Integral direto - Direct integral
Em matemática e análise funcional, uma integral direta é uma generalização do conceito de soma direta . A teoria é mais desenvolvida para integrais diretos de espaços de Hilbert e integrais diretos de álgebras de von Neumann . O conceito foi apresentado em 1949 por John von Neumann em um dos artigos da série On Rings of Operators . Um dos objetivos de von Neumann neste artigo era reduzir a classificação das (agora chamadas) álgebras de von Neumann em espaços de Hilbert separáveis à classificação dos chamados fatores. Fatores são análogos a álgebras de matriz completa sobre um campo, e von Neumann queria provar um análogo contínuo do teorema de Artin-Wedderburn classificando anéis semi-simples.
Os resultados em integrais diretos podem ser vistos como generalizações de resultados sobre C * -álgebras de dimensão finita de matrizes; neste caso, os resultados são fáceis de provar diretamente. O caso de dimensão infinita é complicado por tecnicidade da teoria da medida.
A teoria integral direta também foi usada por George Mackey em sua análise de sistemas de imprimitividade e sua teoria geral de representações induzidas de grupos separáveis localmente compactos.
Integrais diretos de espaços de Hilbert
O exemplo mais simples de um integrante directa são os L 2 espaços associados a um (σ-finita) μ medida contavelmente aditivo em um espaço mensurável X . De maneira um pouco mais geral, pode-se considerar um espaço Hilbert separável H e o espaço de funções H quadradas integráveis avaliadas
Nota terminológica : Segue-se aqui a terminologia adotada pela literatura sobre o assunto, segundo a qual um espaço mensurável X é referido como um espaço de Borel e os elementos da distinta σ-álgebra de X como conjuntos de Borel, independentemente de serem ou não a σ-álgebra subjacente vem de um espaço topológico (na maioria dos exemplos vem). Um espaço de Borel é padrão se e somente se for isomórfico ao espaço de Borel subjacente de um espaço polonês ; todos os espaços poloneses de uma determinada cardinalidade são isomórficos entre si (como espaços de Borel). Dada uma medida aditiva contável μ em X , um conjunto mensurável é aquele que difere de um conjunto de Borel por um conjunto nulo . A medida μ em X é uma medida padrão se e somente se houver um conjunto nulo E tal que seu complemento X - E seja um espaço de Borel padrão . Todas as medidas consideradas aqui são σ-finitas.
Definição . Seja X um espaço de Borel equipado com uma medida aditiva contável μ. Uma família mensurável de espaços de Hilbert em ( X , μ) é uma família { H x } x ∈ X , que é localmente equivalente a uma família trivial no seguinte sentido: Há uma partição contável
por subconjuntos mensuráveis de X, de modo que
onde H n é o espaço de Hilbert n- dimensional canônico , isto é
Uma secção transversal de { H x } x ∈ X é uma família { s X } x ∈ X de tal forma que s x ∈ H x para todos os x ∈ X . Uma seção transversal é mensurável se e somente se sua restrição a cada elemento de partição X n for mensurável. Identificaremos seções transversais mensuráveis s , t que são iguais em quase todos os lugares . Dada uma família mensurável de espaços de Hilbert, a integral direta
consiste em classes equivalentes (em relação a quase todos igualdade) de mensuráveis quadrados integráveis secções transversais de { H x } x ∈ X . Este é um espaço Hilbert sob o produto interno
Dada a natureza local de nossa definição, muitas definições aplicáveis a espaços de Hilbert únicos se aplicam a famílias mensuráveis de espaços de Hilbert também.
Observação . Esta definição é aparentemente mais restritiva do que a dada por von Neumann e discutida no tratado clássico de Dixmier sobre as álgebras de von Neumann. Na definição mais geral, as fibras espaciais de Hilbert H x podem variar de ponto a ponto sem ter um requisito de trivialidade local (local em um sentido teórico de medida). Um dos principais teoremas da teoria de von Neumann é mostrar que de fato a definição mais geral pode ser reduzida à mais simples dada aqui.
Observe que a integral direta de uma família mensurável de espaços de Hilbert depende apenas da classe de medida da medida μ; mais precisamente:
Teorema . Suponha que μ, ν são medidas σ-finitas contáveis aditivas em X que têm os mesmos conjuntos de medida 0. Então, o mapeamento
é um operador unitário
Exemplo
Tecnicamente, os exemplos mais simples são quando X é um conjunto contável e μ é uma medida discreta. Ao longo do artigo, vamos considerar o exemplo de execução seguinte, no qual X = N e μ é contando medida em N . Neste caso, qualquer sequência { H k } de espaços de Hilbert separáveis pode ser considerada como uma família mensurável. Além disso,
Operadores decomponíveis
Em nosso exemplo de execução, qualquer operador linear limitado T em
é dado por uma matriz infinita
Considere os operadores que têm diagonal de bloco , ou seja, todas as entradas fora da diagonal são zero. Chamamos esses operadores de decomponíveis . Esses operadores podem ser caracterizados como aqueles que comutam com matrizes diagonais:
Agora procedemos à definição geral: Uma família de operadores limitados { T x } x ∈ X com T x ∈ L ( H x ) é dita ser fortemente mensurável se e somente se sua restrição a cada X n for fortemente mensurável. Isso faz sentido porque H x é constante em X n .
Famílias mensuráveis de operadores com uma norma essencialmente limitada, que é
definir operadores lineares limitados
agindo de maneira pontual, isto é
Esses operadores são considerados decomponíveis .
Exemplos de operadores capazes de se decomporem são os definidos pelo valor escalar (ou seja, C -valued) funções mensuráveis X em X . Na verdade,
Teorema . O mapeamento
dado por
é um isomorfismo algébrico involutivo em sua imagem.
Por esta razão, iremos identificar L ∞ μ ( X ) com a imagem de φ.
Teorema Operadores decomponíveis são precisamente aqueles que estão no operador comutante da álgebra abeliana L ∞ μ ( X ).
Decomposição de álgebras de Abelian von Neumann
O teorema espectral tem muitas variantes. Uma versão particularmente poderosa é a seguinte:
Teorema . Para qualquer álgebra Abeliana de von Neumann A em um espaço de Hilbert separável H , há um espaço de Borel padrão X e uma medida μ em X tal que é unitariamente equivalente como uma álgebra de operador a L ∞ μ ( X ) agindo em uma integral direta de Espaços de Hilbert
Para afirmar A é unitariamente equivalente a L ∞ μ ( X ) como uma álgebra de operador significa que há uma unidade
tal que U A U * é a álgebra dos operadores diagonais L ∞ μ ( X ). Observe que isso afirma mais do que apenas a equivalência algébrica de A com a álgebra de operadores diagonais.
Esta versão, no entanto, não afirma explicitamente como o espaço X padrão do Borel é obtido. Há um resultado de exclusividade para a decomposição acima.
Teorema . Se a álgebra Abeliana de von Neumann A é unitariamente equivalente a L ∞ μ ( X ) e L ∞ ν ( Y ) agindo nos espaços integrais diretos
e μ, ν são medidas padrão, então há um isomorfismo de Borel
onde E , F são conjuntos nulos de modo que
φ é um isomorfismo da classe de medida, ou seja, φ e seu inverso preserva conjuntos de medida 0.
Os dois teoremas anteriores fornecem a classificação completa das álgebras de Abelian von Neumann em espaços de Hilbert separáveis. Observe que esta classificação realmente leva em consideração a realização da álgebra de von Neumann como uma álgebra de operadores. Se considerarmos apenas a álgebra de von Neumann subjacente independentemente de sua realização como uma álgebra de von Neumann, então sua estrutura é determinada por invariantes teóricos de medida muito simples.
Integrais diretos de álgebras de von Neumann
Seja { H x } x ∈ X uma família mensurável de espaços de Hilbert. Uma família de álgebras de von Neumann { A x } x ∈ X com
é mensurável se e somente se houver um conjunto contável D de famílias de operadores mensuráveis que geram pontualmente { A x } x ∈ X como uma álgebra de von Neumann no seguinte sentido: Para quase todos os x ∈ X ,
onde * W ( S ) indica a álgebra de Von Neumann gerado pelo conjunto de S . Se { A x } x ∈ X é uma família mensurável de álgebras de von Neumann, a integral direta das álgebras de von Neumann
consiste em todos os operadores do formulário
para T x ∈ A x .
Um dos principais teoremas de von Neumann e Murray em sua série original de artigos é uma prova do teorema da decomposição: qualquer álgebra de von Neumann é uma integral direta de fatores. Declaramos isso precisamente abaixo.
Teorema . Se { A x } x ∈ X é uma família mensurável de álgebras de von Neumann e μ é padrão, então a família de comutantes de operador também é mensurável e
Decomposição central
Suponha que A seja uma álgebra de von Neumann. seja Z ( A ) o centro de A , que é o conjunto de operadores em A que comutam com todos os operadores A , ou seja
Z ( A ) é uma álgebra Abeliana de von Neumann.
Exemplo . O centro de L ( H ) é unidimensional. Em geral, se A é uma álgebra de von Neumann, se o centro é unidimensional, dizemos que A é um fator .
Agora, suponha que A seja uma álgebra de von Neumann cujo centro contém uma sequência de projeções ortogonais pareadas mínimas não nulas { E i } i ∈ N tais que
Então A E i é uma álgebra de von Neumann no intervalo H i de E i . É fácil ver que A E i é um fator. Portanto, neste caso especial
representa A como uma soma direta de fatores. Este é um caso especial do teorema da decomposição central de von Neumann.
Em geral, podemos aplicar o teorema de estrutura das álgebras de Abelian von Neumann que representa Z ( A ) como uma álgebra de operadores escalares diagonais. Em qualquer representação, todos os operadores em A são operadores decomponíveis. Na verdade, podemos usar isso para provar o resultado básico de von Neumann de que qualquer álgebra de von Neumann admite uma decomposição em fatores.
Teorema . Suponha
é uma decomposição integral direta de H e A é uma álgebra de Von Neumann em H de forma que Z ( A ) é representado pela álgebra de operadores escalares diagonais L ∞ μ ( X ) onde X é um espaço de Borel padrão. Então
onde para quase todo x ∈ X , A x é uma álgebra de Von Neumann que é um fator .
Famílias mensuráveis de representações
Se A é uma C * -álgebra separável, podemos considerar famílias mensuráveis de representações * não degeneradas de A ; lembre-se de que, no caso de A ter uma unidade, a não degenerescência é equivalente à preservação da unidade. Pela correspondência geral que existe entre representações unitárias fortemente contínuas de um grupo G localmente compacto e representações não degeneradas * dos grupos C * -álgebra C * ( G ), a teoria para C * -álgebras fornece imediatamente uma teoria de decomposição para representações de grupos compactos localmente separáveis.
Teorema . Deixe Um ser uma separáveis C * -álgebra e π uma representação involutiva não degenerado de um em um espaço separável de Hilbert H . Seja W * (π) ser o álgebra de von Neumann gerado pelo operadores π ( um ) para um ∈ Uma . Então, correspondendo a qualquer decomposição central de W * (π) sobre um espaço de medida padrão ( X , μ) (que, como afirmado, é único em um sentido teórico de medida), há uma família mensurável de representações de fator
de um tal que
Além disso, existe um subconjunto N de X com μ medida zero, de modo que π x , π y são disjuntos sempre que x , y ∈ X - N , onde as representações são ditas disjuntas se e somente se não houver operadores entrelaçados entre eles .
Pode-se mostrar que a integral direta pode ser indexado no chamado quase-spectrum Q de A , composto por aulas quasi-equivalência de representações fator de Uma . Assim, há uma medida padrão μ em Q e uma família mensurável de representações de fatores indexadas em Q tal que π x pertence à classe de x . Essa decomposição é essencialmente única. Esse resultado é fundamental na teoria das representações de grupo.
Referências
- J. Dixmier , álgebras de Von Neumann , ISBN 0-444-86308-7
- J. Dixmier, C * álgebras ISBN 0-7204-0762-1
- GW Mackey , The Theory of Unitary Group Representations , The University of Chicago Press, 1976.
- J. von Neumann , On Rings of Operators. Reduction Theory The Annals of Mathematics 2nd Ser., Vol. 50, No. 2 (abril de 1949), pp. 401–485.
- Masamichi Takesaki Theory of Operator Algebras I, II, III ", enciclopédia de ciências matemáticas, Springer-Verlag, 2001–2003 (o primeiro volume foi publicado em 1979 em 1. Edição) ISBN 3-540-42248-X