Esfera circunscrita - Circumscribed sphere
Na geometria , uma esfera circunscrita de um poliedro é uma esfera que contém o poliedro e toca cada um dos vértices do poliedro. A palavra circunsfera às vezes é usada para significar a mesma coisa, por analogia com o termo circuncidar . Tal como no caso de bidimensionais círculos circunscritos , o raio de uma esfera circunscrita em torno de um poliedro P é chamado o circumradius de P , e o ponto central desta esfera é chamado o circuncentro de P .
Existência e otimização
Quando existe, uma esfera circunscrita não precisa ser a menor esfera que contém o poliedro ; por exemplo, o tetraedro formado por um vértice de um cubo e seus três vizinhos tem a mesma circunsfera que o próprio cubo, mas pode estar contido em uma esfera menor com três vértices vizinhos em seu equador. No entanto, a menor esfera contendo um determinado poliedro é sempre a circunsfera do casco convexo de um subconjunto dos vértices do poliedro.
Em De solidorum elementis (cerca de 1630), René Descartes observou que, para um poliedro com uma esfera circunscrita, todas as faces têm círculos circunscritos, os círculos onde o plano da face encontra a esfera circunscrita. Descartes sugeriu que esta condição necessária para a existência de uma esfera circunscrita é suficiente, mas não é verdade: algumas bipiramidas , por exemplo, podem ter círculos circunscritos para suas faces (todos os quais são triângulos), mas ainda não têm esfera circunscrita para o poliedro inteiro. No entanto, sempre que um poliedro simples tem um círculo circunscrito para cada uma de suas faces, ele também tem uma esfera circunscrita.
Conceitos relacionados
A esfera circunscrita é o análogo tridimensional do círculo circunscrito . Todos os poliedros regulares têm esferas circunscritas, mas a maioria dos poliedros irregulares não tem uma, pois em geral nem todos os vértices estão em uma esfera comum. A esfera circunscrita (quando existe) é um exemplo de esfera delimitadora , uma esfera que contém uma determinada forma. É possível definir a menor esfera delimitadora para qualquer poliedro e computá-la em tempo linear .
Outras esferas definidas para alguns, mas não todos os poliedros, incluem uma esfera média , uma esfera tangente a todas as arestas de um poliedro e uma esfera inscrita , uma esfera tangente a todas as faces de um poliedro. No poliedro regular , a esfera inscrita, a esfera média e a esfera circunscrita existem e são concêntricas .
Quando a esfera circunscrita é o conjunto de pontos limites infinitos do espaço hiperbólico , um poliedro que ela circunscreve é conhecido como poliedro ideal .
Ponto na esfera circunscrita
Existem cinco poliedros regulares convexos , conhecidos como sólidos platônicos . Todos os sólidos platônicos têm esferas circunscritas. Para um ponto arbitrário na esfera circunscrita de cada sólido platônico com número de vértices , se são as distâncias aos vértices , então
