Descida (matemática) - Descent (mathematics)

Em matemática , a ideia de descida estende a ideia intuitiva de 'colagem' na topologia . Como a cola dos topólogos é o uso de relações de equivalência em espaços topológicos , a teoria começa com algumas idéias sobre identificação.

Descida de pacotes de vetores

O caso da construção de feixes vetoriais a partir de dados em uma união disjunta de espaços topológicos é um ponto de partida direto.

Suponha que X seja um espaço topológico coberto por conjuntos abertos X _i . Seja Y a união disjunta de X _i , de modo que haja um mapeamento natural

${\ displaystyle p: Y \ rightarrow X.}$

Pensamos de Y como 'em cima' X , com a X _i projecção 'para baixo' para X . Com esta linguagem, a descida implica um feixe vetorial em Y (então, um feixe dado em cada X _i ), e nossa preocupação é "colar" esses feixes V _i , para fazer um único feixe V em X. O que queremos dizer é que V deve, quando restrito a X _i , devolver V _i , até um isomorfismo de feixe.

Os dados necessários são estes: em cada sobreposição

${\ displaystyle X_ {ij},}$

intersecção de X _i e X _j , vamos exigir mapeamentos

${\ displaystyle f_ {ij}: V_ {i} \ rightarrow V_ {j}}$

usar para identificar V _i e V _j lá, fibra por fibra. Além disso, o f _ij deve satisfazer as condições baseadas nas propriedades reflexivas, simétricas e transitivas de uma relação de equivalência (condições de colagem). Por exemplo, a composição

${\ displaystyle f_ {jk} \ circ f_ {ij} = f_ {ik}}$

para transitividade (e escolhendo notação apropriada). O f _ii deve ser mapas de identidade e, portanto, torna-se simetria (de modo que é um isomorfismo de fibra). ${\ displaystyle f_ {ij} = f_ {ji} ^ {- 1}}$

Essas são de fato condições padrão na teoria do feixe de fibras (veja o mapa de transição ). Uma aplicação importante a ser observada é a mudança de fibra : se os f _ij são tudo o que você precisa para fazer um pacote, há muitas maneiras de fazer um pacote associado . Ou seja, podemos tomar essencialmente o mesmo f _ij , agindo em várias fibras.

Outro ponto importante é a relação com a regra da cadeia : a discussão da maneira de construir campos tensores pode ser resumida como 'uma vez que você aprende a descer o feixe tangente , para o qual a transitividade é a regra da cadeia Jacobiana , o resto é apenas' naturalidade das construções tensoriais '.

Para nos aproximarmos da teoria abstrata, precisamos interpretar a união disjunta do

${\ displaystyle X_ {ij}}$

agora como

${\ displaystyle Y \ times _ {X} Y,}$

o produto de fibra (aqui um equalizador ) de duas cópias da projeção p. Os feixes sobre o X _ij que devem controlar são V 'e V ", os retrocessos para a fibra de V através da projecção dois mapas diferentes de X .

Portanto, ao ir para um nível mais abstrato, pode-se eliminar o lado combinatório (ou seja, deixar de fora os índices) e obter algo que faça sentido para p não da forma especial de cobertura com a qual começamos. Isso permite uma abordagem da teoria das categorias : o que resta a fazer é reexpressar as condições de colagem.

História

As ideias foram desenvolvidas no período de 1955 a 1965 (que foi aproximadamente a época em que os requisitos da topologia algébrica foram atendidos, mas os da geometria algébrica não). Do ponto de vista da teoria das categorias abstratas , o trabalho dos cúmplices de Beck foi um somatório dessas idéias; veja o teorema da monadicidade de Beck .

As dificuldades da geometria algébrica com a passagem para o quociente são agudas. A urgência (para colocar dessa forma) do problema para os geômetras explica o título do seminário de Grothendieck de 1959 TDTE sobre teoremas de descida e técnicas de existência (ver FGA ) conectando a questão da descida com a questão do functor representável na geometria algébrica em geral, e o problema dos módulos em particular.

Descendência totalmente fiel

Deixe . Cada feixe F em X dá origem a dados de descida: ${\ displaystyle p: X '\ a X}$

${\ displaystyle (F '= p ^ {*} F, \ alpha: p_ {0} ^ {*} F' \ simeq p_ {1} ^ {*} F '), \, p_ {i}: X' '= X' \ vezes _ {X} X '\ a X'}$

onde satisfaz a condição do cociclo: ${\ displaystyle \ alpha}$

${\ displaystyle p_ {02} ^ {*} \ alpha = p_ {12} ^ {*} \ alpha \ circ p_ {01} ^ {*} \ alpha, \, p_ {ij}: X '' \ times _ {X '} X' '\ vezes _ {X'} X '' \ a X '' \ vezes _ {X '} X' '}$.

A descendência totalmente fiel diz: é totalmente fiel. A teoria da descida conta as condições para as quais existe uma descendência totalmente fiel. ${\ displaystyle F \ mapsto (F ', \ alpha)}$

Veja também

• Conexão Grothendieck
• Pilha (matemática)
• Descida de Galois
• Topologia Grothendieck
• Categoria de fibra
• Teorema da monadicidade de Beck
• Descendência cohomológica

Referências

• SGA 1 , Ch VIII - esta é a principal referência
• Siegfried Bosch; Werner Lütkebohmert; Michel Raynaud (1990). Néron Models . Ergebnisse der Mathematik und Ihrer Grenzgebiete. 3. Folge. 21 . Springer-Verlag . ISBN 3540505873. Um capítulo sobre a teoria da descida é mais acessível do que SGA.
• Pedicchio, Maria Cristina; Tholen, Walter, eds. (2004). Fundações categóricas. Tópicos especiais em ordem, topologia, álgebra e teoria de feixe . Enciclopédia de matemática e suas aplicações. 97 . Cambridge: Cambridge University Press . ISBN 0-521-83414-7. Zbl  1034.18001 .

Leitura adicional

Outras fontes possíveis incluem:

• Angelo Vistoli, Notas sobre topologias de Grothendieck, categorias fibrosas e teoria de descendência arXiv : math.AG/0412512
• Mattieu Romagny, um caminho direto para pilhas algébricas

links externos

• O que é a teoria da descendência?