Curva De Rham - De Rham curve
Em matemática , uma curva de Rham é um certo tipo de curva fractal nomeada em homenagem a Georges de Rham .
A função Cantor , Cesàro curva, função de ponto de interrogação de Minkowski , a curva de Lévy C , a curva de manjar branco da curva de Koch ea curva de Osgood são todos os casos especiais do general de Rham curva.
Construção
Considere algum espaço métrico completo (geralmente 2 com a distância euclidiana usual) e um par de mapas de contração em M:
Pelo teorema do ponto fixo de Banach , estes têm pontos fixos e respectivamente. Seja x um número real no intervalo , com expansão binária
onde cada um é 0 ou 1. Considere o mapa
definido por
onde denota a composição da função . Pode-se mostrar que cada um irá mapear a bacia comum de atração de e para um único ponto em . A coleção de pontos , parametrizada por um único parâmetro real x , é conhecida como curva de Rham.
Condição de continuidade
Quando os pontos fixos são pareados de forma que
então pode ser mostrado que a curva resultante é uma função contínua de x . Quando a curva é contínua, geralmente não é diferenciável.
No restante desta página, vamos assumir que as curvas são contínuas.
Propriedades
As curvas de De Rham são autossimilares por construção, uma vez que
- para e
- para
As auto-simetrias de todas as curvas de de Rham são dadas pelo monóide que descreve as simetrias da árvore binária infinita ou conjunto de Cantor . Este chamado monóide de duplicação de período é um subconjunto do grupo modular .
A imagem da curva, ou seja, o conjunto de pontos , pode ser obtida por um sistema de função iterada usando o conjunto de mapeamentos de contração . Mas o resultado de um sistema de funções iteradas com dois mapeamentos de contração é uma curva de Rham se e somente se os mapeamentos de contração satisfazem a condição de continuidade.
Exemplos detalhados e trabalhados das auto-semelhanças podem ser encontrados nos artigos sobre a função Cantor e sobre a função do ponto de interrogação de Minkowski . Precisamente o mesmo monóide de auto-semelhanças, o monóide diádico , aplica-se a todas as curvas de Rham.
Classificação e exemplos
Curvas Cesàro
As curvas de Cesàro (ou curvas Cesàro – Faber ) são curvas De Rham geradas por transformações afins conservando a orientação , com pontos fixos e .
Por causa dessas restrições, as curvas de Cesàro são determinadas exclusivamente por um número complexo como e .
O mapeamento de contracção e são, então, definida como funções complexas no plano complexo por:
Para o valor de , a curva resultante é a curva Lévy C .
Curvas de Koch-Peano
De forma semelhante, podemos definir a família de curvas Koch – Peano como o conjunto de curvas de De Rham geradas por transformações afins de orientação reversa, com pontos fixos e .
Estes mapeamentos são expressos no plano complexo como uma função da , o complexo conjugado de :
O nome da família vem de seus dois membros mais famosos. A curva de Koch é obtida definindo:
enquanto a curva de Peano corresponde a:
Mapas afins gerais
As curvas Cesàro – Faber e Peano – Koch são ambos casos especiais do caso geral de um par de transformações lineares afins no plano complexo. Fixando um ponto final da curva em 0 e o outro em um, o caso geral é obtido pela iteração das duas transformações
e
Sendo transformadas afins , essas transformadas agem em um ponto do plano 2-D agindo no vetor
O ponto médio da curva pode ser visto como localizado em ; os outros quatro parâmetros podem ser variados para criar uma grande variedade de curvas.
A curva de manejo branco do parâmetro pode ser obtida configurando , e . Isso é:
e
Uma vez que a curva do parâmetro mango branco é a parábola da equação , isso ilustra o fato de que, em algumas ocasiões, as curvas de Rham podem ser suaves.
Função de ponto de interrogação de Minkowski
A função de ponto de interrogação de Minkowski é gerada pelo par de mapas
e
Generalizações
É fácil generalizar a definição usando mais de dois mapeamentos de contração. Se usarmos n mapeamentos, então a decomposição n -ary de x deve ser usada em vez da expansão binária de números reais . A condição de continuidade deve ser generalizada em:
- , para
Esta condição de continuidade pode ser compreendida com o seguinte exemplo. Suponha que on esteja trabalhando na base 10. Então, temos (notoriamente) que 0,999 ... = 1,000 ... que é uma equação de continuidade que deve ser aplicada em cada lacuna. Ou seja, dados os dígitos decimais com , um tem
Tal generalização permite, por exemplo, produzir a curva da ponta de seta de Sierpiński (cuja imagem é o triângulo de Sierpiński ), usando os mapeamentos de contração de um sistema de função iterativa que produz o triângulo de Sierpiński.
Curvas multifractais
Ornstein e outros descrevem um sistema multifractal , onde em vez de trabalhar em uma base fixa, trabalha-se em uma base variável.
Considere o espaço do produto de base variável - espaços discretos
para o grupo cíclico , para um inteiro. Qualquer número real no intervalo de unidade pode ser expandido em uma sequência de modo que cada um . Mais precisamente, um número real é escrito como
Essa expansão não é única, se tudo passou de algum ponto . Neste caso, tem que
Esses pontos são análogos aos racionais diádicos na expansão diádica, e as equações de continuidade na curva devem ser aplicadas nesses pontos.
Para cada , um deve especificar duas coisas: um conjunto de dois pontos e e um conjunto de funções (com ). A condição de continuidade é então como acima,
- , para
O exemplo original de Ornstein usado
Veja também
Referências
Leitura adicional
- Georges de Rham, On Some Curves Defined by Functional Equations (1957), reimpresso em Classics on Fractals , ed. Gerald A. Edgar (Addison-Wesley, 1993), pp. 285-298.
- Georges de Rham, Sur quelques courbes definies par des equations fonctionnelles . Univ. e Politec. Torino. Rend. Sem. Mat., 1957, 16, 101-113
- Linas Vepstas, A Gallery of de Rham Curves , (2006).
- Linas Vepstas, Symmetries of Period-Doubling Maps , (2006). (Uma exploração geral da simetria de grupo modular em curvas fractais.)