Expressão de forma fechada - Closed-form expression

Em matemática , uma expressão de forma fechada é uma expressão matemática expressa usando um número finito de operações padrão. Pode conter constantes , variáveis , certos "conhecidas" operações (por exemplo, + - x ÷), e funções (por exemplo, n th raiz , expoente , logaritmo , funções trigonométricas , e inversos funções hiperbólicas ), mas normalmente sem limite , diferenciação ou integração . O conjunto de operações e funções admitidas em uma expressão de forma fechada pode variar com o autor e o contexto.

Exemplo: raízes de polinômios

As soluções de qualquer equação quadrática com coeficientes complexos podem ser expressas em forma fechada em termos de adição , subtração , multiplicação , divisão e extração de raiz quadrada , cada uma das quais é uma função elementar . Por exemplo, a equação quadrática

${\ displaystyle ax ^ {2} + bx + c = 0,}$

é tratável, pois suas soluções podem ser expressas como uma expressão de forma fechada, ou seja, em termos de funções elementares:

${\ displaystyle x = {\ frac {-b \ pm {\ sqrt {b ^ {2} -4ac}}} {2a}}.}$

Da mesma forma, soluções de equações cúbicas e quárticas (terceiro e quarto graus) podem ser expressas usando aritmética, raízes quadradas e raízes cúbicas ou, alternativamente, usando funções aritméticas e trigonométricas. No entanto, existem equações quínticas sem soluções de forma fechada usando funções elementares, como x ⁵  -  x  + 1 = 0.

Uma área de estudo em matemática conhecida amplamente como teoria de Galois envolve provar que nenhuma expressão de forma fechada existe em certos contextos, com base no exemplo central de soluções de forma fechada para polinômios.

Definições alternativas

Alterar a definição de "bem conhecido" para incluir funções adicionais pode alterar o conjunto de equações com soluções de forma fechada. Muitas funções de distribuição cumulativa não podem ser expressas de forma fechada, a menos que se considere funções especiais , como a função de erro ou a função gama, bem conhecidas. É possível resolver a equação quíntica se as funções hipergeométricas gerais forem incluídas, embora a solução seja muito complicada algebricamente para ser útil. Para muitas aplicações práticas de computador, é inteiramente razoável assumir que a função gama e outras funções especiais são bem conhecidas, uma vez que as implementações numéricas estão amplamente disponíveis.

Expressão analítica

Uma expressão analítica (ou expressão na forma analítica ) é uma expressão matemática construída usando operações bem conhecidas que se prestam prontamente ao cálculo. Semelhante às expressões de forma fechada, o conjunto de funções conhecidas permitidas pode variar de acordo com o contexto, mas sempre inclui as operações aritméticas básicas (adição, subtração, multiplicação e divisão), exponenciação para um expoente real (que inclui a extração de n raiz ), logaritmos e funções trigonométricas.

No entanto, a classe de expressões consideradas como expressões analíticas tende a ser mais ampla do que para expressões de forma fechada. Em particular, funções especiais como as funções de Bessel e a função gama são geralmente permitidas, e muitas vezes também são séries infinitas e frações contínuas . Por outro lado, limites em geral, e integrais em particular, são tipicamente excluídos.

Se uma expressão analítica envolve apenas as operações algébricas (adição, subtração, multiplicação, divisão e exponenciação para um expoente racional) e constantes racionais, então ela é mais especificamente referida como uma expressão algébrica .

Comparação de diferentes classes de expressões

Expressões de forma fechada são uma subclasse importante de expressões analíticas, que contêm um número limitado ou ilimitado de aplicativos de funções conhecidas. Ao contrário das expressões analíticas mais amplas, as expressões de forma fechada não incluem séries infinitas ou frações contínuas ; nenhum inclui integrais ou limites . De fato, pelo teorema de Stone-Weierstrass , qualquer função contínua no intervalo de unidade pode ser expressa como um limite de polinômios, então qualquer classe de funções contendo os polinômios e fechada sob limites incluirá necessariamente todas as funções contínuas.

Da mesma forma, uma equação ou sistema de equações é dito ter uma solução de forma fechada se, e somente se, pelo menos uma solução pode ser expressa como uma expressão de forma fechada; e diz-se que tem uma solução analítica se e somente se pelo menos uma solução pode ser expressa como uma expressão analítica. Há uma distinção sutil entre uma " função de forma fechada " e um " número de forma fechada " na discussão de uma "solução de forma fechada", discutida em ( Chow 1999 ) e abaixo . Uma forma fechada ou solução analítica é às vezes chamada de solução explícita .

Lidando com expressões não fechadas

Transformação em expressões de forma fechada

A expressão:

${\ displaystyle f (x) = \ sum _ {i = 0} ^ {\ infty} {x \ over 2 ^ {i}}}$

não está na forma fechada porque a soma envolve um número infinito de operações elementares. No entanto, ao somar uma série geométrica, essa expressão pode ser expressa na forma fechada:

${\ displaystyle f (x) = 2x.}$

Teoria diferencial de Galois

A integral de uma expressão de forma fechada pode ou não ser expressa como uma expressão de forma fechada. Este estudo é denominado teoria diferencial de Galois , por analogia com a teoria algébrica de Galois.

O teorema básico da teoria diferencial de Galois é devido a Joseph Liouville nas décadas de 1830 e 1840 e, portanto, referido como teorema de Liouville .

Um exemplo padrão de uma função elementar cuja antiderivada não tem uma expressão de forma fechada é:

${\ displaystyle e ^ {- x ^ {2}},}$

cuja única antiderivada é ( até uma constante multiplicativa) a função de erro :

${\ displaystyle \ operatorname {erf} (x) = {\ frac {2} {\ sqrt {\ pi}}} \ int _ {0} ^ {x} e ^ {- t ^ {2}} \, dt .}$

Modelagem matemática e simulação computacional

Equações ou sistemas muito complexos para soluções analíticas ou de forma fechada podem frequentemente ser analisados ​​por modelagem matemática e simulação de computador .

Número de formulário fechado

Três subcampos dos números complexos C foram sugeridos como codificadores da noção de um "número de forma fechada"; em ordem crescente de generalidade, estes são os números de Liouvillian (não devem ser confundidos com os números de Liouville no sentido de aproximação racional), números EL e números elementares . Os números de Liouvillian , denotados L , formam o menor subcampo algebraicamente fechado de C fechado sob exponenciação e logaritmo (formalmente, interseção de todos esses subcampos) - isto é, números que envolvem exponenciação explícita e logaritmos, mas permitem polinômios explícitos e implícitos (raízes de polinômios); isso é definido em ( Ritt 1948 , p. 60). L foi originalmente referido como números elementares , mas este termo agora é usado de forma mais ampla para se referir a números definidos explícita ou implicitamente em termos de operações algébricas, exponenciais e logaritmos. Uma definição mais restrita proposta em ( Chow 1999 , pp. 441-442), denotada E , e referida como números EL , é o menor subcampo de C fechado sob exponenciação e logaritmo - isso não precisa ser algebraicamente fechado e corresponde a algébrico explícito , operações exponenciais e logarítmicas. "EL" significa "exponencial-logarítmico" e uma abreviatura de "elementar".

O fato de um número ser um número de forma fechada está relacionado ao fato de um número ser transcendental . Formalmente, os números Liouvillianos e os números elementares contêm os números algébricos e incluem alguns, mas não todos os números transcendentais. Em contraste, os números EL não contêm todos os números algébricos, mas incluem alguns números transcendentais. Os números de forma fechada podem ser estudados por meio da teoria dos números transcendentais , em que um resultado principal é o teorema de Gelfond-Schneider , e uma grande questão em aberto é a conjectura de Schanuel .

Cálculos numéricos

Para fins de cálculos numéricos, estar na forma fechada geralmente não é necessário, pois muitos limites e integrais podem ser calculados com eficiência.

Conversão de formas numéricas

Existe um software que tenta encontrar expressões de forma fechada para valores numéricos, incluindo RIES, identificar em Maple e SymPy , Inversor de Plouffe e a Calculadora Simbólica Inversa .

Veja também

• Solução algébrica
• Operação finitária
• Solução numérica
• Simulação de computador
• Regressão simbólica
• Termo (lógica)
• Função Liouvilliana
• Função elementar

Referências

Leitura adicional

• Ritt, JF (1948), Integração em termos finitos
• Chow, Timothy Y. (maio de 1999), "What is a Closed-Form Number?", American Mathematical Monthly , 106 (5): 440–448, arXiv : math / 9805045 , doi : 10.2307 / 2589148 , JSTOR  2589148
• Jonathan M. Borwein e Richard E. Crandall (janeiro de 2013), "Closed Forms: What They Are and Why We Care", Notices of the American Mathematical Society , 60 (1): 50-65, doi : 10.1090 / noti936

links externos

• Weisstein, Eric W. "Solução de forma fechada" . MathWorld .