Cáustica (óptica) - Caustic (optics)

Na óptica , um cáustica ou rede cáustica é o envelope de raios de luz reflectidos ou refractados por uma superfície curvada ou objecto, ou a projecção de que o envelope de raios sobre uma outra superfície. A cáustica é uma curva ou superfície à qual cada um dos raios de luz tangencia , definindo a fronteira de um envelope de raios como uma curva de luz concentrada. Portanto, na foto à direita, os cáusticos podem ser vistos como manchas de luz ou suas bordas brilhantes. Essas formas costumam ter singularidades de cúspide .

Explicação

A concentração de luz, especialmente a luz solar , pode queimar. A palavra cáustica , de fato, vem do grego καυστός, queimado, via latim causticus , queimando. Uma situação comum em que as substâncias cáusticas são visíveis é quando a luz incide sobre um copo. O vidro lança uma sombra, mas também produz uma região curva de luz brilhante. Em circunstâncias ideais (incluindo raios perfeitamente paralelos, como se de uma fonte pontual no infinito), um pedaço de luz em forma de nefroide pode ser produzido. Os cáusticos ondulantes são comumente formados quando a luz brilha através de ondas em um corpo d'água.

Outra cáustica conhecida é o arco - íris . A dispersão da luz pelas gotas de chuva faz com que diferentes comprimentos de onda de luz sejam refratados em arcos de raios diferentes, produzindo o arco.

Gráficos de computador

Em computação gráfica, a maioria dos sistemas de renderização modernos oferece suporte a substâncias cáusticas. Alguns deles até suportam cáusticos volumétricos. Isso é realizado traçando os caminhos possíveis de um feixe de luz, levando em consideração a refração e a reflexão. O mapeamento de fótons é uma implementação disso. As cáusticas volumétricas também podem ser obtidas por rastreamento de caminho volumétrico . Alguns sistemas de computação gráfica funcionam por "traçado de raio direto", em que os fótons são modelados como vindos de uma fonte de luz e refletindo no ambiente de acordo com as regras. Os cáusticos são formados nas regiões onde fótons suficientes atingem uma superfície, fazendo com que ela seja mais brilhante do que a área média da cena. O “rastreamento de raio reverso” funciona de maneira reversa, começando na superfície e determinando se há um caminho direto para a fonte de luz. Alguns exemplos de cáusticos rastreados por raios 3D podem ser encontrados aqui .

O foco da maioria dos sistemas de computação gráfica é a estética, e não a precisão física . Isso é especialmente verdadeiro quando se trata de gráficos em tempo real em jogos de computador onde texturas genéricas pré-calculadas são usadas principalmente em vez de cálculos fisicamente corretos.

Engenharia cáustica

A engenharia cáustica descreve o processo de resolver o problema inverso da computação gráfica . Isto é, dada uma imagem específica, para determinar uma superfície cuja luz refratada ou refletida forma essa imagem.

Na versão discreta deste problema, a superfície é dividida em várias micro-superfícies que são consideradas lisas, ou seja, a luz refletida / refratada por cada micro-superfície forma uma cáustica gaussiana. Cáustica gaussiana significa que cada microssuperfície obedece à distribuição gaussiana . A posição e orientação de cada uma das micro-superfícies é então obtida usando uma combinação de integração de Poisson e recozimento simulado .

Tem havido muitas abordagens diferentes para lidar com o problema contínuo. Uma abordagem usa uma ideia da teoria do transporte chamada transporte ótimo para encontrar um mapeamento entre os raios de luz que chegam e a superfície do alvo. Depois de obter esse mapeamento, a superfície é otimizada, adaptando-a iterativamente usando a lei de refração de Snell.

Projeto de padrão cáustico baseado em transporte ideal

Principio básico

Controlar o padrão cáustico é um problema bastante desafiador, pois pequenas mudanças na superfície afetarão significativamente a qualidade do padrão, uma vez que as direções dos raios de luz podem sofrer interferência de outros raios de luz conforme eles se cruzam e se refratam através do material. Isso levará a um padrão disperso e descontínuo. Para lidar com esse problema, o transporte ideal é um dos métodos existentes propostos para controlar o padrão cáustico, redirecionando as direções da luz conforme ela se propaga através da superfície de um determinado material transparente . Isso é feito resolvendo um problema de otimização inversa com base no transporte ótimo . Dada uma imagem de referência de um objeto / padrão, o objetivo é formular a descrição matemática da superfície do material através da qual a luz refrata e converge para o padrão semelhante da imagem de referência. Isso é feito reorganizando / recomputando a intensidade da luz inicial até que o mínimo do problema de otimização seja alcançado.

Pipeline de design

Aqui, considerando apenas o cáustico refrativo, o objetivo pode ser determinado da seguinte forma (princípio semelhante para o cáustico reflexivo com saída diferente):

Entrada: imagem do padrão a ser obtida após a propagação das luzes pelo material, dada a posição da fonte de luz.

Saída: geometria cáustica no receptor (superfície sólida plana, por exemplo: piso, parede, etc ...)

A fim de atingir o padrão alvo, a superfície onde a luz refrata e sai para o ambiente externo deve ser fabricada em certa forma para atingir o padrão desejado no outro lado do material.

Conforme mencionado, dada uma imagem de entrada, esse processo produzirá o padrão cáustico semelhante ao da saída. Em princípio, existem dois estágios principais e cada um inclui dois subestágios:

• 

  Projeto cáustico baseado em transporte ideal
  Resolvendo o problema de transporte ideal
  1. Computar Distribuição de Luz Alvo
  2. Mapeamento computacional da distribuição inicial para a distribuição de destino
• Otimizando a superfície do alvo
  1. Calcular a representação normal da superfície
  2. Refinamento de Superfície

Resolvendo o problema de transporte ideal

Como a refração do caso ocorre através de uma superfície transparente, por exemplo, os padrões que aparecem sob a superfície da água límpida, 3 fenômenos principais podem ser observados:

• Pontos muito brilhantes (intensidade de luz condensada) (chamada de singularidade )
• Objetos semelhantes a curvas que conectam os pontos
• Regiões com baixa intensidade de luz

Para realizar o cálculo, as seguintes 3 quantidades estão sendo introduzidas respectivamente para descrever as características geométricas do padrão: singularidade do ponto (medindo a intensidade da luz em certo ponto de luz altamente concentrado), singularidade da curva (medindo a intensidade da luz em / em torno de uma curva de luz) , e medida de irradiância (medir a intensidade em uma certa área de luz pouco concentrada). Colocando-os juntos, a seguinte função define a medida de fluxo radiante total em uma determinada seção Ω na superfície alvo: ${\ displaystyle \ Phi _ {p}}$${\ displaystyle \ Phi _ {c}}$ ${\ displaystyle \ Phi _ {I}}$ ${\ displaystyle \ Phi _ {T}}$

${\ displaystyle \ Phi _ {T} (\ Omega) = \ textstyle \ sum _ {i = 1} ^ {N _ {\ delta}} \ Phi _ {p} ^ {i} (\ Omega) + \ sum _ {j = 1} ^ {N _ {\ gamma}} \ Phi _ {c} ^ {j} (\ Omega) + \ Phi _ {I} (\ Omega) \ displaystyle}$

Após esta etapa, existem duas medidas existentes das medidas de fluxo radiante da fonte (distribuição uniforme, por inicialização) e do alvo (calculado na etapa anterior). O que falta computar é o mapeamento da origem ao destino. Para fazer isso, existem várias quantidades a serem definidas. Primeiramente, duas intensidades de luz avaliadas por probabilidades: (intensidade de luz avaliada dividindo pelo fluxo da região de união entre e ), (intensidade de luz avaliada dividindo pelo fluxo da região de união entre e ) são definidas. Em segundo lugar, a malha de origem é gerada como vários locais , que mais tarde são deformados. Em seguida, um diagrama de potência (um conjunto de células de potência) é definido neste conjunto de sites ponderados por um vetor de peso . Finalmente, o objetivo é decidir se quais células de energia serão movidas. Considerando todos os vértices na superfície, encontrar o minimizador da seguinte função convexa produzirá o diagrama de potência correspondente para o alvo: ${\ displaystyle \ Phi _ {S}}$${\ displaystyle \ Phi _ {T}}$${\ displaystyle \ mu _ {S}}$${\ displaystyle \ Phi _ {S}}$${\ displaystyle \ Phi _ {S}}$${\ displaystyle \ Phi _ {T}}$${\ displaystyle \ mu _ {T}}$${\ displaystyle \ Phi _ {T}}$${\ displaystyle \ Phi _ {S}}$${\ displaystyle \ Phi _ {T}}$${\ displaystyle s_ {i} \ in (\ Phi _ {S} \ cup \ Phi _ {T})}$ ${\ displaystyle P_ {w}}$${\ displaystyle C_ {i} ^ {w}}$${\ displaystyle s_ {i}}$${\ displaystyle \ omega}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle \ omega _ {min}}$

${\ displaystyle f (\ omega) = \ sum _ {s_ {i} \ in S} (\ omega _ {i}. \ mu _ {S} (C_ {i} ^ {0}) - \ int \ limites _ {C_ {i} ^ {\ omega}} (\ | x-s_ {i} \ | ^ {2} - \ omega _ {i}) d \ mu _ {T} (x))}$

Otimizando a superfície do alvo

Após resolver o problema de transporte ideal, os vértices são alcançados. No entanto, isso não fornece informações sobre a aparência da superfície final. Para atingir a superfície alvo desejada, dado o raio de luz de entrada , raio de luz de saída e diagrama de potência da etapa acima, a representação dos normais de superfície pode ser calculada de acordo com a lei de Snell como: ${\ displaystyle d_ {I}}$${\ displaystyle d_ {O}}$

${\ displaystyle n = d_ {I} + {\ eta x \ over \ lVert d_ {I} + \ eta d_ {T} \ rVert} = d_ {I} + {\ eta x \ over \ lVert d_ {I} + \ eta {(x_ {R} -x) \ over || x_ {R} -x ||} \ rVert}}$

Onde,

${\ displaystyle \ eta}$: coeficiente de refração

${\ displaystyle x_ {R}}$: posição alvo obtida a partir da resolução do problema de transporte ideal acima

Conforme a representação normal é obtida, o refinamento da superfície é então alcançado minimizando a seguinte função de energia composta :

${\ displaystyle {\ underset {x} {\ operatorname {arg \, max}}} \, \ omega \, \ cdot [E_ {int}, \, E_ {dir}, \, E_ {fluxo}, \, E_ {reg}, \, E_ {bar}]}$

Onde,

${\ displaystyle E_ {int} = \ sum _ {v \ in M_ {T}} \ lVert n_ {o} -n \ rVert _ {2} ^ {2}}$é a energia de integração que alinha as normais do vértice obtidas a partir do Transporte Ótimo com as normais do alvo obtidas a partir do cálculo da lei de Snell acima.${\ displaystyle n_ {o}}$${\ displaystyle n}$

${\ displaystyle E_ {dir} = \ sum _ {v \ in M_ {T}} \ lVert x - {\ textbf {proj}} _ {(x_ {S}, \, d_ {I})} (x) \ rVert _ {2} ^ {2}}$ como a malha gerada na etapa Resolvendo o Transporte Ótimo não pode se adaptar às instâncias agudas das descontinuidades, esta energia penaliza os vértices para não mudarem significativamente do raio de luz que entra.

${\ displaystyle E_ {flux} = \ sum _ {t \ in M_ {T}} \ lVert \ Phi _ {T} (t) - \ Phi _ {S} (t_ {s}) \ rVert _ {2} ^ {2}}$é a energia que mede o fluxo sobre o triângulo na malha.${\ displaystyle t}$

${\ displaystyle E_ {reg} = \ lVert {\ textbf {L}} {\ textbf {X}} \ rVert _ {2} ^ {2}}$ é a energia que regulariza a forma dos triângulos para manter sua boa forma.

${\ displaystyle E_ {bar} = \ sum _ {v \ in M_ {T}} \ lVert max (0, -log ((1-n_ {R}. (x-x_ {R})) + d_ {TH }) \ rVert ^ {2}}$é a energia de barreira para garantir que a superfície não se deforme além de um certo limite de distância .${\ displaystyle d_ {TH}}$

Design de padrão cáustico de renderização inversa diferenciável

Principio básico

Gráficos inversos são um método de observar os dados de uma imagem e inferir todas as propriedades possíveis, incluindo geometria 3D, iluminação, materiais e movimento para gerar uma imagem realista. Na computação gráfica convencional, para renderizar uma imagem com a aparência e os efeitos desejados, são fornecidas todas as propriedades / características relevantes. Isso pode ser descrito como o método direto. Ao contrário, no design cáustico, as propriedades e características dos objetos (especialmente a superfície do material) não são triviais. A restrição fornecida é a imagem de destino a ser obtida. Portanto, o objetivo é obter suas propriedades e características observando e inferindo a imagem-alvo. Isso pode ser considerado o método inverso / retrógrado.

A seguir está a função de perda básica que explica como otimizar os parâmetros:

${\ displaystyle L (c) = \ lVert f (c) -I \ rVert ^ {2}}$

Onde,

L ( c ) : função de perda, erro quadrático médio da imagem renderizada e o alvo

c : contém elementos que podem influenciar a imagem gerada

I : imagem alvo

Pipeline projetado

A princípio, o padrão de destino é projetado e o passe para frente calculado para obter o padrão sintético. É comparado ao padrão de destino e obtém a perda. A objeção é permitir que o padrão sintético seja o mais semelhante possível ao padrão-alvo. Em seguida, faça a propagação reversa para obter as propriedades otimizadas necessárias para uso na fabricação de produtos cáusticos.

Elementos que contribuem para a imagem gerada

• Aparência ( ): a aparência da superfície por pixel é modelada como produto da textura mapeada em mip e brilho por pixel.${\ displaystyle A}$
• Geometria ( ): assume uma cena 3D a ser aproximada por triângulos, parametrizada por vértices .${\ displaystyle V}$${\ displaystyle V}$
• Câmera ( ): distância focal, ponto de vista, centro da câmera.${\ displaystyle C}$

Pode haver mais elementos, por exemplo, albedo e coeficiente de refração .

Estrutura geral diferenciável

Apresente U como uma variável intermediária que indica as posições das coordenadas do vértice projetadas em 2D. O gradiente dessas propriedades pode ser derivado indiretamente pela regra da cadeia.

${\ displaystyle {\ frac {\ parcial f} {\ parcial V}} = {\ frac {\ parcial f} {\ parcial U}} \ vezes {\ frac {\ parcial U} {\ parcial V}}}$

${\ displaystyle {\ frac {\ parcial f} {\ parcial V}} = {\ frac {\ parcial f} {\ parcial A}} \ vezes {\ frac {\ parcial A} {\ parcial V}}}$

${\ displaystyle {\ frac {\ parcial f} {\ parcial C}} = {\ frac {\ parcial f} {\ parcial U}} \ vezes {\ frac {\ parcial U} {\ parcial C}}}$

Após a aplicação do gradiente descendente estocástico , a óptima , e poderia ser alcançado. Posteriormente, essas quantidades são usadas para esculpir ou moer o material para gerar o padrão de destino. ${\ displaystyle A}$${\ displaystyle V}$${\ displaystyle C}$

Implementação

Uma abordagem comum é utilizar a capacidade de executar operações diferenciais em vários aprendizagem profunda auto-diferenciação frameworks / bibliotecas, tais como: Tensorflow , PyTorch , Theano .

Outra abordagem é fazer uso da estrutura OpenDR para construir um modelo gráfico progressivo e obter derivadas automaticamente em relação aos parâmetros do modelo para otimização. Conforme as propriedades de otimização são obtidas, a imagem alvo pode ser gerada. OpenDR fornece um método de otimização local que pode ser incorporado em estruturas de programação probabilísticas. Isso pode ser usado para resolver o problema da cáustica.

Manufatura

Uma vez que o padrão cáustico foi projetado computacionalmente, os dados processados ​​serão então enviados para o estágio de fabricação para obtenção do produto final. A abordagem mais comum é a manufatura subtrativa ( usinagem ).

Vários materiais podem ser usados ​​dependendo da qualidade desejada, do esforço de fabricação e do método de fabricação disponível.

• Materiais refrativos comuns: acrílico , policarbonato , polietileno , vidro , diamante
• Materiais reflexivos comuns: aço , ferro , alumínio , ouro , prata , titânio , níquel

O design de padrão cáustico tem muitas aplicações no mundo real, por exemplo em:

• Luminárias
• Joalheria
• Arquitetura
• Produção de vidro decorativo

Veja também

• Foco (ótica)
• Círculo de confusão
• Cáustica (matemática)

Referências

• Born, Max ; Wolf, Emil (1999). Princípios de Óptica: Teoria Eletromagnética de Propagação, Interferência e Difração de Luz (7ª ed.). Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-64222-4.
• Nye, John (1999).Foco natural e estrutura fina de luz: cáusticos e luxações de ondas. CRC Press. ISBN 978-0-7503-0610-2.

Leitura adicional

• Ferraro, Pietro (1996). "Que cáustico!". O professor de física . 34 (9): 572–573. Bibcode : 1996PhTea..34..572F . doi : 10.1119 / 1.2344572 .
• Dachsbacher, Carsten; Liktor, Gábor (fevereiro de 2011). "Cáusticas de volume em tempo real com rastreamento de feixe adaptável". Simpósio sobre jogos e gráficos 3D interativos . ACM: 47–54.