Emitância do feixe - Beam emittance

Amostras de uma distribuição normal bivariada , representando partículas no espaço de fase, com posição horizontal e momento vertical.

A emissão é uma propriedade de um feixe de partículas carregadas em um acelerador de partículas . Além disso, encontramos três emitâncias bidimensionais independentes. O valor numérico dessas emissões multiplicado por π = para a área ocupada pelo feixe no respectivo plano de fase. É uma medida para a propagação média das coordenadas das partículas no espaço de fase de posição e momento e tem a dimensão do comprimento (por exemplo, metros) ou comprimento vezes ângulo (metros vezes radianos). À medida que um feixe de partículas se propaga ao longo de ímãs e outros componentes de manipulação de feixe de um acelerador, a propagação de posição pode mudar, mas de uma forma que não altera a emitância. Se a distribuição no espaço de fase for representada como uma nuvem em um gráfico (veja a figura), a emitância é a área da nuvem. Uma definição mais exata trata das bordas difusas da nuvem e do caso de uma nuvem que não possui forma elíptica.

Um feixe de partículas de baixa emissão é um feixe em que as partículas estão confinadas a uma pequena distância e têm quase o mesmo momento . Um sistema de transporte de feixe só permitirá partículas que estão viajando ao longo de sua própria linha de transporte independente, e as partículas devem se encaixar no diâmetro do feixe e no centro do campo magnético que está conectado à abertura de foco. Qualquer feixe real emergindo da fonte será afetado de alguma forma pelas limitações de abertura da câmara de vácuo. Em um acelerador de feixe de colisão, manter a emitância pequena significa que a probabilidade de interações das partículas será maior, resultando em maior luminosidade . Em uma fonte de luz síncrotron , baixa emitância significa que o feixe de raios-X resultante será pequeno e resultará em maior brilho.

Ao determinar a trajetória do feixe de partículas ; torna-se impraticável focar em cada partícula individual e em sua trajetória única. Em vez disso, utilize outros métodos matemáticos e operações para medir o feixe como um todo. Verificar as propriedades do feixe como um todo; é importante tomar nota deste teorema; afirmando sob a influência de forças conservativas, a densidade de partícula (especificamente densidade numérica ) no espaço de fase permanece constante.

Definição

A emissão tem unidades de comprimento, mas é normalmente referida como "comprimento × ângulo", por exemplo, "milímetro × mili-radianos". Ele pode ser medido em todas as três dimensões espaciais. A dimensão paralela ao movimento da partícula é chamada de emitância longitudinal e as outras duas dimensões são chamadas de emitâncias transversais.

Emissão Geométrica

A definição aritmética de uma emitância transversal ( ) é: ${\ displaystyle \ varepsilon}$

{\ displaystyle \ varepsilon = {\ frac {6 \ pi \ left ({\ text {width}} ^ {2} -D ^ {2} \ left ({\ frac {\ mathrm {d} p} {p} } \ right) ^ {2} \ right)} {B}}}

Onde:

largura é a largura do feixe de partículas
dp / p é a propagação do momento do feixe de partículas
D é o valor da função de dispersão no ponto de medição no acelerador de partículas
B é o valor da função beta no ponto de medição no acelerador de partículas

Como é difícil medir a largura total da viga, mede-se a largura RMS da viga ou o valor da largura que abrange uma porcentagem específica da viga (por exemplo, 95%). A emitância dessas medidas de largura é então chamada de "emitância RMS" ou "95% de emitância", respectivamente.

Deve-se distinguir a emitância de uma única partícula daquela de todo o feixe. A emitância de uma única partícula é o valor da quantidade invariante

{\ displaystyle \ epsilon = \ gamma x ^ {2} +2 \ alpha xx '+ \ beta x' ^ {2}}

onde x e x ′ são a posição e o ângulo da partícula respectivamente e são os parâmetros de Twiss. (No contexto da dinâmica hamiltoniana, deve-se ter mais cuidado ao formular em termos de um momento transversal em vez de x ′ .) Esta é a emitância de uma única partícula. ${\ displaystyle \ beta, \ alpha, \ gamma}$

Emissão RMS

Em alguns aceleradores de partículas, os parâmetros Twiss não são comumente usados e a emitância é definida pelas estatísticas do espaço de fase de segunda ordem do feixe . Aqui, a emitância RMS ( ) é definida como, ${\ displaystyle \ varepsilon _ {\ text {RMS}}}$

${\ displaystyle \ varepsilon _ {\ text {RMS}} = {\ sqrt {\ langle x ^ {2} \ rangle \ langle x ^ {\ prime 2} \ rangle - \ langle x \ cdot x ^ {\ prime} \ rangle ^ {2}}}}$

onde é a variância da posição da partícula, é a variância do ângulo que uma partícula faz com a direção do percurso no acelerador ( com a direção do percurso) e representa uma correlação ângulo-posição das partículas no feixe. Esta definição reverte para a definição listada anteriormente de emitância geométrica no caso de uma rede de acelerador periódico onde os parâmetros Twiss podem ser definidos. ${\ displaystyle \ langle x ^ {2} \ rangle}$ ${\ displaystyle \ langle x ^ {\ prime 2} \ rangle}$ ${\ displaystyle x ^ {\ prime} = {\ frac {\ mathrm {d} x} {\ mathrm {d} z}}}$ ${\ displaystyle z}$ ${\ displaystyle \ langle x \ cdot x ^ {\ prime} \ rangle}$

A emitância também pode ser expressa como o determinante da matriz de variância-covariância das coordenadas do espaço de fase do feixe, onde se torna claro que a quantidade descreve uma área efetiva ocupada pelo feixe em termos de suas estatísticas de segunda ordem.

${\ displaystyle \ varepsilon _ {\ text {RMS}} = {\ sqrt {\ begin {vmatrix} \ langle x \ cdot x \ rangle & \ langle x \ cdot x ^ {\ prime} \ rangle \\\ langle x \ cdot x ^ {\ prime} \ rangle & \ langle x ^ {\ prime} \ cdot x ^ {\ prime} \ rangle \ end {vmatrix}}}}$

Dependendo do contexto, alguns também podem adicionar um fator de escala na frente da equação para a emitância RMS de modo que corresponda à área de distribuição em forma de elipse preenchida uniformemente no espaço de fase.

Emissão RMS em dimensões superiores

Por vezes é útil para falar sobre a área do espaço de fase por qualquer quatro espaço de fase transversal dimensional (IE , , , ) ou o espaço pleno de seis dimensional fase de partículas (IE , , , , , ). Agora está claro a partir da definição da matriz de emitância RMS como a definição pode generalizar em dimensões superiores. ${\ displaystyle x}$ ${\ displaystyle x ^ {\ prime}}$ ${\ displaystyle y}$ ${\ displaystyle y ^ {\ prime}}$ ${\ displaystyle x}$ ${\ displaystyle x ^ {\ prime}}$ ${\ displaystyle y}$ ${\ displaystyle y ^ {\ prime}}$ ${\ displaystyle \ Delta z}$ ${\ displaystyle \ Delta z ^ {\ prime}}$

${\ displaystyle \ varepsilon _ {{\ text {RMS}}, 6D} = {\ sqrt {\ begin {vmatrix} \ langle x \ cdot x \ rangle & \ langle x \ cdot x ^ {\ prime} \ rangle & \ langle x \ cdot y \ rangle & \ langle x \ cdot y ^ {\ prime} \ rangle & \ langle x \ cdot z \ rangle & \ langle x \ cdot z ^ {\ prime} \ rangle \\\ langle x ^ {\ prime} \ cdot x \ rangle & \ langle x ^ {\ prime} \ cdot x ^ {\ prime} \ rangle & \ langle x ^ {\ prime} \ cdot y \ rangle & \ langle x ^ {\ prime} \ cdot y ^ {\ prime} \ rangle & \ langle x ^ {\ prime} \ cdot z \ rangle & \ langle x ^ {\ prime} \ cdot z ^ {\ prime} \ rangle \\\ langle y \ cdot x \ rangle & \ langle y \ cdot x ^ {\ prime} \ rangle & \ langle y \ cdot y \ rangle & \ langle y \ cdot y ^ {\ prime} \ rangle & \ langle y \ cdot z \ rangle & \ langle y \ cdot z ^ {\ prime} \ rangle \\\ langle y ^ {\ prime} \ cdot x \ rangle & \ langle y ^ {\ prime} \ cdot x ^ {\ prime} \ rangle & \ langle y ^ {\ prime} \ cdot y \ rangle & \ langle y ^ {\ prime} \ cdot y ^ {\ prime} \ rangle & \ langle y ^ {\ prime} \ cdot z \ rangle & \ langle y ^ {\ prime} \ cdot z ^ {\ prime} \ rangle \\\ langle z \ cdot x \ rangle & \ langle z \ cdot x ^ {\ prime} \ rangle & \ langle z \ cdot y \ rangle & \ eu ângulo z \ cdot y ^ {\ prime} \ rangle & \ langle z \ cdot z \ rangle & \ langle z \ cdot z ^ {\ prime} \ rangle \\\ langle z ^ {\ prime} \ cdot x \ rangle & \ langle z ^ {\ prime} \ cdot x ^ {\ prime} \ rangle & \ langle z ^ {\ prime} \ cdot y \ rangle & \ langle z ^ {\ prime} \ cdot y ^ {\ prime} \ rangle & \ langle z ^ {\ prime} \ cdot z \ rangle & \ langle z ^ {\ prime} \ cdot z ^ {\ prime} \ rangle \\\ end {vmatrix}}}}$

Na ausência de correlações entre os diferentes eixos do acelerador de partículas, a maioria desses elementos da matriz torna-se zero e ficamos com um produto da emitância ao longo de cada eixo.

${\ displaystyle \ varepsilon _ {{\ text {RMS}}, 6D} = {\ sqrt {\ begin {vmatrix} \ langle x \ cdot x \ rangle & \ langle x \ cdot x ^ {\ prime} \ rangle & 0 & 0 & 0 & 0 \\\ langle x ^ {\ prime} \ cdot x \ rangle & \ langle x ^ {\ prime} \ cdot x ^ {\ prime} \ rangle & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & \ langle y \ cdot y \ rangle & \ langle y \ cdot y ^ {\ prime} \ rangle & 0 & 0 \\ 0 & 0 & \ langle y ^ {\ prime} \ cdot y \ rangle & \ langle y ^ {\ prime} \ cdot y ^ {\ prime} \ rangle & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & \ langle z \ cdot z \ rangle & \ langle z \ cdot z ^ {\ prime} \ rangle \\ 0 & 0 & 0 & 0 & \ langle z ^ {\ prime} \ cdot z \ rangle & \ langle z ^ {\ prime} \ cdot z ^ {\ prime} \ rangle \\\ end {vmatrix}}} = {\ sqrt {\ begin {vmatrix} \ langle x \ cdot x \ rangle & \ langle x \ cdot x ^ {\ prime} \ rangle \\ \ langle x ^ {\ prime} \ cdot x \ rangle & \ langle x ^ {\ prime} \ cdot x ^ {\ prime} \ rangle \\\ end {vmatrix}}} {\ sqrt {\ begin {vmatrix} \ langle y \ cdot y \ rangle & \ langle y \ cdot y ^ {\ prime} \ rangle \\\ langle y ^ {\ prime} \ cdot y \ rangle & \ langle y ^ {\ prime} \ cdot y ^ {\ prime} \ rangle \\\ end {vmatrix}}} {\ sqrt {\ begin {vmatrix} \ langle z \ cdot z \ rangle & \ langle z \ cdot z ^ {\ prime} \ rangle \\\ langle z ^ {\ prime} \ cdot z \ rangle & \ langle z ^ {\ prime} \ cdot z ^ {\ prime} \ rangle \\\ end {vmatrix}}} = \ varepsilon _ {x} \ varepsilon _ {y} \ varepsilon _ {z}}$

Emissão normalizada

Embora as definições anteriores de emitância permaneçam constantes para o transporte linear do feixe, elas mudam quando as partículas sofrem aceleração (um efeito chamado amortecimento adiabático). Em algumas aplicações, como para aceleradores lineares, fotoinjetores e as seções de aceleração de sistemas maiores, torna-se importante comparar a qualidade do feixe em diferentes energias. Para este propósito, definimos a emitância normalizada que é invariante sob aceleração.

${\ displaystyle \ varepsilon _ {n} = {\ sqrt {\ langle x ^ {2} \ rangle \ langle p_ {x} ^ {2} \ rangle - \ langle x \ cdot p_ {x} \ rangle ^ {2 }}} = {\ sqrt {\ begin {vmatrix} \ langle x \ cdot x \ rangle & \ langle x \ cdot p_ {x} \ rangle \\\ langle x \ cdot p_ {x} \ rangle & \ langle p_ {x} \ cdot p_ {x} \ rangle \ end {vmatrix}}}}$

onde o ângulo foi substituído por um momento transversal que não depende do momento longitudinal. ${\ displaystyle x ^ {\ prime} = {\ frac {\ mathrm {d} x} {\ mathrm {d} z}}}$ ${\ displaystyle p_ {x}}$

A emitância normalizada está relacionada às definições anteriores de emitância por meio do fator de Lorentz ( ) e da velocidade relativística na direção do percurso do feixe ( ). ${\ displaystyle \ gamma}$ ${\ displaystyle \ beta _ {z}}$

${\ displaystyle \ epsilon _ {n} = \ beta _ {z} \ gamma \ epsilon}$

A emitância normalizada não muda em função da energia e, portanto, pode rastrear a degradação do feixe se as partículas forem aceleradas. Se β estiver próximo de um, a emitância é aproximadamente inversamente proporcional à energia e, portanto, a largura física do feixe irá variar inversamente à raiz quadrada da energia.

Versões dimensionais mais altas da emitância normalizada podem ser definidas em analogia à versão RMS, substituindo todos os ângulos por seus momentos correspondentes.

Emissão de elétrons versus partículas pesadas

Para entender por que a emitância RMS assume um determinado valor em um anel de armazenamento, é necessário distinguir entre anéis de armazenamento de elétrons e anéis de armazenamento com partículas mais pesadas (como prótons). Em um anel de armazenamento de elétrons, a radiação é um efeito importante, ao passo que, quando outras partículas são armazenadas, normalmente é um efeito pequeno. Quando a radiação é importante, as partículas sofrem amortecimento de radiação (que diminui lentamente a emitância turno após turno) e excitação quântica causando difusão que leva a uma emitância de equilíbrio. Quando nenhuma radiação está presente, as emitâncias permanecem constantes (exceto pelos efeitos de impedância e espalhamento dentro do feixe). Nesse caso, a emitância é determinada pela distribuição inicial das partículas. Em particular, se alguém injetar uma "pequena" emitância, ela permanecerá pequena, enquanto se for injetada uma "grande" emitância, ela permanecerá grande.

Aceitação

A aceitação , também chamada de admitância , é a emitância máxima que um sistema de transporte de feixe ou sistema analisador é capaz de transmitir. Este é o tamanho da câmara transformada em espaço de fase e não sofre as ambigüidades da definição da emitância do feixe.

Conservação da emitância

As lentes podem focalizar um feixe, reduzindo seu tamanho em uma dimensão transversal enquanto aumenta sua propagação angular, mas não podem alterar a emitância total. Este é um resultado do teorema de Liouville . As formas de reduzir a emitância do feixe incluem amortecimento de radiação , resfriamento estocástico e resfriamento de elétrons .

Emissão e brilho

A emissão também está relacionada ao brilho do feixe. Em microscopia, o brilho é muito usado, porque inclui a corrente no feixe e a maioria dos sistemas são circularmente simétricos.

{\ displaystyle B = {\ frac {{\ eta} I} {{\ epsilon _ {x}} {\ epsilon _ {y}}}}}

com ${\ displaystyle \ eta = {\ frac {1} {8 \ pi ^ {2}}}}$

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