Operador Dirac - Dirac operator

Em matemática e mecânica quântica , um operador de Dirac é um operador diferencial que é uma raiz quadrada formal, ou meia iteração , de um operador de segunda ordem, como um Laplaciano . O caso original que preocupava Paul Dirac era fatorar formalmente um operador para o espaço de Minkowski , para obter uma forma de teoria quântica compatível com a relatividade especial ; para obter o Laplaciano relevante como um produto de operadores de primeira ordem, ele introduziu os espinores .

Definição formal

Em geral, deixar D ser um operador de primeira ordem diferencial actua sobre um vector de feixe de V ao longo de um colector de Riemannian M . Se

${\ displaystyle D ^ {2} = \ Delta, \,}$

onde ∆ é o Laplaciano de V , então D é chamado de operador de Dirac .

Na física de alta energia , esse requisito é freqüentemente relaxado: apenas a parte de segunda ordem de D ² deve ser igual ao laplaciano.

Exemplos

Exemplo 1

D = - i ∂ _x é um operador de Dirac no feixe tangente sobre uma linha.

Exemplo 2

Considere um pacote simples de notável importância na física: o espaço de configuração de uma partícula com spin 1/2confinado a um plano, que também é o coletor de base. É representado por uma função de onda ψ  : R ² → C ²

${\ displaystyle \ psi (x, y) = {\ begin {bmatrix} \ chi (x, y) \\\ eta (x, y) \ end {bmatrix}}}$

onde x e y são as funções de coordenadas usuais em R ² . χ especifica a amplitude de probabilidade para a partícula estar no estado de spin-up, e da mesma forma para η . O chamado operador spin-Dirac pode então ser escrito

${\ displaystyle D = -i \ sigma _ {x} \ parcial _ {x} -i \ sigma _ {y} \ parcial _ {y},}$

onde σ _i são as matrizes de Pauli . Observe que as relações de anticomutação para as matrizes de Pauli tornam trivial a prova da propriedade definidora acima. Essas relações definem a noção de uma álgebra de Clifford .

Soluções para a equação de Dirac para campos de espinor são freqüentemente chamadas de espinores harmônicos .

Exemplo 3

O operador Dirac de Feynman descreve a propagação de um férmion livre em três dimensões e é escrito com elegância

${\ displaystyle D = \ gamma ^ {\ mu} \ parcial _ {\ mu} \ \ equiv \ parcial \! \! \! /,}$

usando a notação de barra de Feynman . Em livros introdutórios à teoria quântica de campos , isso aparecerá na forma

${\ displaystyle D = c {\ vec {\ alpha}} \ cdot (-i \ hbar \ nabla _ {x}) + mc ^ {2} \ beta}$

onde estão as matrizes de Dirac fora da diagonal , com e as constantes restantes são a velocidade da luz , sendo a constante de Planck , e a massa de um férmion (por exemplo, um elétron ). Ele atua em uma função de onda de quatro componentes , o espaço de Sobolev de funções quadradas integráveis ​​suaves. Ele pode ser estendido a um operador auto-adjunto nesse domínio. O quadrado, neste caso, não é o Laplaciano, mas sim (após a configuração ) ${\ displaystyle {\ vec {\ alpha}} = (\ alpha _ {1}, \ alpha _ {2}, \ alpha _ {3})}$ ${\ displaystyle \ alpha _ {i} = \ beta \ gamma _ {i}}$${\ displaystyle \ beta = \ gamma _ {0}}$${\ displaystyle c}$${\ displaystyle \ hbar}$${\ displaystyle m}$${\ displaystyle \ psi (x) \ in L ^ {2} (\ mathbb {R} ^ {3}, \ mathbb {C} ^ {4})}$${\ displaystyle D ^ {2} = \ Delta + m ^ {2}}$${\ displaystyle \ hbar = c = 1.}$

Exemplo 4

Outro operador Dirac surge na análise de Clifford . No espaço n euclidiano, isso é

${\ displaystyle D = \ sum _ {j = 1} ^ {n} e_ {j} {\ frac {\ parcial} {\ parcial x_ {j}}}}$

onde { e _j : j = 1, ..., n } é uma base ortonormal para o espaço n euclidiano , e R ⁿ é considerado embutido em uma álgebra de Clifford .

Este é um caso especial do operador Atiyah – Singer – Dirac agindo sobre seções de um feixe de espinhos .

Exemplo 5

Para uma variedade de spin , M , o operador Atiyah – Singer-Dirac é definido localmente da seguinte forma: Para x ∈ M e e ₁ ( x ), ..., e _j ( x ) uma base ortonormal local para o espaço tangente de M em x , o operador Atiyah – Singer – Dirac é

${\ displaystyle D = \ sum _ {j = 1} ^ {n} e_ {j} (x) {\ tilde {\ Gamma}} _ {e_ {j} (x)},}$

onde representa a ligação de rotação , um levantamento da ligação Levi-Civita em M para o feixe espinor sobre M . O quadrado, neste caso, não é o Laplaciano, mas, em vez disso, onde está a curvatura escalar da conexão. ${\ displaystyle {\ tilde {\ Gamma}}}$${\ displaystyle D ^ {2} = \ Delta + R / 4}$${\ displaystyle R}$

Generalizações

Na análise de Clifford, o operador D  : C ^∞ ( R ^k ⊗ R ⁿ , S ) → C ^∞ ( R ^k ⊗ R ⁿ , C ^k ⊗ S ) atuando em funções com valor de spinor definidas por

${\ displaystyle f (x_ {1}, \ ldots, x_ {k}) \ mapsto {\ begin {pmatrix} \ partial _ {\ underline {x_ {1}}} f \\\ parcial _ {\ underline {x_ {2}}} f \\\ ldots \\\ parcial _ {\ underline {x_ {k}}} f \\\ end {pmatriz}}}$

às vezes é chamado de operador Dirac em k variáveis ​​Clifford. Na notação, S é o espaço dos espinores, são variáveis n- dimensionais e é o operador de Dirac na i- ésima variável. Esta é uma generalização comum do operador Dirac ( k = 1 ) e do operador Dolbeault ( n = 2 , k arbitrário). É um operador diferencial invariante , invariante sob a ação do grupo SL ( k ) × Spin ( n ) . A resolução de D é conhecida apenas em alguns casos especiais. ${\ displaystyle x_ {i} = (x_ {i1}, x_ {i2}, \ ldots, x_ {in})}$${\ displaystyle \ partial _ {\ underline {x_ {i}}} = \ sum _ {j} e_ {j} \ cdot \ partial _ {x_ {ij}}}$

Veja também

Referências

• Friedrich, Thomas (2000), Dirac Operators in Riemannian Geometry , American Mathematical Society , ISBN 978-0-8218-2055-1
• Colombo, F., I .; Sabadini, I. (2004), Análise de Sistemas de Dirac e Álgebra Computacional , Birkhauser Verlag AG, ISBN 978-3-7643-4255-5