Equação de Binet - Binet equation

A equação de Binet , derivada de Jacques Philippe Marie Binet , fornece a forma de uma força central dada a forma do movimento orbital em coordenadas polares planas . A equação também pode ser usada para derivar a forma da órbita para uma dada lei de força, mas isso geralmente envolve a solução de uma equação diferencial ordinária não linear de segunda ordem . Uma solução única é impossível no caso de movimento circular em torno do centro de força.

Equação

A forma de uma órbita é frequentemente descrita convenientemente em termos de distância relativa em função do ângulo . Para a equação de Binet, a forma orbital é mais concisamente descrita pelo recíproco como uma função de . Defina o momento angular específico como onde é o momento angular e é a massa. A equação de Binet, derivada na próxima seção, dá a força em termos da função : ${\ displaystyle r}$ ${\ displaystyle \ theta}$ ${\ displaystyle u = 1 / r}$ ${\ displaystyle \ theta}$ ${\ displaystyle h = L / m}$ ${\ displaystyle L}$ ${\ displaystyle m}$ ${\ displaystyle u (\ theta)}$

{\ displaystyle F ({u} ^ {- 1}) = - mh ^ {2} u ^ {2} \ left ({\ frac {\ mathrm {d} ^ {2} u} {\ mathrm {d} \ theta ^ {2}}} + u \ direita).}

Derivação

A Segunda Lei de Newton para uma força puramente central é

{\ displaystyle F (r) = m ({\ ddot {r}} - r {\ ponto {\ theta}} ^ {2}).}

A conservação do momento angular requer que

{\ displaystyle r ^ {2} {\ dot {\ theta}} = h = {\ text {constant}}.}

Derivados em relação ao tempo podem ser reescritos como derivados em relação ao ângulo: ${\ displaystyle r}$ ${\ displaystyle u = 1 / r}$

{\ displaystyle {\ begin {alinhado} & {\ frac {\ mathrm {d} u} {\ mathrm {d} \ theta}} = {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t} } \ left ({\ frac {1} {r}} \ right) {\ frac {\ mathrm {d} t} {\ mathrm {d} \ theta}} = - {\ frac {\ dot {r}} {r ^ {2} {\ dot {\ theta}}}} = - {\ frac {\ dot {r}} {h}} \\ & {\ frac {\ mathrm {d} ^ {2} u} {\ mathrm {d} \ theta ^ {2}}} = - {\ frac {1} {h}} {\ frac {\ mathrm {d} {\ dot {r}}} {\ mathrm {d} t }} {\ frac {\ mathrm {d} t} {\ mathrm {d} \ theta}} = - {\ frac {\ ddot {r}} {h {\ dot {\ theta}}}} = - { \ frac {\ ddot {r}} {h ^ {2} u ^ {2}}} \\\ end {alinhado}}}

Combinando todos os itens acima, chegamos a

{\ displaystyle F = m ({\ ddot {r}} - r {\ dot {\ theta}} ^ {2}) = - m \ left (h ^ {2} u ^ {2} {\ frac {\ mathrm {d} ^ {2} u} {\ mathrm {d} \ theta ^ {2}}} + h ^ {2} u ^ {3} \ right) = - mh ^ {2} u ^ {2} \ left ({\ frac {\ mathrm {d} ^ {2} u} {\ mathrm {d} \ theta ^ {2}}} + u \ right)}

A solução geral é

${\ displaystyle \ mathrm {\ theta = \ int _ {r_ {0}} ^ {r} {\ frac {dr} {r ^ {2} {\ sqrt {{\ frac {2m} {L ^ {2} }} (EV) - {\ frac {1} {r ^ {2}}}}}}}} + \ theta _ {0}}$ onde é a coordenada inicial da partícula. ${\ displaystyle \ mathrm {(r_ {0}, \ theta _ {0})}}$

Exemplos

Problema Kepler

Clássico

O problema tradicional de Kepler de calcular a órbita de uma lei do inverso do quadrado pode ser lido na equação de Binet como a solução para a equação diferencial

{\ displaystyle -ku ^ {2} = - mh ^ {2} u ^ {2} \ left ({\ frac {\ mathrm {d} ^ {2} u} {\ mathrm {d} \ theta ^ {2 }}} + u \ direita)}

{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} ^ {2} u} {\ mathrm {d} \ theta ^ {2}}} + u = {\ frac {k} {mh ^ {2}}} \ equiv {\ text {constant}}> 0.}

Se o ângulo for medido a partir do periapsia , a solução geral para a órbita expressa em coordenadas polares (recíprocas) é ${\ displaystyle \ theta}$

{\ displaystyle lu = 1 + \ varepsilon \ cos \ theta.}

A equação polar acima descreve seções cônicas , com o reto semi-latus (igual a ) e a excentricidade orbital . ${\ displaystyle l}$ ${\ displaystyle h ^ {2} / \ mu = h ^ {2} m / k}$ ${\ displaystyle \ varepsilon}$

Relativista

A equação relativística derivada para as coordenadas de Schwarzschild é

{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} ^ {2} u} {\ mathrm {d} \ theta ^ {2}}} + u = {\ frac {r_ {s} c ^ {2}} { 2h ^ {2}}} + {\ frac {3r_ {s}} {2}} u ^ {2}}

onde é a velocidade da luz e é o raio de Schwarzschild . E para a métrica Reissner-Nordström , obteremos ${\ displaystyle c}$ ${\ displaystyle r_ {s}}$

{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} ^ {2} u} {\ mathrm {d} \ theta ^ {2}}} + u = {\ frac {r_ {s} c ^ {2}} { 2h ^ {2}}} + {\ frac {3r_ {s}} {2}} u ^ {2} - {\ frac {GQ ^ {2}} {4 \ pi \ varepsilon _ {0} c ^ { 4}}} \ left ({\ frac {c ^ {2}} {h ^ {2}}} u + 2u ^ {3} \ right)}

onde está a carga elétrica e é a permissividade do vácuo . ${\ displaystyle Q}$ ${\ displaystyle \ varepsilon _ {0}}$

Problema de Kepler inverso

Considere o problema do Kepler inverso. Que tipo de lei de força produz uma órbita elíptica não circular (ou mais geralmente uma seção cônica não circular ) em torno de um foco da elipse ?

Diferenciar duas vezes a equação polar acima para uma elipse dá

{\ displaystyle l \, {\ frac {\ mathrm {d} ^ {2} u} {\ mathrm {d} \ theta ^ {2}}} = - \ varejpsilon \ cos \ theta.}

A lei da força é, portanto,

{\ displaystyle F = -mh ^ {2} u ^ {2} \ left ({\ frac {- \ varejpsilon \ cos \ theta} {l}} + {\ frac {1+ \ varejpsilon \ cos \ theta} { l}} \ direita) = - {\ frac {mh ^ {2} u ^ {2}} {l}} = - {\ frac {mh ^ {2}} {lr ^ {2}}},}

que é a lei do inverso do quadrado antecipada. Combinar o orbital com os valores físicos como ou reproduz a lei da gravitação universal de Newton ou a lei de Coulomb , respectivamente. ${\ displaystyle h ^ {2} / l = \ mu}$ ${\ displaystyle GM}$ ${\ displaystyle k_ {e} q_ {1} q_ {2} / m}$

A força efetiva para as coordenadas de Schwarzschild é

{\ displaystyle F = -GMmu ^ {2} \ left (1 + 3 \ left ({\ frac {hu} {c}} \ right) ^ {2} \ right) = - {\ frac {GMm} {r ^ {2}}} \ left (1 + 3 \ left ({\ frac {h} {rc}} \ right) ^ {2} \ right)}

.

onde o segundo termo é uma força quártica inversa correspondente a efeitos quadrupolo, como o deslocamento angular do periapsia (também pode ser obtido por meio de potenciais retardados).

No formalismo pós-newtoniano parametrizado obteremos

{\ displaystyle F = - {\ frac {GMm} {r ^ {2}}} \ left (1+ (2 + 2 \ gamma - \ beta) \ left ({\ frac {h} {rc}} \ right ) ^ {2} \ right)}

.

onde para a relatividade geral e no caso clássico. ${\ displaystyle \ gamma = \ beta = 1}$ ${\ displaystyle \ gamma = \ beta = 0}$

Cotes espirais

Uma lei de força inversa do cubo tem a forma

{\ displaystyle F (r) = - {\ frac {k} {r ^ {3}}}.}

As formas das órbitas de uma lei do cubo inverso são conhecidas como espirais de Cotes . A equação de Binet mostra que as órbitas devem ser soluções para a equação

{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} ^ {2} u} {\ mathrm {d} \ theta ^ {2}}} + u = {\ frac {ku} {mh ^ {2}}} = Cu.}

A equação diferencial tem três tipos de soluções, em analogia às diferentes seções cônicas do problema de Kepler. Quando , a solução é a epispira , inclusive no caso patológico de linha reta quando . Quando , a solução é a espiral hiperbólica . Quando a solução é a espiral de Poinsot . ${\ displaystyle C <1}$ ${\ displaystyle C = 0}$ ${\ displaystyle C = 1}$ ${\ displaystyle C> 1}$

Movimento circular fora do eixo

Embora a equação de Binet falhe em fornecer uma lei de força única para o movimento circular em torno do centro de força, a equação pode fornecer uma lei de força quando o centro do círculo e o centro de força não coincidem. Considere, por exemplo, uma órbita circular que passa diretamente pelo centro de força. Uma equação polar (recíproca) para tal órbita circular de diâmetro é ${\ displaystyle D}$

{\ displaystyle D \, u (\ theta) = \ sec \ theta.}

Diferenciar duas vezes e fazer uso da identidade pitagórica dá ${\ displaystyle u}$

{\ displaystyle D \, {\ frac {\ mathrm {d} ^ {2} u} {\ mathrm {d} \ theta ^ {2}}} = \ sec \ theta \ tan ^ {2} \ theta + \ sec ^ {3} \ theta = \ sec \ theta (\ sec ^ {2} \ theta -1) + \ sec ^ {3} \ theta = 2D ^ {3} u ^ {3} -D \, u. }

A lei da força é assim

{\ displaystyle F = -mh ^ {2} u ^ {2} \ left (2D ^ {2} u ^ {3} -u + u \ right) = - 2mh ^ {2} D ^ {2} u ^ {5} = - {\ frac {2mh ^ {2} D ^ {2}} {r ^ {5}}}.}

Observe que resolver o problema inverso geral, ou seja, construir as órbitas de uma lei de força atrativa , é um problema consideravelmente mais difícil porque é equivalente a resolver ${\ displaystyle 1 / r ^ {5}}$

{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} ^ {2} u} {\ mathrm {d} \ theta ^ {2}}} + u = Cu ^ {3}}

que é uma equação diferencial não linear de segunda ordem.

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