Forma cúspide - Cusp form
Na teoria dos números , um ramo da matemática , uma forma cúspide é um tipo particular de forma modular com um coeficiente constante zero na expansão da série de Fourier .
Introdução
Uma forma cúspide é distinguida no caso de formas modulares para o grupo modular pelo desaparecimento do coeficiente constante a 0 na expansão da série de Fourier (ver q -expansão )
Esta expansão de Fourier existe como consequência da presença na ação do grupo modular no semiplano superior por meio da transformação
Para outros grupos, pode haver alguma tradução através de várias unidades, caso em que a expansão de Fourier é em termos de um parâmetro diferente. Em todos os casos, entretanto, o limite como q → 0 é o limite no semiplano superior como a parte imaginária de z → ∞. Tomando o quociente pelo grupo modular, este limite corresponde a uma cúspide de uma curva modular (no sentido de um ponto adicionado para compactação ). Portanto, a definição equivale a dizer que uma forma cúspide é uma forma modular que desaparece em uma cúspide. No caso de outros grupos, pode haver várias cúspides, e a definição torna-se uma forma modular desaparecendo em todas as cúspides. Isso pode envolver várias expansões.
Dimensão
As dimensões dos espaços das formas cúspides são, em princípio, computáveis por meio do teorema de Riemann-Roch . Por exemplo, a função de tau Ramanujan τ ( n ) surge como uma seqncia de coeficientes de Fourier de forma cúspide de peso 12 para o grupo modular, com um 1 = 1. O espaço de tais formas tem uma dimensão, o que significa que esta definição é possível; e isso explica a ação dos operadores de Hecke no espaço sendo por multiplicação escalar (a prova de Mordell das identidades de Ramanujan). Explicitamente, é o discriminante modular
que representa (até uma constante de normalização ) o discriminante da cúbica no lado direito da equação de Weierstrass de uma curva elíptica ; e o 24º poder da função eta de Dedekind . Os coeficientes de Fourier aqui são escritos
e chamada de ' função tau de Ramanujan ', com a normalização τ (1) = 1.
Conceitos relacionados
No quadro mais amplo das formas automórficas , as formas cúspides são complementares às séries de Eisenstein , em um espectro discreto / espectro contínuo , ou representação em série discreta / distinção de representação induzida típica em diferentes partes da teoria espectral . Ou seja, a série de Eisenstein pode ser "projetada" para assumir determinados valores nas cúspides. Existe uma grande teoria geral, embora dependendo da teoria bastante intrincada dos subgrupos parabólicos e das representações cúspides correspondentes .
Referências
- Serre, Jean-Pierre , A Course in Arithmetic , Graduate Texts in Mathematics , No. 7, Springer-Verlag , 1978. ISBN 0-387-90040-3
- Shimura, Goro , uma introdução à teoria aritmética de funções automórficas , Princeton University Press , 1994. ISBN 0-691-08092-5
- Gelbart, Stephen , Automorphic Forms on Adele Groups , Annals of Mathematics Studies, No. 83, Princeton University Press, 1975. ISBN 0-691-08156-5