Plano projetivo complexo - Complex projective plane

Em matemática , o plano projetivo complexo , normalmente denotado por P 2 ( C ), é o espaço projetivo complexo bidimensional . É uma variedade complexa de dimensão complexa 2, descrita por três coordenadas complexas

onde, no entanto, os triplos diferindo por um reescalonamento geral são identificados:

Ou seja, essas são coordenadas homogêneas no sentido tradicional da geometria projetiva .

Topologia

Os números de Betti do plano projetivo complexo são

1, 0, 1, 0, 1, 0, 0, .....

A dimensão média 2 é explicada pela classe de homologia da linha projetiva complexa, ou esfera de Riemann , situada no plano. Os grupos de homotopia não triviais do plano projetivo complexo são . O grupo fundamental é trivial e todos os outros grupos de homotopia superior são aqueles da esfera 5, isto é, torção.

Geometria algébrica

Na geometria birracional , uma superfície racional complexa é qualquer superfície algébrica birracionalmente equivalente ao plano projetivo complexo. É sabido que qualquer variedade racional não singular é obtida do plano por uma sequência de transformações de explosão e suas inversas ('explosão') de curvas, que devem ser de um tipo muito particular. Como um caso especial, uma quádrica complexa não singular em P 3 é obtida do plano explodindo dois pontos em curvas e, em seguida, soprando para baixo a linha através desses dois pontos; o inverso desta transformação pode ser visto, tendo um ponto P no quádrica Q , fundindo-o, e que se projecta para um plano geral em P 3 por linhas de desenho por meio de P .

O grupo dos automorfismos birracionais do plano projetivo complexo é o grupo Cremona .

Geometria diferencial

Como uma variedade Riemanniana, o plano projetivo complexo é uma variedade quadridimensional cuja curvatura seccional é reduzida a um quarto, mas não estritamente. Ou seja, ele atinge os dois limites e, portanto, evita ser uma esfera, como o teorema da esfera exigiria de outra forma. As normalizações rivais são para a curvatura ser comprimida entre 1/4 e 1; alternativamente, entre 1 e 4. Com relação à primeira normalização, a superfície embutida definida pela linha projetiva complexa tem curvatura gaussiana 1. Com relação à última normalização, o plano projetivo real embutido tem curvatura gaussiana 1.

Uma demonstração explícita dos tensores de Riemann e Ricci é dada na subseção n = 2 do artigo sobre a métrica Fubini-Study .

Veja também

Referências