a massa é distribuída ao longo de seu comprimento. Se a massa for distribuída uniformemente, então o centro de massa de cada membro está em seu ponto médio, e o membro tem um momento de inércia de I = 1/12ml ² sobre esse ponto.

É conveniente usar os ângulos entre cada membro e a vertical como as coordenadas generalizadas que definem a configuração do sistema. Esses ângulos são denotados θ ₁ e θ ₂ . A posição do centro de massa de cada barra pode ser escrita em termos dessas duas coordenadas. Se a origem do sistema de coordenadas cartesianas for considerada no ponto de suspensão do primeiro pêndulo, então o centro de massa deste pêndulo está em:

${\ displaystyle {\ begin {align} x_ {1} & = {\ frac {l} {2}} \ sin \ theta _ {1} \\ y_ {1} & = - {\ frac {l} {2 }} \ cos \ theta _ {1} \ end {alinhado}}}$

e o centro de massa do segundo pêndulo está em

${\ displaystyle {\ begin {alinhado} x_ {2} & = l \ left (\ sin \ theta _ {1} + {\ tfrac {1} {2}} \ sin \ theta _ {2} \ right) \ \ y_ {2} & = - l \ left (\ cos \ theta _ {1} + {\ tfrac {1} {2}} \ cos \ theta _ {2} \ right) \ end {alinhado}}}$

Esta é uma informação suficiente para escrever o Lagrangiano.

Lagrangiana

O Lagrangiano é

${\ displaystyle {\ begin {alinhados} L & = {\ text {energia cinética}} - {\ text {energia potencial}} \\ & = {\ tfrac {1} {2}} m \ left (v_ {1} ^ {2} + v_ {2} ^ {2} \ right) + {\ tfrac {1} {2}} I \ left ({{\ dot {\ theta}} _ {1}} ^ {2} + {{\ dot {\ theta}} _ {2}} ^ {2} \ right) -mg \ left (y_ {1} + y_ {2} \ right) \\ & = {\ tfrac {1} {2 }} m \ left ({{\ dot {x}} _ {1}} ^ {2} + {{\ dot {y}} _ {1}} ^ {2} + {{\ dot {x}} _ {2}} ^ {2} + {{\ dot {y}} _ {2}} ^ {2} \ right) + {\ tfrac {1} {2}} I \ left ({{\ dot { \ theta}} _ {1}} ^ {2} + {{\ dot {\ theta}} _ {2}} ^ {2} \ right) -mg \ left (y_ {1} + y_ {2} \ direita) \ end {alinhado}}}$

O primeiro termo é a energia cinética linear do centro de massa dos corpos e o segundo termo é a energia cinética rotacional em torno do centro de massa de cada barra. O último termo é a energia potencial dos corpos em um campo gravitacional uniforme. A notação de ponto indica a derivada de tempo da variável em questão.

Substituir as coordenadas acima e reorganizar a equação dá

${\ displaystyle L = {\ tfrac {1} {6}} ml ^ {2} \ left ({{\ dot {\ theta}} _ {2}} ^ {2} +4 {{\ dot {\ theta }} _ {1}} ^ {2} +3 {{\ dot {\ theta}} _ {1}} {{\ dot {\ theta}} _ {2}} \ cos (\ theta _ {1} - \ theta _ {2}) \ right) + {\ tfrac {1} {2}} mgl \ left (3 \ cos \ theta _ {1} + \ cos \ theta _ {2} \ right).}$

Existe apenas uma quantidade conservada (a energia), e nenhum momento conservado. Os dois momentos generalizados podem ser escritos como

${\ displaystyle {\ begin {alinhados} p _ {\ theta _ {1}} & = {\ frac {\ partial L} {\ partial {{\ dot {\ theta}} _ {1}}}} = {\ tfrac {1} {6}} ml ^ {2} \ left (8 {{\ dot {\ theta}} _ {1}} + 3 {{\ dot {\ theta}} _ {2}} \ cos ( \ theta _ {1} - \ theta _ {2}) \ right) \\ p _ {\ theta _ {2}} & = {\ frac {\ parcial L} {\ parcial {{\ ponto {\ theta}} _ {2}}}} = {\ tfrac {1} {6}} ml ^ {2} \ left (2 {{\ dot {\ theta}} _ {2}} + 3 {{\ dot {\ theta }} _ {1}} \ cos (\ theta _ {1} - \ theta _ {2}) \ right). \ End {alinhado}}}$

Essas expressões podem ser invertidas para obter

${\ displaystyle {\ begin {align} {{\ dot {\ theta}} _ {1}} & = {\ frac {6} {ml ^ {2}}} {\ frac {2p _ {\ theta _ {1 }} - 3 \ cos (\ theta _ {1} - \ theta _ {2}) p _ {\ theta _ {2}}} {16-9 \ cos ^ {2} (\ theta _ {1} - \ theta _ {2})}} \\ {{\ dot {\ theta}} _ {2}} & = {\ frac {6} {ml ^ {2}}} {\ frac {8p _ {\ theta _ { 2}} - 3 \ cos (\ theta _ {1} - \ theta _ {2}) p _ {\ theta _ {1}}} {16-9 \ cos ^ {2} (\ theta _ {1} - \ theta _ {2})}}. \ end {alinhado}}}$

As demais equações de movimento são escritas como

${\ displaystyle {\ begin {align} {{\ dot {p}} _ {\ theta _ {1}}} & = {\ frac {\ partial L} {\ partial \ theta _ {1}}} = - {\ tfrac {1} {2}} ml ^ {2} \ left ({{\ dot {\ theta}} _ {1}} {{\ dot {\ theta}} _ {2}} \ sin (\ theta _ {1} - \ theta _ {2}) + 3 {\ frac {g} {l}} \ sin \ theta _ {1} \ right) \\ {{\ dot {p}} _ {\ theta _ {2}}} & = {\ frac {\ partial L} {\ partial \ theta _ {2}}} = - {\ tfrac {1} {2}} ml ^ {2} \ left (- {{ \ dot {\ theta}} _ {1}} {{\ dot {\ theta}} _ {2}} \ sin (\ theta _ {1} - \ theta _ {2}) + {\ frac {g} {l}} \ sin \ theta _ {2} \ right). \ end {alinhado}}}$

Essas quatro últimas equações são fórmulas explícitas para a evolução temporal do sistema, dado seu estado atual. Não é possível ir além e integrar essas equações a uma expressão na forma fechada, para obter fórmulas para θ ₁ e θ ₂ como funções do tempo. No entanto, é possível realizar essa integração numericamente usando o método Runge Kutta ou técnicas semelhantes.

Movimento caótico

Gráfico do tempo para o pêndulo virar em função das condições iniciais

Exposição longa do pêndulo duplo exibindo movimento caótico (monitorado com um LED )

O pêndulo duplo sofre um movimento caótico e mostra uma dependência sensível das condições iniciais . A imagem à direita mostra a quantidade de tempo decorrido antes que o pêndulo vire, em função da posição inicial quando solto em repouso. Aqui, o valor inicial de θ ₁ varia ao longo da direção x de −3,14 a 3,14. O valor inicial θ ₂ varia ao longo da direção y , de −3,14 a 3,14. A cor de cada pixel indica se o pêndulo oscila dentro de:

• ${\ displaystyle {\ sqrt {\ frac {l} {g}}}}$ (Preto)
• ${\ displaystyle 10 {\ sqrt {\ frac {l} {g}}}}$ (vermelho)
• ${\ displaystyle 100 {\ sqrt {\ frac {l} {g}}}}$ (verde)
• ${\ displaystyle 1000 {\ sqrt {\ frac {l} {g}}}}$ (azul) ou
• ${\ displaystyle 10000 {\ sqrt {\ frac {l} {g}}}}$ (roxa).

Três pêndulos duplos com condições iniciais quase idênticas divergem ao longo do tempo, exibindo a natureza caótica do sistema.

As condições iniciais que não levam a uma inversão interna são plotadas em branco. ${\ displaystyle 10000 {\ sqrt {\ frac {l} {g}}}}$

O limite da região central branca é definido em parte pela conservação de energia com a seguinte curva:

${\ displaystyle 3 \ cos \ theta _ {1} + \ cos \ theta _ {2} = 2.}$

Dentro da região definida por esta curva, isto é, se

${\ displaystyle 3 \ cos \ theta _ {1} + \ cos \ theta _ {2}> 2,}$

então, é energeticamente impossível que qualquer um dos pêndulos se mova. Fora dessa região, o pêndulo pode girar, mas é uma questão complexa determinar quando ele girará. Comportamento semelhante é observado para um pêndulo duplo composto de duas massas pontuais em vez de duas hastes com massa distribuída.

A falta de uma frequência de excitação natural levou ao uso de sistemas de pêndulo duplo em projetos de resistência sísmica em edifícios, onde o próprio edifício é o pêndulo invertido primário e uma massa secundária é conectada para completar o pêndulo duplo.

Veja também

• Pêndulo duplo invertido
• Pendulum (matemática)
• Livros de física de meados do século 20 usam o termo "pêndulo duplo" para significar um único pêndulo suspenso por uma corda que por sua vez é suspensa por uma corda em forma de V. Esse tipo de pêndulo , que produz as curvas de Lissajous , é agora conhecido como pêndulo de Blackburn .

Notas

Referências

• Meirovitch, Leonard (1986). Elements of Vibration Analysis (2ª ed.). McGraw-Hill Ciência / Engenharia / Matemática. ISBN 0-07-041342-8.
• Eric W. Weisstein, Double pendulum (2005), ScienceWorld (contém detalhes das equações complicadas envolvidas) e " Double Pendulum " de Rob Morris, Wolfram Demonstrations Project , 2007 (animações dessas equações).
• Peter Lynch , Double Pendulum , (2001). (Simulação de miniaplicativo Java.)
• Northwestern University, Double Pendulum , (simulação de miniaplicativo Java.)
• Grupo Teórico de Astrofísica de Alta Energia na UBC, Pêndulo duplo , (2005).

links externos

• Animações e explicações sobre um pêndulo duplo e um pêndulo duplo físico (duas placas quadradas) por Mike Wheatland (Univ. Sydney)

• Simulação interativa de física de código aberto JavaScript com equações detalhadas pêndulo duplo
• Simulação interativa de Javascript de um pêndulo duplo
• Simulação física de pêndulo duplo em www.myphysicslab.com usando código JavaScript de código aberto
• Simulação, equações e explicação do pêndulo de Rott
• Vídeos de comparação de um pêndulo duplo com as mesmas condições iniciais de partida no YouTube
• Simulador de Pêndulo Duplo - Um simulador de código aberto escrito em C ++ usando o kit de ferramentas Qt .
• Simulador Java online da exposição Imaginary .