Superfície cúbica - Cubic surface

Em matemática , uma superfície cúbica é uma superfície no espaço tridimensional definida por uma equação polinomial de grau 3. As superfícies cúbicas são exemplos fundamentais em geometria algébrica . A teoria é simplificada trabalhando no espaço projetivo ao invés do espaço afim , e assim as superfícies cúbicas são geralmente consideradas no espaço 3 projetivo . A teoria também se torna mais uniforme ao se concentrar em superfícies sobre os números complexos em vez dos números reais ; observe que uma superfície complexa tem dimensão real 4. Um exemplo simples é a superfície cúbica de Fermat${\ displaystyle \ mathbf {P} ^ {3}}$

${\ displaystyle x ^ {3} + y ^ {3} + z ^ {3} + w ^ {3} = 0}$

no . Muitas propriedades das superfícies cúbicas são válidas de forma mais geral para as superfícies del Pezzo . ${\ displaystyle \ mathbf {P} ^ {3}}$

Racionalidade das superfícies cúbicas

Uma característica central das superfícies cúbicas lisas X sobre um campo algébricamente fechado é que todas são racionais , como mostrado por Alfred Clebsch em 1866. Ou seja, há uma correspondência um-para-um definida por funções racionais entre o plano projetivo menos um subconjunto de dimensão inferior e X menos um subconjunto de dimensão inferior. De modo mais geral, toda superfície cúbica irredutível (possivelmente singular) sobre um campo algebraicamente fechado é racional, a menos que seja o cone projetivo sobre uma curva cúbica. Nesse aspecto, as superfícies cúbicas são muito mais simples do que as superfícies lisas de grau pelo menos 4 pol. , Que nunca são racionais. Na característica zero, as superfícies lisas de grau pelo menos 4 polegadas não são nem mesmo não dirigidas . ${\ displaystyle \ mathbf {P} ^ {2}}$${\ displaystyle \ mathbf {P} ^ {3}}$${\ displaystyle \ mathbf {P} ^ {3}}$

Mais fortemente, Clebsch mostrou que toda superfície cúbica lisa em um campo algebricamente fechado é isomórfica à explosão de 6 pontos. Como resultado, toda superfície cúbica lisa sobre os números complexos é difeomórfica à soma conectada , onde o sinal de menos se refere a uma mudança de orientação . Por outro lado, a explosão de 6 pontos é isomórfica a uma superfície cúbica se e somente se os pontos estiverem na posição geral, o que significa que não há três pontos em uma linha e todos os 6 não estão em uma cônica . Como uma variedade complexa (ou variedade algébrica ), a superfície depende do arranjo desses 6 pontos. ${\ displaystyle \ mathbf {P} ^ {3}}$${\ displaystyle \ mathbf {P} ^ {2}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {CP} ^ {2} \ # 6 (- \ mathbf {CP} ^ {2})}$${\ displaystyle \ mathbf {P} ^ {2}}$

27 linhas em uma superfície cúbica

A maioria das provas de racionalidade para superfícies cúbicas começa encontrando uma linha na superfície. (No contexto da geometria projetiva, uma linha em é isomórfica a .) Mais precisamente, Arthur Cayley e George Salmon mostraram em 1849 que toda superfície cúbica lisa sobre um campo algebricamente fechado contém exatamente 27 linhas. Esta é uma característica distintiva da cúbica: uma superfície quádrica lisa (grau 2) é coberta por uma família contínua de linhas, enquanto a maioria das superfícies de grau pelo menos 4 não contém linhas. Outra técnica útil para encontrar as 27 linhas envolve o cálculo de Schubert, que calcula o número de linhas usando a teoria de interseção do Grassmanniano de linhas em . ${\ displaystyle \ mathbf {P} ^ {3}}$${\ displaystyle \ mathbf {P} ^ {1}}$${\ displaystyle \ mathbf {P} ^ {3}}$${\ displaystyle \ mathbf {P} ^ {3}}$

Como os coeficientes de uma superfície cúbica complexa lisa são variados, as 27 linhas se movem continuamente. Como resultado, um circuito fechado na família de superfícies cúbicas lisas determina uma permutação das 27 linhas. O grupo de permutações das 27 linhas que surgem dessa maneira é denominado grupo de monodromia da família das superfícies cúbicas. Uma descoberta notável do século 19 foi que o grupo da monodromia não é trivial nem todo o grupo simétrico ; é um grupo da ordem 51840 , atuando transitivamente no conjunto de linhas. Este grupo foi gradualmente reconhecido (por Élie Cartan (1896), Arthur Coble (1915-17) e Patrick du Val (1936)) como o grupo Weyl do tipo , um grupo gerado por reflexões em um espaço vetorial real de 6 dimensões, relacionado ao grupo de Lie de dimensão 78. ${\ displaystyle S_ {27}}$${\ displaystyle E_ {6}}$${\ displaystyle E_ {6}}$

O mesmo grupo de ordem 51840 pode ser descrito em termos combinatórios, como o grupo de automorfismo do gráfico das 27 linhas, com um vértice para cada linha e uma aresta sempre que duas linhas se encontram. Este gráfico foi analisado no século 19 usando subgráficos como a configuração duplo seis de Schläfli . O gráfico complementar (com uma aresta sempre que duas linhas são disjuntas) é conhecido como gráfico de Schläfli .

Muitos problemas sobre superfícies cúbicas podem ser resolvidos usando a combinatória do sistema radicular . Por exemplo, as 27 linhas podem ser identificadas com os pesos da representação fundamental do grupo de Lie . Os possíveis conjuntos de singularidades que podem ocorrer em uma superfície cúbica podem ser descritos em termos de subsistemas do sistema radicular. Uma explicação para essa conexão é que a rede surge como o complemento ortogonal da classe anticanônica no grupo de Picard , com sua forma de interseção (proveniente da teoria de interseção de curvas em uma superfície). Para uma superfície cúbica complexa lisa, a rede de Picard também pode ser identificada com o grupo de cohomologia . ${\ displaystyle E_ {6}}$ ${\ displaystyle E_ {6}}$${\ displaystyle E_ {6}}$${\ displaystyle E_ {6}}$${\ displaystyle -K_ {X}}$ ${\ displaystyle \ operatorname {Pic} (X) \ cong \ mathbf {Z} ^ {7}}$${\ displaystyle H ^ {2} (X, \ mathbf {Z})}$

Um ponto Eckardt é um ponto onde 3 das 27 linhas se encontram. A maioria das superfícies cúbicas não tem ponto de Eckardt, mas tais pontos ocorrem em um subconjunto de codimensão -1 da família de todas as superfícies cúbicas lisas.

Dada uma identificação entre uma superfície cúbica em X e a explosão de 6 pontos na posição geral, as 27 linhas em X podem ser vistas como: as 6 curvas excepcionais criadas por explosão, as transformações birracionais das 15 linhas por meio de pares dos 6 pontos em , e as transformadas birracionais das 6 cônicas contendo todos, exceto um dos 6 pontos. Uma determinada superfície cúbica pode ser vista como uma ampliação de mais de uma maneira (na verdade, de 72 maneiras diferentes) e, portanto, uma descrição como ampliação não revela a simetria entre todas as 27 linhas. ${\ displaystyle \ mathbf {P} ^ {2}}$${\ displaystyle \ mathbf {P} ^ {2}}$${\ displaystyle \ mathbf {P} ^ {2}}$

A relação entre as superfícies cúbicas e o sistema radicular generaliza a uma relação entre todas as superfícies del Pezzo e os sistemas radiculares. Esta é uma das muitas classificações ADE em matemática. Seguindo essas analogias, Vera Serganova e Alexei Skorobogatov forneceram uma relação geométrica direta entre as superfícies cúbicas e o grupo de Lie . ${\ displaystyle E_ {6}}$${\ displaystyle E_ {6}}$

Na física, as 27 linhas podem ser identificadas com as 27 cargas possíveis da teoria M em um toro de seis dimensões (6 momentos; 15 membranas ; 6 cincobranas ) e o grupo E ₆ então age naturalmente como o grupo da dualidade U. Este mapa entre as superfícies del Pezzo e a teoria M em toros é conhecido como dualidade misteriosa .

Superfícies cúbicas especiais

A superfície cúbica complexa lisa com o maior grupo de automorfismo é a superfície cúbica de Fermat, definida por ${\ displaystyle \ mathbf {P} ^ {3}}$

${\ displaystyle x ^ {3} + y ^ {3} + z ^ {3} + w ^ {3} = 0.}$

Seu grupo de automorfismo é uma extensão , da ordem 648. ${\ displaystyle 3 ^ {3}: S_ {4}}$

A próxima superfície cúbica lisa mais simétrica é a superfície de Clebsch , que pode ser definida pelas duas equações ${\ displaystyle \ mathbf {P} ^ {4}}$

${\ displaystyle x_ {0} + x_ {1} + x_ {2} + x_ {3} + x_ {4} = x_ {0} ^ {3} + x_ {1} ^ {3} + x_ {2} ^ {3} + x_ {3} ^ {3} + x_ {4} ^ {3} = 0.}$

Seu grupo de automorfismo é o grupo simétrico , de ordem 120. Após uma complexa mudança linear de coordenadas, a superfície de Clebsch também pode ser definida pela equação ${\ displaystyle S_ {5}}$

${\ displaystyle x ^ {2} y + y ^ {2} z + z ^ {2} w + w ^ {2} x = 0}$

no . ${\ displaystyle \ mathbf {P} ^ {3}}$

Entre as superfícies cúbicas complexas singulares, a superfície cúbica nodal de Cayley é a única superfície com o número máximo de nós , 4:

${\ displaystyle wxy + xyz + yzw + zwx = 0.}$

Seu grupo de automorfismo é de ordem 24. ${\ displaystyle S_ {4}}$

Superfícies cúbicas reais

Em contraste com o caso complexo, o espaço das superfícies cúbicas lisas sobre os números reais não está conectado na topologia clássica (com base na topologia de R ). Seus componentes conectados (em outras palavras, a classificação de superfícies cúbicas reais lisas até a isotopia ) foram determinados por Ludwig Schläfli (1863), Felix Klein (1865) e HG Zeuthen (1875). Ou seja, existem 5 classes de isotopia de superfícies cúbicas reais lisas X in , distinguidas pela topologia do espaço de pontos reais . O espaço de pontos reais é difeomórfico a qualquer um , ou a união disjunta de e a 2-esfera, onde denota a soma conectada de r cópias do plano projetivo real . Correspondentemente, o número de linhas reais contidas em X é 27, 15, 7, 3 ou 3. ${\ displaystyle \ mathbf {P} ^ {3}}$ ${\ displaystyle X (\ mathbf {R})}$${\ displaystyle W_ {7}, W_ {5}, W_ {3}, W_ {1}}$${\ displaystyle W_ {1}}$${\ displaystyle W_ {r}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {RP} ^ {2}}$

Uma superfície cúbica real lisa é racional sobre R se e somente se seu espaço de pontos reais estiver conectado, portanto, nos primeiros quatro dos cinco casos anteriores.

O número médio de linhas reais em X é quando o polinômio definidor de X é amostrado aleatoriamente a partir do conjunto gaussiano induzido pelo produto interno de Bombieri . ${\ displaystyle 6 {\ sqrt {2}} - 3}$

O espaço de módulos das superfícies cúbicas

Duas superfícies cúbicas lisas são isomórficas como variedades algébricas se, e somente se, forem equivalentes por algum automorfismo linear de . A teoria invariante geométrica fornece um espaço de módulos de superfícies cúbicas, com um ponto para cada classe de isomorfismo de superfícies cúbicas lisas. Este espaço de módulos tem dimensão 4. Mais precisamente, é um subconjunto aberto do espaço projetivo ponderado P (12345), de Salmon e Clebsch (1860). Em particular, é um quadrante racional. ${\ displaystyle \ mathbf {P} ^ {3}}$

O cone de curvas

As linhas em uma superfície cúbica X sobre um campo algébricamente fechado podem ser descritas intrinsecamente, sem referência à incorporação de X em : elas são exatamente as (−1) -curvas em X , o que significa que as curvas isomórficas que têm auto-interseção - 1 Além disso, as classes de retas na rede de Picard de X (ou equivalentemente o grupo de classes do divisor ) são exatamente os elementos u de Pic ( X ) tais que e . (A usos que a restrição da linha hiperplana feixe O (1) em que X é o feixe de linha anticanonical , pela fórmula adjunção .) ${\ displaystyle \ mathbf {P} ^ {3}}$${\ displaystyle \ mathbf {P} ^ {1}}$${\ displaystyle u ^ {2} = - 1}$${\ displaystyle -K_ {X} \ cdot u = 1}$${\ displaystyle \ mathbf {P} ^ {3}}$${\ displaystyle -K_ {X}}$

Para qualquer variedade projetiva X , o cone de curvas significa o cone convexo estendido por todas as curvas em X (no espaço vetorial real de equivalência numérica de módulo de 1 ciclo, ou no grupo de homologia se o campo base for os números complexos). Para uma superfície cúbica, o cone de curvas é medido por 27 linhas. Em particular, é um cone poliédrico racional com um grande grupo de simetria, o grupo de Weyl de . Existe uma descrição semelhante do cone de curvas para qualquer superfície del Pezzo. ${\ displaystyle N_ {1} (X)}$ ${\ displaystyle H_ {2} (X, \ mathbf {R})}$${\ displaystyle N_ {1} (X) \ cong \ mathbf {R} ^ {7}}$${\ displaystyle E_ {6}}$

Superfícies cúbicas sobre um campo

Uma superfície cúbica lisa X sobre um campo k que não é algebricamente fechado não precisa ser racional sobre k . Como um caso extremo, existem superfícies cúbicas lisas sobre os números racionais Q (ou os números p-ádicos ) sem pontos racionais , caso em que X certamente não é racional. Se X ( k ) não é vazio, então X é pelo menos uniracional sobre k , de Beniamino Segre e János Kollár . Para k infinito, unirationality implica que o conjunto de k pontos -rational é Zariski denso em X . ${\ displaystyle \ mathbf {Q} _ {p}}$

O grupo absoluto de Galois de k permuta as 27 retas de X sobre o fechamento algébrico de k (por meio de algum subgrupo do grupo de Weyl de ). Se alguma órbita dessa ação consiste em linhas disjuntas, então X é a explosão de uma superfície del Pezzo "mais simples" sobre k em um ponto fechado. Caso contrário, X tem o número de Picard 1. (O grupo de Picard de X é um subgrupo do grupo geométrico de Picard .) No último caso, Segre mostrou que X nunca é racional. Mais fortemente, Yuri Manin provou uma declaração de rigidez birracional: duas superfícies cúbicas lisas com Picard número 1 sobre um campo perfeito k são birracionais se e somente se forem isomórficas. Por exemplo, esses resultados fornecem muitas superfícies cúbicas sobre Q que são uniracionais, mas não racionais. ${\ displaystyle {\ overline {k}}}$${\ displaystyle E_ {6}}$${\ displaystyle \ operatorname {Pic} (X _ {\ overline {k}}) \ cong \ mathbf {Z} ^ {7}}$

Superfícies cúbicas singulares

Em contraste com as superfícies cúbicas lisas que contêm 27 linhas, as superfícies cúbicas singulares contêm menos linhas. Além disso, eles podem ser classificados pelo tipo de singularidade que surge em sua forma normal. Essas singularidades são classificadas usando diagramas Dynkin .

Classificação

Uma superfície cúbico singular normais em com coordenadas locais é dito ser em forma normal , se é dado por . Dependendo do tipo de singularidade que contém, ela é isomórfica à superfície projetiva dada por onde estão como na tabela abaixo. Isso significa que podemos obter uma classificação de todas as superfícies cúbicas singulares. Os parâmetros da tabela a seguir são os seguintes: são três elementos distintos de , os parâmetros estão em e são um elemento de . Observe que existem duas superfícies cúbicas singulares diferentes com singularidade . ${\ displaystyle X}$${\ displaystyle {\ textbf {P}} _ {\ mathbb {C}} ^ {3}}$${\ displaystyle [x_ {0}: x_ {1}: x_ {2}: x_ {3}]}$${\ displaystyle F = x_ {3} f_ {2} (x_ {0}, x_ {1}, x_ {2}) - f_ {3} (x_ {0}, x_ {1}, x_ {2}) = 0}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle {\ textbf {P}} ^ {3}}$${\ displaystyle F = x_ {3} f_ {2} (x_ {0}, x_ {1}, x_ {2}) - f_ {3} (x_ {0}, x_ {1}, x_ {2}) = 0}$${\ displaystyle f_ {2}, f_ {3}}$${\ displaystyle a, b, c}$${\ displaystyle \ mathbb {C} \ setminus \ {0,1 \}}$${\ displaystyle d, e}$${\ displaystyle \ mathbb {C} \ setminus \ {0, -1 \}}$${\ displaystyle u}$${\ displaystyle \ mathbb {C} \ setminus \ {0 \}}$${\ displaystyle D_ {4}}$

Classificação de superfícies cúbicas singulares por tipo de singularidade

Singularidade	${\ displaystyle f_ {2} (x_ {0}, x_ {1}, x_ {2})}$	${\ displaystyle f_ {3} (x_ {0}, x_ {1}, x_ {2})}$
${\ displaystyle A_ {1}}$	${\ displaystyle x_ {0} x_ {2} -x_ {1} ^ {2}}$	${\ displaystyle (x_ {0} -ax_ {1}) (- x_ {0} + (b + 1) x_ {1} -bx_ {2}) (x_ {1} -cx_ {2})}$
${\ displaystyle 2A_ {1}}$	${\ displaystyle x_ {0} x_ {2} -x_ {1} ^ {2}}$	${\ displaystyle (x_ {0} -2x_ {1} + x_ {2}) (x_ {0} -ax_ {1}) (x_ {1} -bx_ {2})}$
${\ displaystyle A_ {1} A_ {2}}$	${\ displaystyle x_ {0} x_ {2} -x_ {1} ^ {2}}$	${\ displaystyle (x_ {0} -x_ {1}) (- x_ {1} + x_ {2}) (x_ {0} - (a + 1) x_ {1} + ax_ {2})}$
${\ displaystyle 3A_ {1}}$	${\ displaystyle x_ {0} x_ {2} -x_ {1} ^ {2}}$	${\ displaystyle x_ {0} x_ {2} (x_ {0} - (a + 1) x_ {1} + ax_ {2})}$
${\ displaystyle A_ {1} A_ {3}}$	${\ displaystyle x_ {0} x_ {2} -x_ {1} ^ {2}}$	${\ displaystyle (x_ {0} -x_ {1}) (- x_ {1} + x_ {2}) (x_ {0} -2x_ {1} + x_ {2})}$
${\ displaystyle 2A_ {1} A_ {2}}$	${\ displaystyle x_ {0} x_ {2} -x_ {1} ^ {2}}$	${\ displaystyle x_ {1} ^ {2} (x_ {0} -x_ {2})}$
${\ displaystyle 4A_ {1}}$	${\ displaystyle x_ {0} x_ {2} -x_ {1} ^ {2}}$	${\ displaystyle (x_ {0} -x_ {1}) (x_ {1} -x_ {2}) x_ {1}}$
${\ displaystyle A_ {1} A_ {4}}$	${\ displaystyle x_ {0} x_ {2} -x_ {1} ^ {2}}$	${\ displaystyle x_ {0} ^ {2} x_ {1}}$
${\ displaystyle 2A_ {1} A_ {3}}$	${\ displaystyle x_ {0} x_ {2} -x_ {1} ^ {2}}$	${\ displaystyle x_ {0} x_ {1} ^ {2}}$
${\ displaystyle A_ {1} 2A_ {2}}$	${\ displaystyle x_ {0} x_ {2} -x_ {1} ^ {2}}$	${\ displaystyle x_ {1} ^ {3}}$
${\ displaystyle A_ {1} A_ {5}}$	${\ displaystyle x_ {0} x_ {2} -x_ {1} ^ {2}}$	${\ displaystyle x_ {0} ^ {3}}$
${\ displaystyle A_ {2}}$	${\ displaystyle x_ {0} x_ {1}}$	${\ displaystyle x_ {2} (x_ {0} + x_ {1} + x_ {2}) (dx_ {0} + ex_ {1} + dex_ {2})}$
${\ displaystyle 2A_ {2}}$	${\ displaystyle x_ {0} x_ {1}}$	${\ displaystyle x_ {2} (x_ {1} + x_ {2}) (- x_ {1} + dx_ {2})}$
${\ displaystyle 3A_ {2}}$	${\ displaystyle x_ {0} x_ {1}}$	${\ displaystyle x_ {2} ^ {3}}$
${\ displaystyle A_ {3}}$	${\ displaystyle x_ {0} x_ {1}}$	${\ displaystyle x_ {2} (x_ {0} + x_ {1} + x_ {2}) (x_ {0} -ux_ {1})}$
${\ displaystyle A_ {4}}$	${\ displaystyle x_ {0} x_ {1}}$	${\ displaystyle x_ {0} ^ {2} x_ {2} + x_ {1} ^ {3} -x_ {1} x_ {2} ^ {2}}$
${\ displaystyle A_ {5}}$	${\ displaystyle x_ {0} x_ {1}}$	${\ displaystyle x_ {0} ^ {3} + x_ {1} ^ {3} -x_ {1} x_ {2} ^ {2}}$
${\ displaystyle D_ {4} (1)}$	${\ displaystyle x_ {0} ^ {2}}$	${\ displaystyle x_ {1} ^ {3} + x_ {2} ^ {3}}$
${\ displaystyle D_ {4} (2)}$	${\ displaystyle x_ {0} ^ {2}}$	${\ displaystyle x_ {1} ^ {3} + x_ {2} ^ {3} + x_ {0} x_ {1} x_ {2}}$
${\ displaystyle D_ {5}}$	${\ displaystyle x_ {0} ^ {2}}$	${\ displaystyle x_ {0} x_ {2} ^ {2} + x_ {1} ^ {2} x_ {2}}$
${\ displaystyle E_ {6}}$	${\ displaystyle x_ {0} ^ {2}}$	${\ displaystyle x_ {0} x_ {2} ^ {2} + x_ {1} ^ {3}}$
${\ displaystyle {\ tilde {E}} _ {6}}$	${\ displaystyle 0}$	${\ displaystyle x_ {1} ^ {2} x_ {2} -x_ {0} (x_ {0} -x_ {2}) (x_ {0} -ax_ {2})}$

Na forma normal, sempre que uma superfície cúbica contém pelo menos uma singularidade, ela terá uma singularidade em . ${\ displaystyle X}$${\ displaystyle A_ {1}}$${\ displaystyle A_ {1}}$${\ displaystyle [0: 0: 0: 1]}$

Linhas em superfícies cúbicas singulares

De acordo com a classificação das superfícies cúbicas singulares, a tabela a seguir mostra o número de linhas que cada superfície contém.

Linhas em superfícies cúbicas singulares

Singularidade	${\ displaystyle A_ {1}}$	${\ displaystyle 2A_ {1}}$	${\ displaystyle A_ {1} A_ {2}}$	${\ displaystyle 3A_ {1}}$	${\ displaystyle A_ {1} A_ {3}}$	${\ displaystyle 2A_ {1} A_ {2}}$	${\ displaystyle 4A_ {1}}$	${\ displaystyle A_ {1} A_ {4}}$	${\ displaystyle 2A_ {1} A_ {3}}$	${\ displaystyle A_ {1} 2A_ {2}}$	${\ displaystyle A_ {1} A_ {5}}$	${\ displaystyle A_ {2}}$	${\ displaystyle 2A_ {2}}$	${\ displaystyle 3A_ {2}}$	${\ displaystyle A_ {3}}$	${\ displaystyle A_ {4}}$	${\ displaystyle A_ {5}}$	${\ displaystyle D_ {4}}$	${\ displaystyle D_ {5}}$	${\ displaystyle E_ {6}}$	${\ displaystyle {\ tilde {E}} _ {6}}$
No. de linhas	21	16	11	12	7	8	9	4	5	5	2	15	7	3	10	6	3	6	3	1	${\ displaystyle \ infty}$

Grupos de automorfismo de superfícies cúbicas singulares sem parâmetros

Um automorfismo de uma superfície cúbica singular normal é a restrição de um automorfismo do espaço projetivo a . Esses automorfismos preservam pontos singulares. Além disso, eles não permutam singularidades de diferentes tipos. Se a superfície contém duas singularidades do mesmo tipo, o automorfismo pode permutá-las. A coleção de automorfismos em uma superfície cúbica forma um grupo , o chamado grupo de automorfismos . A tabela a seguir mostra todos os grupos de automorfismo de superfícies cúbicas singulares sem parâmetros. ${\ displaystyle X}$ ${\ displaystyle {\ textbf {P}} ^ {3}}$${\ displaystyle X}$

Grupos de automorfismo de superfícies cúbicas singulares sem parâmetros

Singularidade	Grupo de automorfismo de ${\ displaystyle X}$
${\ displaystyle A_ {1} A_ {3}}$	${\ displaystyle \ mathbb {Z} / 2 \ mathbb {Z}}$
${\ displaystyle 2A_ {1} A_ {2}}$	${\ displaystyle \ mathbb {Z} / 2 \ mathbb {Z}}$
${\ displaystyle 4A_ {1}}$	${\ displaystyle \ Sigma _ {4}}$, o grupo simétrico de ordem${\ displaystyle 4!}$
${\ displaystyle A_ {1} A_ {4}}$	${\ displaystyle \ mathbb {C} ^ {\ times} = \ mathbb {C} \ setminus \ {0 \}}$
${\ displaystyle 2A_ {1} A_ {3}}$	${\ displaystyle \ mathbb {C} ^ {\ times} \ rtimes \ mathbb {Z} / 2 \ mathbb {Z}}$
${\ displaystyle A_ {1} 2A_ {2}}$	${\ displaystyle \ mathbb {C} ^ {\ times} \ rtimes \ mathbb {Z} / 2 \ mathbb {Z}}$
${\ displaystyle A_ {1} A_ {5}}$	${\ displaystyle \ mathbb {C} \ rtimes \ mathbb {C} ^ {\ times}}$
${\ displaystyle 3A_ {2}}$	${\ displaystyle (\ mathbb {C}) ^ {2} \ rtimes \ Sigma _ {3}}$
${\ displaystyle A_ {4}}$	${\ displaystyle \ mathbb {Z} / 4 \ mathbb {Z}}$
${\ displaystyle A_ {5}}$	${\ displaystyle (\ mathbb {C} \ rtimes \ mathbb {Z} / 3 \ mathbb {Z}) \ rtimes \ mathbb {Z} / 2 \ mathbb {Z}}$
${\ displaystyle D_ {4} (1)}$	${\ displaystyle \ mathbb {C} ^ {\ times} \ rtimes \ Sigma _ {3}}$
${\ displaystyle D_ {4} (2)}$	${\ displaystyle \ Sigma _ {3}}$
${\ displaystyle D_ {5}}$	${\ displaystyle \ mathbb {C} ^ {\ times}}$
${\ displaystyle E_ {6}}$	${\ displaystyle \ mathbb {C} \ rtimes \ mathbb {C} ^ {\ times}}$

Veja também

• Superfície algébrica
• Classificação de Enriques-Kodaira
• Variedade Fano
• Cálculo de Schubert

Notas

Referências

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links externos

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• O DVD Cubic Surfaces (54 animações de superfícies cúbicas, para download separadamente ou como um DVD)