equação Eckhaus - Eckhaus equation

Em física matemática , a equação Eckhaus - ou a equação Kundu-Eckhaus - é um não-lineares equações diferenciais parciais dentro do Schrodinger n linear classe:

${\ Displaystyle i \ psi _ {t} + \ psi _ {xx} +2 \ left (| \ psi | ^ {2} \ right) _ {x} \, \ psi + | \ psi | ^ {4} \, \ psi = 0.}$

A equação foi introduzida de forma independente por Wiktor Eckhaus e por Anjan Kundu modelar a propagação de ondas em meios dispersivos . A equação Kundu-Eckhaus admite muitos tipos diferentes de soluções analíticas - como a equação de Schrödinger não-linear - incluindo mas não limitado a racionais onda gigantesca soluções. Comportamento das suas soluções de onda desonestos estocásticos e os seus espectros podem ser usadas para fins de detecção precoce.

linearização

Animação de um pacote de ondas solução da equação Eckhaus. A linha azul é a parte real da solução, a linha vermelha representa a parte imaginária e a linha preta representa a envelope onda ( valor absoluto ). Note-se a assimetria no envelope para a equação Eckhaus, enquanto o envelope - da solução correspondente à equação de Schrödinger linear - é simétrica (em ). As ondas curtas no pacote propagar mais rapidamente do que as ondas longas.${\ Displaystyle | \ psi (x, t) |}$${\ Displaystyle | \ varphi (x, t) |}$${\ Displaystyle x}$

Animação do pacote de ondas solução da equação linear Schrodinger - correspondente com a animação acima para a equação Eckhaus. A linha azul é a parte real da solução, a linha vermelha representa a parte imaginária , a linha preta representa a envelope onda ( valor absoluto ) e a linha verde representa o centróide do envelope pacote de ondas.

A equação Eckhaus podem ser linearizados com a equação de Schrödinger linear :

${\ Displaystyle i \ varphi _ {t} + \ varphi _ {xx} = 0,}$

através da transformação não linear:

${\ Displaystyle \ varphi (x, t) = \ psi (x, t) \, \ exp \ left (\ int _ {- \ infty} ^ {x} | \ psi (x ^ {\ privilegiada}, t) | ^ {2} \; {\ text {d}} x ^ {\ privilegiada} \ right)}.$

A transformação inversa é:

${\ Displaystyle \ psi (x, t) = {\ frac {\ varphi (x, t)} {\ displaystyle \ left (1 + 2 \, \ int _ {- \ infty} ^ {x} | \ varphi ( x ^ {\ privilegiada}, t) | ^ {2} \;. {\ text {d}} x ^ {\ privilegiada} \ right) ^ {1/2}}}}$

Este linearização também implica que a equação Eckhaus é integrável .

Notas

Referências

• Ablowitz, MJ ; Ahrens, CD; De Lillo, S. (2005), "Em um "" equação integrável discreta Eckhaus" quasi, Journal of Mathematical não linear Physics , 12 (Suplemento 1): 1-12, bibcode : 2005JNMP ... ... 12S 1A , doi : 10,2991 / jnmp.2005.12.s1.1
• Calogero, F. ; De Lillo, S. (1987), "A Eckhaus PDE i vF _t + ψ _xx + 2 (| ψ | ² ) _x ψ + | ψ | ⁴ ψ = 0", Inverse Problems , 3 (4): 633-682 , bibcode : 1987InvPr ... 3..633C , doi : 10,1088 / 0266-5611 / 3/4/ 012
• Eckhaus, W. (1985), O comportamento de longa data para a onda-equações perturbadas e problemas relacionados , Departamento de Matemática, Universidade de Utrecht, pré-impressão no. 404.
  Publicado em parte em: Eckhaus, W. (1986), "O comportamento de longa data para a onda-equações perturbados e problemas relacionados", em coroas, E .; Kirchgässner, K., Trends em aplicações de matemática pura à mecânica , Lecture Notes in Physics, 249 , Berlim:. Springer, pp 168-194, DOI : 10,1007 / BFb0016391 , ISBN  978-3-540-16467-8
• Bayindir, C. (2016a), "ondas turbulentas da equação Kundu-Eckhaus em um campo de onda caótica", Physical Review E , 93 (032201), arXiv : 1601,00209 , bibcode : 2016PhRvE..93c2201B , doi : 10,1103 / PhysRevE.93.032201
• Bayindir, C. (2016b), "onda espectros desonesto da equação Kundu-Eckhaus", Physical Review E , 93 (062215), arXiv : 1604,08035 , bibcode : 2016PhRvE..93f2215B , doi : 10,1103 / PhysRevE.93.062215
• Kundu, A. (1984), "Landau-Lifshitz e de ordem superior calibre sistemas não-linear gerada a partir das equações não lineares do tipo Schrodinger", Journal of Mathematical Physics , 25 : 3433-3438, bibcode : 1984JMP .... 25.3433K , doi : 10,1063 / 1,526113
• Taghizadeh, N .; Mirzazadeh, M .; Tascan, F. (2012), "A primeira integrante método aplicado à equação Eckhaus", Mathematics Applied Letters , 25 (5): 798-802, DOI : 10.1016 / j.aml.2011.10.021
• Zwillinger, D. (1998), Handbook of equações diferenciais (3rd ed.), Academic Press, ISBN  978 0 12 784396 4