Lei de Coulomb - Coulomb's law

A lei de Coulomb , ou lei do inverso do quadrado de Coulomb , é uma lei experimental da física que quantifica a quantidade de força entre duas partículas estacionárias eletricamente carregadas . A força elétrica entre corpos carregados em repouso é convencionalmente chamada de força eletrostática ou força de Coulomb . Embora a lei fosse conhecida antes, ela foi publicada pela primeira vez em 1785 pelo físico francês Charles-Augustin de Coulomb , daí o nome. A lei de Coulomb foi essencial para o desenvolvimento da teoria do eletromagnetismo , talvez até seu ponto de partida, pois tornou possível discutir a quantidade de carga elétrica de uma forma significativa.

A lei estabelece que a magnitude da força eletrostática de atração ou repulsão entre duas cargas pontuais é diretamente proporcional ao produto das magnitudes das cargas e inversamente proporcional ao quadrado da distância entre elas,

${\ displaystyle | F | = K {\ frac {| q_ {1} q_ {2} |} {r ^ {2}}}}$

Aqui, K ou k _e é a constante de Coulomb ( k _e ≈8,988 × 10 ⁹  N⋅m ² ⋅C ⁻² ), q ₁ e q ₂ são as magnitudes sinalizadas das cargas, e o escalar r é a distância entre as cargas.

A força está ao longo da linha reta que une as duas cargas. Se as cargas têm o mesmo sinal, a força eletrostática entre elas é repulsiva; se eles têm sinais diferentes, a força entre eles é atraente.

Sendo uma lei do quadrado inverso , a lei é análoga à lei do quadrado inverso da gravitação universal de Isaac Newton , mas as forças gravitacionais são sempre atrativas, enquanto as forças eletrostáticas podem ser atrativas ou repulsivas. A lei de Coulomb pode ser usada para derivar a lei de Gauss e vice-versa. No caso de uma única carga pontual estacionária, as duas leis são equivalentes, expressando a mesma lei física de maneiras diferentes. A lei foi testada extensivamente e as observações confirmaram a lei na escala de 10 ⁻¹⁶ ma 10 ⁸ m.

História

As culturas antigas ao redor do Mediterrâneo sabiam que certos objetos, como hastes de âmbar , podiam ser esfregados com pêlo de gato para atrair objetos leves como penas e papéis. Tales de Mileto fez a primeira descrição registrada de eletricidade estática por volta de 600 aC, quando percebeu que a fricção poderia tornar um pedaço de âmbar magnético.

Em 1600, o cientista inglês William Gilbert fez um estudo cuidadoso da eletricidade e do magnetismo, distinguindo o efeito magnetita da eletricidade estática produzida pela fricção do âmbar. Ele cunhou a nova palavra latina electricus ("de âmbar" ou "como âmbar", de ἤλεκτρον [ elektron ], a palavra grega para "âmbar") para se referir à propriedade de atrair pequenos objetos após serem esfregados. Esta associação deu origem às palavras inglesas "elétricos" e "eletricidade", que fez sua primeira aparição na imprensa em Thomas Browne 's Pseudodoxia Epidemica de 1646.

Os primeiros investigadores do século 18 que suspeitaram que a força elétrica diminuía com a distância como a força da gravidade (ou seja, como o quadrado inverso da distância) incluíam Daniel Bernoulli e Alessandro Volta , ambos medindo a força entre as placas de um capacitor e Franz Aepinus que supôs a lei do inverso do quadrado em 1758.

Com base em experimentos com esferas eletricamente carregadas , Joseph Priestley, da Inglaterra, foi um dos primeiros a propor que a força elétrica seguia uma lei do inverso do quadrado , semelhante à lei da gravitação universal de Newton . No entanto, ele não generalizou ou elaborou sobre isso. Em 1767, ele conjeturou que a força entre as cargas variava como o inverso do quadrado da distância.

Em 1769, o físico escocês John Robison anunciou que, de acordo com suas medições, a força de repulsão entre duas esferas com cargas do mesmo sinal variava em x ^-2,06 .

No início da década de 1770, a dependência da força entre os corpos carregados em relação à distância e à carga já havia sido descoberta, mas não publicada, por Henry Cavendish da Inglaterra.

Finalmente, em 1785, o físico francês Charles-Augustin de Coulomb publicou seus três primeiros relatórios sobre eletricidade e magnetismo, onde ele declarou sua lei. Esta publicação foi essencial para o desenvolvimento da teoria do eletromagnetismo . Ele usou uma balança de torção para estudar as forças de repulsão e atração de partículas carregadas e determinou que a magnitude da força elétrica entre duas cargas pontuais é diretamente proporcional ao produto das cargas e inversamente proporcional ao quadrado da distância entre elas.

A balança de torção consiste em uma barra suspensa em seu meio por uma fibra fina. A fibra atua como uma mola de torção muito fraca . No experimento de Coulomb, a balança de torção era uma haste isolante com uma bola revestida de metal presa a uma extremidade, suspensa por um fio de seda . A bola foi carregada com uma carga conhecida de eletricidade estática , e uma segunda bola carregada da mesma polaridade foi trazida para perto dela. As duas bolas carregadas se repeliam, torcendo a fibra em um determinado ângulo, que podia ser lido em uma escala do instrumento . Ao saber quanta força era necessária para torcer a fibra em um determinado ângulo, Coulomb foi capaz de calcular a força entre as bolas e derivar sua lei de proporcionalidade do inverso do quadrado.

Forma escalar da lei

A lei de Coulomb pode ser definida como uma expressão matemática simples. A forma escalar fornece a magnitude do vetor da força eletrostática F entre duas cargas pontuais q ₁ e q ₂ , mas não sua direção. Se r é a distância entre as cargas, a magnitude da força é

${\ displaystyle | \ mathbf {F} | = k _ {\ text {e}} {\ frac {| q_ {1} q_ {2} |} {r ^ {2}}}}$

A constante k _e é chamada de constante de Coulomb e é igual a1/4πε ₀, onde ε ₀ é a constante elétrica ; k _e =8,988 × 10 ⁹  N⋅m ² ⋅C ⁻² . Se o produto q ₁ q ₂ for positivo, a força entre as duas cargas é repulsiva; se o produto for negativo, a força entre eles é atrativa.

Forma vetorial da lei

A lei de Coulomb em forma vetorial afirma que a força eletrostática experimentada por uma carga, na posição , na vizinhança de outra carga, na posição , no vácuo é igual a ${\ textstyle \ mathbf {F} _ {1}}$${\ displaystyle q_ {1}}$${\ displaystyle \ mathbf {r} _ {1}}$${\ displaystyle q_ {2}}$${\ displaystyle \ mathbf {r} _ {2}}$

${\ displaystyle \ mathbf {F} _ {1} = {\ frac {q_ {1} q_ {2}} {4 \ pi \ varepsilon _ {0}}} {\ frac {\ mathbf {r} _ {1 } - \ mathbf {r} _ {2}} {| \ mathbf {r} _ {1} - \ mathbf {r} _ {2} | ^ {3}}} = {\ frac {q_ {1} q_ {2}} {4 \ pi \ varepsilon _ {0}}} {\ frac {\ mathbf {\ hat {r}} _ {12}} {| \ mathbf {r} _ {12} | ^ {2} }}}$

onde representa a distância vectorial entre as cargas, um apontador unidade de vector a partir de , e a constante eléctrico . ${\ textstyle {\ boldsymbol {r}} _ {12} = {\ boldsymbol {r}} _ {1} - {\ boldsymbol {r}} _ {2}}$${\ textstyle {\ widehat {\ mathbf {r}}} _ {12} = {\ frac {\ mathbf {r} _ {12}} {| \ mathbf {r} _ {12} |}}}$${\ textstyle q_ {2}}$${\ textstyle q_ {1}}$${\ displaystyle \ varepsilon _ {0}}$

A forma vetorial da lei de Coulomb é simplesmente a definição escalar da lei com a direção dada pelo vetor unitário , , paralela com a linha de carga para carga . Se ambas as cargas têm o mesmo sinal (como cargas), então o produto é positivo e a direção da força sobre é dada por ; as cargas se repelem. Se as cargas têm sinais opostos, então o produto é negativo e a direção da força sobre é ; as cargas se atraem. ${\ textstyle {\ widehat {\ mathbf {r}}} _ {12}}$${\ displaystyle q_ {2}}$ ${\ displaystyle q_ {1}}$ ${\ displaystyle q_ {1} q_ {2}}$${\ displaystyle q_ {1}}$${\ textstyle {\ widehat {\ mathbf {r}}} _ {12}}$${\ displaystyle q_ {1} q_ {2}}$${\ displaystyle q_ {1}}$${\ textstyle - {\ hat {\ mathbf {r}}} _ {12}}$

A força eletrostática experimentada por , de acordo com a terceira lei de Newton , é .${\ textstyle \ mathbf {F} _ {2}}$${\ displaystyle q_ {2}}$${\ textstyle \ mathbf {F} _ {2} = - \ mathbf {F} _ {1}}$

Sistema de cargas discretas

A lei da sobreposição permite que a lei de Coulomb seja estendida para incluir qualquer número de cargas pontuais. A força agindo em uma carga pontual devido a um sistema de cargas pontuais é simplesmente a adição vetorial das forças individuais agindo sozinhas naquela carga pontual devido a cada uma das cargas. O vetor de força resultante é paralelo ao vetor de campo elétrico naquele ponto, com aquela carga pontual removida.

Força em uma pequena carga na posição , devido a um sistema de cargas discretas no vácuo é ${\ textstyle \ mathbf {F}}$${\ displaystyle q}$${\ textstyle \ mathbf {r}}$${\ textstyle N}$

${\ displaystyle \ mathbf {F} (\ mathbf {r}) = {q \ over 4 \ pi \ varejpsilon _ {0}} \ sum _ {i = 1} ^ {N} q_ {i} {\ frac { \ mathbf {r} - \ vare mathbf {r} _ {i}} {| \ mathbf {r} - \ mathbf {r} _ {i} | ^ {3}}} = {q \ over 4 \ pi \psilon _ {0}} \ sum _ {i = 1} ^ {N} q_ {i} {{\ hat {\ mathbf {R}}} _ {i} \ over | \ mathbf {R} _ {i} | ^ {2}}}$,

onde e são a magnitude e a posição respectivamente da i- ésima carga, é um vetor unitário na direção de , um vetor que aponta das cargas para . ${\ displaystyle q_ {i}}$${\ textstyle \ mathbf {r} _ {i}}$${\ textstyle {\ hat {\ mathbf {R}}} _ {i}}$${\ textstyle \ mathbf {R} _ {i} = \ mathbf {r} - \ mathbf {r} _ {i}}$${\ displaystyle q_ {i}}$${\ displaystyle q}$

Distribuição contínua de carga

Neste caso, o princípio da superposição linear também é usado. Para uma distribuição de carga contínua, uma integral sobre a região que contém a carga é equivalente a uma soma infinita, tratando cada elemento infinitesimal do espaço como uma carga pontual . A distribuição da carga é geralmente linear, superficial ou volumétrica. ${\ displaystyle \ mathrm {d} q}$

Para uma distribuição de carga linear (uma boa aproximação para carga em um fio), onde dá a carga por unidade de comprimento na posição , e é um elemento infinitesimal de comprimento, ${\ displaystyle \ lambda (\ mathbf {r} ')}$${\ displaystyle \ mathbf {r} '}$${\ displaystyle \ mathrm {d} \ ell '}$

${\ displaystyle \ mathrm {d} q '= \ lambda (\ mathbf {r'}) \, \ mathrm {d} \ ell '.}$

Para uma distribuição de carga superficial (uma boa aproximação para carga em uma placa em um capacitor de placa paralela ), onde dá a carga por unidade de área na posição , e é um elemento infinitesimal de área, ${\ displaystyle \ sigma (\ mathbf {r} ')}$${\ displaystyle \ mathbf {r} '}$${\ displaystyle \ mathrm {d} A '}$

${\ displaystyle \ mathrm {d} q '= \ sigma (\ mathbf {r'}) \, \ mathrm {d} A '.}$

Para uma distribuição de carga de volume (como carga dentro de um metal a granel), onde dá a carga por unidade de volume na posição e é um elemento infinitesimal de volume, ${\ displaystyle \ rho (\ mathbf {r} ')}$${\ displaystyle \ mathbf {r} '}$${\ displaystyle \ mathrm {d} V '}$

${\ displaystyle \ mathrm {d} q '= \ rho ({\ boldsymbol {r'}}) \, dV '.}$

A força em uma pequena carga de teste na posição no vácuo é dada pela integral sobre a distribuição de carga: ${\ displaystyle q}$${\ displaystyle {\ boldsymbol {r}}}$

${\ displaystyle \ mathbf {F} (\ mathbf {r}) = {q \ over 4 \ pi \ varejpsilon _ {0}} \ int \ mathrm {d} q '{\ mathbf {r} - \ mathbf {r '} \ over | \ mathbf {r} - \ mathbf {r'} | ^ {3}}.}$

Constante de Coulomb

A constante de Coulomb é um fator de proporcionalidade que aparece na lei de Coulomb, bem como em outras fórmulas relacionadas à eletricidade. Denotada , também é chamada de constante de força elétrica ou constante eletrostática, daí o subscrito . Quando a teoria eletromagnética é expressa no Sistema Internacional de Unidades , a força é medida em newtons , a carga em coulombs e a distância em metros . A constante de Coulomb é dada por . A constante é a permissividade elétrica do vácuo (também conhecida como "constante elétrica") em . Não deve ser confundido com , que é a permissividade relativa adimensional do material no qual as cargas estão imersas, ou com seu produto , que é chamado de " permissividade absoluta do material" e ainda é usado na engenharia elétrica . ${\ displaystyle k_ {e}}$${\ displaystyle e}$${\ displaystyle k_ {e} = {\ tfrac {1} {4 \ pi \ varepsilon _ {0}}}}$${\ displaystyle \ varepsilon _ {0}}$${\ displaystyle \ mathrm {C ^ {2} \ cdot m ^ {- 2} \ cdot N ^ {- 1}}}$${\ displaystyle \ varepsilon _ {r}}$${\ displaystyle \ varepsilon _ {a} = \ varepsilon _ {0} \ varepsilon _ {r}}$

Antes da redefinição de 2019 das unidades de base do SI , a constante de Coulomb era considerada como tendo um valor exato:

${\ displaystyle {\ begin {alinhados} k _ {\ text {e}} & = {\ frac {1} {4 \ pi \ varepsilon _ {0}}} = {\ frac {c_ {0} ^ {2} \ mu _ {0}} {4 \ pi}} = c_ {0} ^ {2} \ vezes 10 ^ {- 7} \ \ mathrm {H \, m ^ {- 1}} \\ & = 8,987 \ , 551 \, 787 \, 368 \, 176 \, 4 \ vezes 10 ^ {9} \ \ mathrm {N \, m ^ {2} \, C ^ {- 2}}. \ End {alinhado}}}$

Desde a redefinição de 2019, a constante de Coulomb não é mais definida com exatidão e está sujeita ao erro de medição na constante de estrutura fina. Conforme calculado a partir dos valores recomendados do CODATA 2018, a constante de Coulomb é

${\ displaystyle k _ {\ text {e}} = 8,987 \, 551 \, 792 \, 3 \, (14) \ vezes 10 ^ {9} \ \ mathrm {N \, m ^ {2} \, C ^ {-2}}.}$

Em unidades Gaussianas e unidades Lorentz-Heaviside , que são ambos sistemas de unidades CGS , a constante tem valores adimensionais diferentes .

Em unidades electrostáticas ou unidades gaussianas a unidade de carga ( ESU ou statcoulomb ) é definida de tal modo que a constante de Coulomb desaparece, uma vez que tem o valor de um e torna-se adimensional.

${\ displaystyle k _ {\ text {e}} = 1}$ (Unidades gaussianas).

Em unidades de Lorentz-Heaviside, também chamadas de unidades racionalizadas , a constante de Coulomb é adimensional e é igual a

${\ displaystyle k _ {\ text {e}} = {\ frac {1} {4 \ pi}}}$ (Unidades Lorentz-Heaviside)

As unidades gaussianas são mais adequadas para problemas microscópicos, como a eletrodinâmica de partículas individuais eletricamente carregadas. As unidades SI são mais convenientes para fenômenos práticos em grande escala, como aplicações de engenharia.

Limitações

Existem três condições a serem cumpridas para a validade da lei do inverso do quadrado de Coulomb:

1. As cargas devem ter uma distribuição esférica simétrica (por exemplo, cargas pontuais ou uma esfera de metal carregada).
2. As cargas não devem se sobrepor (por exemplo, devem ser cargas pontuais distintas).
3. As cargas devem ser estacionárias em relação umas às outras.

A última delas é conhecida como aproximação eletrostática . Quando o movimento ocorre, Einstein 's teoria da relatividade deve ser levado em consideração, e um resultado, é introduzido um fator extra, o que altera a força produzida sobre os dois objetos. Essa parte extra da força é chamada de força magnética e é descrita por campos magnéticos . Para movimentos lentos, a força magnética é mínima e a lei de Coulomb ainda pode ser considerada aproximadamente correta, mas quando as cargas estão se movendo mais rapidamente em relação umas às outras, todas as regras eletrodinâmicas (incorporando a força magnética) devem ser consideradas.

Campo elétrico

Um campo elétrico é um campo vetorial que associa a cada ponto no espaço a força Coulomb experimentada por uma carga de teste unitário . A intensidade e a direção da força de Coulomb em uma carga depende do campo elétrico estabelecido por outras cargas em que ela se encontra, tal que . No caso mais simples, o campo é considerado gerado somente por uma única carga pontual de origem . De maneira mais geral, o campo pode ser gerado por uma distribuição de cargas que contribuem para o geral pelo princípio de superposição . ${\ textstyle \ mathbf {F}}$${\ textstyle q_ {t}}$${\ textstyle \ mathbf {E}}$${\ textstyle \ mathbf {F} = q_ {t} \ mathbf {E}}$

Se o campo for gerado por uma carga pontual de fonte positiva , a direção do campo elétrico aponta ao longo de linhas direcionadas radialmente para fora dele, ou seja, na direção em que uma carga de teste de ponto positivo se moveria se colocada no campo. Para uma carga de fonte de ponto negativo, a direção é radialmente para dentro. ${\ textstyle q}$${\ textstyle q_ {t}}$

A magnitude do campo elétrico E pode ser derivada da lei de Coulomb . Ao escolher uma das cargas pontuais para ser a fonte e a outra para ser a carga de teste, segue-se da lei de Coulomb que a magnitude do campo elétrico E criado por uma única carga pontual da fonte Q a uma certa distância dela r em vácuo é dado por

${\ displaystyle | \ mathbf {E} | = {k_ {e}} {| q | \ over r ^ {2}}}$

Um sistema N de cargas estacionadas em produz um campo elétrico cuja magnitude e direção são, por superposição ${\ displaystyle q_ {i}}$${\ textstyle \ mathbf {r} _ {i}}$

${\ displaystyle \ mathbf {E} (\ mathbf {r}) = {1 \ over 4 \ pi \ varejpsilon _ {0}} \ sum _ {i = 1} ^ {N} q_ {i} {\ frac { \ mathbf {r} - \ mathbf {r} _ {i}} {| \ mathbf {r} - \ mathbf {r} _ {i} | ^ {3}}}}$

Forças atômicas

A lei de Coulomb vale até mesmo dentro dos átomos , descrevendo corretamente a força entre o núcleo atômico carregado positivamente e cada um dos elétrons carregados negativamente . Essa lei simples também explica corretamente as forças que unem os átomos para formar moléculas e as forças que unem os átomos e as moléculas para formar sólidos e líquidos. Geralmente, à medida que a distância entre os íons aumenta, a força de atração e a energia de ligação se aproximam de zero e a ligação iônica é menos favorável. Conforme a magnitude das cargas opostas aumenta, a energia aumenta e a ligação iônica é mais favorável.

Relação com a lei de Gauss

Derivando a lei de Gauss da lei de Coulomb

Estritamente falando, a lei de Gauss não pode ser derivada apenas da lei de Coulomb, uma vez que a lei de Coulomb dá o campo elétrico devido apenas a uma carga pontual individual . No entanto, a lei de Gauss pode ser provada a partir da lei de Coulomb se for assumido, além disso, que o campo elétrico obedece ao princípio da superposição . O princípio da superposição diz que o campo resultante é a soma vetorial dos campos gerados por cada partícula (ou a integral, se as cargas são distribuídas suavemente no espaço).

Esboço da prova

A lei de Coulomb afirma que o campo elétrico devido a uma carga pontual estacionária é: ${\ displaystyle \ mathbf {E} (\ mathbf {r}) = {\ frac {q} {4 \ pi \ varepsilon _ {0}}} {\ frac {\ mathbf {e} _ {r}} {r ^ {2}}}}$ Onde e r é o vetor da unidade radial, r é o raio, | r | , ε 0 é a constante elétrica , q é a carga da partícula, que se supõe estar localizada na origem . Usando a expressão da lei de Coulomb, obtemos o campo total em r usando uma integral para somar o campo em r devido à carga infinitesimal em cada ponto s no espaço, para dar ${\ displaystyle \ mathbf {E} (\ mathbf {r}) = {\ frac {1} {4 \ pi \ varepsilon _ {0}}} \ int {\ frac {\ rho (\ mathbf {s}) ( \ mathbf {r} - \ mathbf {s})} {| \ mathbf {r} - \ mathbf {s} | ^ {3}}} \, \ mathbf {d} ^ {3} \ mathbf {s}}$ onde ρ é a densidade de carga. Se tomarmos a divergência de ambos os lados desta equação em relação a r , e usarmos o teorema conhecido ${\ displaystyle \ nabla \ cdot \ left ({\ frac {\ mathbf {r}} {| \ mathbf {r} | ^ {3}}} \ right) = 4 \ pi \ delta (\ mathbf {r}) }$ onde δ ( r ) é a função delta de Dirac , o resultado é ${\ displaystyle \ nabla \ cdot \ mathbf {E} (\ mathbf {r}) = {\ frac {1} {\ varepsilon _ {0}}} \ int \ rho (\ mathbf {s}) \, \ delta (\ mathbf {r} - \ mathbf {s}) \, \ mathbf {d} ^ {3} \ mathbf {s}}$ Usando a " propriedade de peneiramento " da função delta de Dirac, chegamos a ${\ displaystyle \ nabla \ cdot \ mathbf {E} (\ mathbf {r}) = {\ frac {\ rho (\ mathbf {r})} {\ varejpsilon _ {0}}},}$ que é a forma diferencial da lei de Gauss, conforme desejado.

Observe que, uma vez que a lei de Coulomb se aplica apenas a cargas estacionárias, não há razão para esperar que a lei de Gauss seja válida para cargas móveis com base apenas nesta derivação. Na verdade, a lei de Gauss é válida para movimentação de cargas e, a esse respeito, a lei de Gauss é mais geral do que a lei de Coulomb.

Derivando a lei de Coulomb da lei de Gauss

A rigor, a lei de Coulomb não pode ser derivada apenas da lei de Gauss, uma vez que a lei de Gauss não fornece nenhuma informação a respeito da curvatura de E (ver decomposição de Helmholtz e lei de Faraday ). No entanto, a lei de Coulomb pode ser provada a partir da lei de Gauss se for assumido, além disso, que o campo elétrico de uma carga pontual é esfericamente simétrico (esta suposição, como a própria lei de Coulomb, é exatamente verdadeira se a carga for estacionária, e aproximadamente verdadeira se a carga estiver em movimento).

Esboço da prova

Tomando S na forma integral da lei de Gauss como uma superfície esférica de raio r , centrada na carga pontual Q , temos ${\ displaystyle \ oint _ {S} \ mathbf {E} \ cdot d \ mathbf {A} = {\ frac {Q} {\ varepsilon _ {0}}}}$ Pela suposição de simetria esférica, o integrando é uma constante que pode ser retirada da integral. O resultado é ${\ displaystyle 4 \ pi r ^ {2} {\ hat {\ mathbf {r}}} \ cdot \ mathbf {E} (\ mathbf {r}) = {\ frac {Q} {\ varepsilon _ {0} }}}$ onde r̂ é um vetor unitário apontando radialmente para longe da carga. Novamente por simetria esférica, E aponta na direção radial, e assim obtemos ${\ displaystyle \ mathbf {E} (\ mathbf {r}) = {\ frac {Q} {4 \ pi \ varepsilon _ {0}}} {\ frac {\ hat {\ mathbf {r}}} {r ^ {2}}}}$ que é essencialmente equivalente à lei de Coulomb. Assim, a dependência da lei do inverso do quadrado do campo elétrico na lei de Coulomb segue da lei de Gauss.

Potencial de Coulomb

Teoria quântica de campos

O potencial de Coulomb admite estados contínuos (com E> 0), descrevendo o espalhamento elétron-próton , bem como estados ligados discretos, representando o átomo de hidrogênio. Também pode ser derivado dentro do limite não relativístico entre duas partículas carregadas, como segue:

Sob a aproximação de Born , na mecânica quântica não relativística, a amplitude de espalhamento é:${\ textstyle {\ mathcal {A}} (| {\ overrightarrow {p}} \ rangle \ to | {\ overrightarrow {p}} '\ rangle)}$

Isso deve ser comparado a:onde olhamos para a entrada da matriz S (conectada) para dois elétrons se espalhando, tratando um com momento "fixo" como a fonte do potencial, e o outro espalhando esse potencial.

Usando as regras de Feynman para calcular o elemento da matriz S, obtemos o limite não relativístico com ${\ displaystyle m_ {0} \ gg | {\ vec {p}} |}$

Comparando com o espalhamento QM, temos que descartar os à medida que surgem devido a diferentes normalizações de eigenstate de momento em QFT em comparação com QM e obter: ${\ displaystyle (2m) ^ {2}}$

${\ displaystyle \ int V ({\ vec {r}}) \ mathbf {e} ^ {- \ mathbf {i} ({\ vec {p}} - {\ vec {p}} ') {\ vec { r}}} \ mathbf {d} ^ {3} r = {\ frac {e ^ {2}} {| {\ vec {p}} - {\ vec {p}} '| ^ {2} - \ mathbf {i} \ epsilon}}}$ onde Fourier transformando ambos os lados, resolvendo a integral e pegando no final resultará ${\ displaystyle \ epsilon \ para 0}$

${\ displaystyle V (r) = {\ frac {e ^ {2}} {4 \ pi r}}}$ como o potencial de Coulomb.

No entanto, os resultados equivalentes das derivações clássicas de Born para o problema de Coulomb são considerados estritamente acidentais.

O potencial Coulomb, e sua derivação, podem ser vistos como um caso especial do potencial Yukawa , que é o caso em que o bóson trocado - o fóton - não tem massa de repouso.

Experiência simples para verificar a lei de Coulomb

É possível verificar a lei de Coulomb com um experimento simples. Considere duas pequenas esferas de massa e carga de mesmo sinal , penduradas em duas cordas de massa desprezível de comprimento . As forças que atuam em cada esfera são três: o peso , a tensão da corda e a força elétrica . No estado de equilíbrio: ${\ displaystyle m}$${\ displaystyle q}$${\ displaystyle l}$${\ displaystyle mg}$${\ displaystyle \ mathbf {T}}$${\ displaystyle \ mathbf {F}}$

${\ displaystyle \ mathbf {T} \ sin \ theta _ {1} = \ mathbf {F} _ {1}}$

( 1 )

e

${\ displaystyle \ mathbf {T} \ cos \ theta _ {1} = mg}$

( 2 )

Dividindo ( 1 ) por ( 2 ):

${\ displaystyle {\ frac {\ sin \ theta _ {1}} {\ cos \ theta _ {1}}} = {\ frac {F_ {1}} {mg}} \ Rightarrow F_ {1} = mg \ tan \ theta _ {1}}$

( 3 )

Let ser a distância entre as esferas carregadas; a força de repulsão entre eles , assumindo que a lei de Coulomb está correta, é igual a ${\ displaystyle \ mathbf {L} _ {1}}$${\ displaystyle \ mathbf {F} _ {1}}$

${\ displaystyle F_ {1} = {\ frac {q ^ {2}} {4 \ pi \ varepsilon _ {0} L_ {1} ^ {2}}}}$

( Lei de Coulomb )

tão:

${\ displaystyle {\ frac {q ^ {2}} {4 \ pi \ varepsilon _ {0} L_ {1} ^ {2}}} = mg \ tan \ theta _ {1} \, \!}$

( 4 )

Se agora descarregamos uma das esferas e a colocamos em contato com a esfera carregada, cada uma delas adquire uma carga . No estado de equilíbrio, a distância entre as cargas será e a força de repulsão entre elas será: ${\ textstyle {\ frac {q} {2}}}$${\ textstyle \ mathbf {L} _ {2} <\ mathbf {L} _ {1}}$

${\ displaystyle F_ {2} = {\ frac {{({\ frac {q} {2}})} ^ {2}} {4 \ pi \ varepsilon _ {0} L_ {2} ^ {2}} } = {\ frac {\ frac {q ^ {2}} {4}} {4 \ pi \ varepsilon _ {0} L_ {2} ^ {2}}} \, \!}$

( 5 )

Nós sabemos disso e: ${\ displaystyle \ mathbf {F} _ {2} = mg \ tan \ theta _ {2}}$

${\ displaystyle {\ frac {\ frac {q ^ {2}} {4}} {4 \ pi \ varejpsilon _ {0} L_ {2} ^ {2}}} = mg \ tan \ theta _ {2} }$

Dividindo ( 4 ) por ( 5 ), obtemos:

${\ displaystyle {\ frac {\ left ({\ cfrac {q ^ {2}} {4 \ pi \ varepsilon _ {0} L_ {1} ^ {2}}} \ right)} {\ left ({\ cfrac {\ frac {q ^ {2}} {4}} {4 \ pi \ varepsilon _ {0} L_ {2} ^ {2}}} \ right)}} = {\ frac {mg \ tan \ theta _ {1}} {mg \ tan \ theta _ {2}}} \ Rightarrow 4 {\ left ({\ frac {L_ {2}} {L_ {1}}} \ right)} ^ {2} = { \ frac {\ tan \ theta _ {1}} {\ tan \ theta _ {2}}}}$

( 6 )

Medir os ângulos e e a distância entre as cargas e é suficiente para verificar que a igualdade é verdade, tendo em conta o erro experimental. Na prática, os ângulos podem ser difíceis de medir, então se o comprimento das cordas for suficientemente grande, os ângulos serão pequenos o suficiente para fazer a seguinte aproximação: ${\ displaystyle \ theta _ {1}}$${\ displaystyle \ theta _ {2}}$${\ displaystyle \ mathbf {L} _ {1}}$${\ displaystyle \ mathbf {L} _ {2}}$

${\ displaystyle \ tan \ theta \ approx \ sin \ theta = {\ frac {\ frac {L} {2}} {\ ell}} = {\ frac {L} {2 \ ell}} \ Rightarrow {\ frac {\ tan \ theta _ {1}} {\ tan \ theta _ {2}}} \ approx {\ frac {\ frac {L_ {1}} {2 \ ell}} {\ frac {L_ {2}} {2 \ ell}}}}$

( 7 )

Usando essa aproximação, o relacionamento ( 6 ) se torna a expressão muito mais simples:

${\ displaystyle {\ frac {\ frac {L_ {1}} {2 \ ell}} {\ frac {L_ {2}} {2 \ ell}}} \ aprox. 4 {\ left ({\ frac {L_ { 2}} {L_ {1}}} \ right)} ^ {2} \ Rightarrow \, \!}$ ${\ displaystyle {\ frac {L_ {1}} {L_ {2}}} \ aprox. 4 {\ esquerda ({\ frac {L_ {2}} {L_ {1}}} \ direita)} ^ {2} \ Rightarrow {\ frac {L_ {1}} {L_ {2}}} \ approx {\ sqrt [{3}] {4}} \, \!}$

( 8 )

Dessa forma, a verificação se limita a medir a distância entre as cargas e verificar se a divisão se aproxima do valor teórico.

Veja também

Artigos sobre
Eletromagnetismo
Eletricidade Magnetismo História Livros didáticos
Eletrostática Carga elétrica Lei de Coulomb Condutor Densidade de carga Permissividade Momento de dipolo elétrico Campo elétrico Potencial elétrico Fluxo elétrico  / energia potencial Descarga eletrostática Lei de gauss Indução Isolador Densidade de polarização Eletricidade estática Triboeletricidade
Magnetostática Lei de Ampère Lei Biot-Savart Lei de Gauss para o magnetismo Campo magnético Fluxo magnético Momento dipolo magnético Permeabilidade magnética Potencial escalar magnético Magnetização Força magnetomotriz Potencial de vetor magnético Regra da mão direita
Eletrodinâmica Lei de força de Lorentz Indução eletromagnética Lei de faraday Lei de Lenz Corrente de deslocamento Equações de Maxwell Campo eletromagnetico Pulso eletromagnetico Radiação eletromagnética Tensor de Maxwell Vetor de Poynting Potencial de Liénard-Wiechert Equações de Jefimenko Corrente parasita Equações de Londres Descrições matemáticas do campo eletromagnético
Rede elétrica Corrente alternada Capacitância Corrente direta Corrente elétrica Eletrólise Densidade atual Aquecimento Joule Força eletromotriz Impedância Indutância Lei de ohm Circuito paralelo Resistência Cavidades ressonantes Circuito em série Voltagem Waveguides
Formulação covariante Tensor eletromagnético ( tensor tensão-energia ) Quatro correntes Quatro potenciais eletromagnéticos
Cientistas Ampère Biot Coulomb Davy Einstein Faraday Fizeau Gauss Heaviside Henry Hertz Joule Lenz Lorentz Maxwell Ørsted Ohm Ritchie Savart Cantor Tesla Volta Weber Poisson
v t e

Referências

Leitura relacionada

• Coulomb, Charles Augustin (1788) [1785]. "Premier mémoire sur l'électricité et le magnétisme" . Histoire de l'Académie Royale des Sciences . Imprimerie Royale. pp. 569–577.
• Coulomb, Charles Augustin (1788) [1785]. "Second mémoire sur l'électricité et le magnétisme" . Histoire de l'Académie Royale des Sciences . Imprimerie Royale. pp. 578–611.
• Coulomb, Charles Augustin (1788) [1785]. "Troisième mémoire sur l'électricité et le magnétisme" . Histoire de l'Académie Royale des Sciences . Imprimerie Royale. pp. 612–638.
• Griffiths, David J. (1999). Introdução à Eletrodinâmica (3ª ed.). Prentice Hall. ISBN 978-0-13-805326-0.
• Tamm, Igor E. (1979) [1976]. Fundamentos da Teoria da Eletricidade (9ª ed.). Moscou: Mir. pp.  23 -27.
• Tipler, Paul A .; Mosca, Gene (2008). Physics for Scientists and Engineers (6ª ed.). Nova York: WH Freeman and Company. ISBN 978-0-7167-8964-2. LCCN  2007010418 .
• Young, Hugh D .; Freedman, Roger A. (2010). Sears and Zemansky's University Physics: With Modern Physics (13ª ed.). Addison-Wesley (Pearson). ISBN 978-0-321-69686-1.

links externos

• Lei de Coulomb no Projeto PHYSNET
• Electricity and the Atom - um capítulo de um livro online
• Um jogo de labirinto para ensinar a Lei de Coulomb - um jogo criado pelo software Molecular Workbench
• Cargas elétricas, polarização, força elétrica, Lei de Coulomb Walter Lewin, 8.02 Eletricidade e magnetismo, primavera de 2002: Aula 1 (vídeo). MIT OpenCourseWare. Licença: Creative Commons Attribution-Noncommercial-Share Alike.