Operador d'Alembert - d'Alembert operator

Na relatividade especial , eletromagnetismo e acenar teoria , a d'Alembert operador (indicado por uma caixa: ), também chamado de d'Alembertiano , operador de onda , operador de caixa ou às vezes quabla operador ( cf . Símbolo nabla ) é o operador de Laplace de Minkowski espaço . O operador tem o nome do matemático e físico francês Jean le Rond d'Alembert . ${\ displaystyle \ Box}$

No espaço de Minkowski, em coordenadas padrão ( t , x , y , z ) , tem a forma

${\ displaystyle {\ begin {alinhado} \ Box & = \ parcial ^ {\ mu} \ parcial _ {\ mu} = g ^ {\ mu \ nu} \ parcial _ {\ nu} \ parcial _ {\ mu} = {\ frac {1} {c ^ {2}}} {\ frac {\ parcial ^ {2}} {\ parcial t ^ {2}}} - {\ frac {\ parcial ^ {2}} {\ parcial x ^ {2}}} - {\ frac {\ parcial ^ {2}} {\ parcial y ^ {2}}} - {\ frac {\ parcial ^ {2}} {\ parcial z ^ {2} }} \\ & = {\ frac {1} {c ^ {2}}} {\ parcial ^ {2} \ over \ parcial t ^ {2}} - \ nabla ^ {2} = {\ frac {1 } {c ^ {2}}} {\ parcial ^ {2} \ over \ parcial t ^ {2}} - \ Delta ~~. \ end {alinhado}}}$

Aqui está o Laplaciano tridimensional e g ^μν é a métrica de Minkowski inversa com ${\ displaystyle \ nabla ^ {2}: = \ Delta}$

${\ displaystyle g_ {00} = 1}$, , Para .${\ displaystyle g_ {11} = g_ {22} = g_ {33} = - 1}$${\ displaystyle g _ {\ mu \ nu} = 0}$${\ displaystyle \ mu \ neq \ nu}$

Observe que os índices de soma μ e ν variam de 0 a 3: veja a notação de Einstein . Assumimos unidades tais que a velocidade da luz c = 1.

(Alguns autores usam alternativamente a assinatura métrica negativa de (- + + +) , com .) ${\ displaystyle g_ {00} = - 1, \; g_ {11} = g_ {22} = g_ {33} = 1}$

As transformações de Lorentz deixam a invariante métrica de Minkowski , então o d'Alembertiano produz um escalar de Lorentz . As expressões de coordenadas acima permanecem válidas para as coordenadas padrão em cada referencial inercial.

O símbolo da caixa (☐) e notações alternativas

Há uma variedade de notações para o d'Alembertian. Os mais comuns são o símbolo da caixa ( Unicode : U + 2610 ☐ BALLOT BOX ) cujos quatro lados representam as quatro dimensões do espaço-tempo e o símbolo da caixa ao quadrado que enfatiza a propriedade escalar através do termo quadrado (muito parecido com o Laplaciano ). De acordo com a notação triangular para o Laplaciano , às vezes é usado. ${\ displaystyle \ Box}$ ${\ displaystyle \ Box ^ {2}}$${\ displaystyle \ Delta _ {M}}$

Outra maneira de escrever o d'Alembertian em coordenadas padrão planas é . Esta notação é usada extensivamente na teoria quântica de campos , onde derivadas parciais são geralmente indexadas, então a falta de um índice com a derivada parcial quadrada sinaliza a presença do d'Alembertiano. ${\ displaystyle \ parcial ^ {2}}$

Às vezes, o símbolo da caixa é usado para representar a derivada covariante de Levi-Civita quadridimensional . O símbolo é então usado para representar as derivadas de espaço, mas isso depende do gráfico de coordenadas . ${\ displaystyle \ nabla}$

Formulários

A equação de onda para pequenas vibrações tem a forma

${\ displaystyle \ Box _ {c} u \ left (x, t \ right) \ equiv u_ {tt} -c ^ {2} u_ {xx} = 0 ~,}$

onde u ( x , t ) é o deslocamento.

A equação de onda para o campo eletromagnético no vácuo é

${\ displaystyle \ Box A ^ {\ mu} = 0}$

onde A ^μ é o quatro potencial eletromagnético no medidor Lorenz .

Na relatividade geral , a equação para as ondas gravitacionais no vácuo é

${\ displaystyle \ Box h _ {\ mu \ nu} = 0}$

onde é o (suficientemente pequeno) desvio do tensor métrico do tensor plano (Minkowskian). ${\ displaystyle h _ {\ mu \ nu}}$

A equação de Klein-Gordon tem a forma

${\ displaystyle \ left (\ Box + {\ frac {m ^ {2} c ^ {2}} {\ hbar ^ {2}}} \ right) \ psi = 0 ~.}$

Função de Green

A função de Green , para o d'Alembertiano é definida pela equação ${\ displaystyle G \ left ({\ tilde {x}} - {\ tilde {x}} '\ right)}$

${\ displaystyle \ Box G \ left ({\ tilde {x}} - {\ tilde {x}} '\ right) = \ delta \ left ({\ tilde {x}} - {\ tilde {x}}' \direito)}$

onde é o multidimensional função delta de Dirac e e são dois pontos no espaço Minkowski. ${\ displaystyle \ delta \ left ({\ tilde {x}} - {\ tilde {x}} '\ right)}$${\ displaystyle {\ tilde {x}}}$${\ displaystyle {\ tilde {x}} '}$

Uma solução especial é dada pela função retardada de Green que corresponde à propagação do sinal apenas para a frente no tempo

${\ displaystyle G \ left ({\ vec {r}}, t \ right) = {\ frac {1} {4 \ pi r}} \ Theta (t) \ delta \ left (t - {\ frac {r } {c}} \ right)}$

onde está a função de etapa de Heaviside . ${\ displaystyle \ Theta}$

Veja também

• 4-gradiente
• fórmula de d'Alembert
• Equação de Klein-Gordon
• Condução de calor relativística
• Cálculo de Ricci

Referências

links externos

• "Operador D'Alembert" , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press , 2001 [1994]
• Poincaré, Henri (1906). Tradução: On the Dynamics of the Electron (julho)  - via Wikisource ., impresso originalmente em Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo .
• Weisstein, Eric W. "d'Alembertian" . MathWorld .