Raiz quadrada média - Root mean square

Em matemática e suas aplicações, o quadrado médio da raiz ( RMS ou RMS ou RMS ) é definido como a raiz quadrada da raiz quadrada da média (a média aritmética dos quadrados de um conjunto de números). O RMS também é conhecido como média quadrática e é um caso particular da média generalizada com expoente 2. RMS também pode ser definido para uma função que varia continuamente em termos de uma integral dos quadrados dos valores instantâneos durante um ciclo.

Para corrente elétrica alternada , RMS é igual ao valor da corrente contínua constante que produziria a mesma dissipação de potência em uma carga resistiva .

Na teoria da estimativa , o desvio quadrático médio da raiz de um estimador é uma medida da imperfeição do ajuste do estimador aos dados.

Definição

O valor RMS de um conjunto de valores (ou uma forma de onda de tempo contínuo ) é a raiz quadrada da média aritmética dos quadrados dos valores ou o quadrado da função que define a forma de onda contínua. Em física, o valor da corrente RMS também pode ser definido como o "valor da corrente contínua que dissipa a mesma potência em um resistor".

No caso de um conjunto de n valores , o RMS é ${\ displaystyle \ {x_ {1}, x_ {2}, \ dots, x_ {n} \}}$

{\ displaystyle x _ {\ text {RMS}} = {\ sqrt {{\ frac {1} {n}} \ left (x_ {1} ^ {2} + x_ {2} ^ {2} + \ cdots + x_ {n} ^ {2} \ right)}}.}

A fórmula correspondente para uma função contínua (ou forma de onda) f ( t ) definida ao longo do intervalo é ${\ displaystyle T_ {1} \ leq t \ leq T_ {2}}$

{\ displaystyle f _ {\ text {RMS}} = {\ sqrt {{1 \ over {T_ {2} -T_ {1}}} {\ int _ {T_ {1}} ^ {T_ {2}} { [f (t)]} ^ {2} \, {\ rm {d}} t}}},}

e o RMS para uma função ao longo do tempo é

{\ displaystyle f _ {\ text {RMS}} = \ lim _ {T \ rightarrow \ infty} {\ sqrt {{1 \ over {2T}} {\ int _ {- T} ^ {T} {[f ( t)]} ^ {2} \, {\ rm {d}} t}}}.}

O RMS ao longo de todo o tempo de uma função periódica é igual ao RMS de um período da função. O valor RMS de uma função ou sinal contínuo pode ser aproximado tomando o RMS de uma amostra que consiste em observações igualmente espaçadas. Além disso, o valor RMS de várias formas de onda também pode ser determinado sem cálculo , como mostrado por Cartwright.

No caso da estatística RMS de um processo aleatório , o valor esperado é usado em vez da média.

Em formas de onda comuns

Formas de onda senoidal , quadrada , triangular e dente de serra . Em cada um, a linha central está em 0, o pico positivo está em e o pico negativo está em

{\ displaystyle y = A_ {1}}

{\ displaystyle y = -A_ {1}}

Uma onda de pulso retangular do ciclo de serviço D, a razão entre a duração do pulso ( ) e o período (T); ilustrado aqui com a = 1.

{\ displaystyle \ tau}

Gráfico da tensão de uma onda senoidal vs. tempo (em graus), mostrando as tensões RMS, pico (PK) e pico a pico (PP).

Se a forma de onda for uma onda senoidal pura , as relações entre as amplitudes (pico a pico, pico) e RMS são fixas e conhecidas, como são para qualquer onda periódica contínua . No entanto, isso não é verdade para uma forma de onda arbitrária, que pode não ser periódica ou contínua. Para uma onda senoidal de média zero, a relação entre RMS e amplitude pico a pico é:

Pico a pico

{\ displaystyle = 2 {\ sqrt {2}} \ times {\ text {RMS}} \ aproximadamente 2,8 \ vezes {\ text {RMS}}.}

Para outras formas de onda, as relações não são as mesmas das ondas senoidais. Por exemplo, para uma onda triangular ou dente de serra

Pico a pico

{\ displaystyle = 2 {\ sqrt {3}} \ times {\ text {RMS}} \ aproximadamente 3,5 \ vezes {\ text {RMS}}.}

Forma de onda	Variáveis e operadores	RMS
DC	${\ displaystyle y = A_ {0} \,}$	${\ displaystyle A_ {0} \,}$
Onda senoidal	${\ displaystyle y = A_ {1} \ sin (2 \ pi ft) \,}$	${\ displaystyle {\ frac {A_ {1}} {\ sqrt {2}}}}$
Onda quadrada	${\ displaystyle y = {\ begin {cases} A_ {1} & \ operatorname {frac} (ft) <0,5 \\ - A_ {1} & \ operatorname {frac} (ft)> 0,5 \ end {cases}} }$	${\ displaystyle A_ {1} \,}$
Onda quadrada deslocada em DC	${\ displaystyle y = A_ {0} + {\ begin {cases} A_ {1} & \ operatorname {frac} (ft) <0,5 \\ - A_ {1} & \ operatorname {frac} (ft)> 0,5 \ fim {casos}}}$	${\ displaystyle {\ sqrt {A_ {0} ^ {2} + A_ {1} ^ {2}}} \,}$
Onda senoidal modificada	${\ displaystyle y = {\ begin {cases} 0 & \ operatorname {frac} (ft) <0,25 \\ A_ {1} & 0,25 <\ operatorname {frac} (ft) <0,5 \\ 0 & 0,5 <\ operatorname {frac} (ft) <0,75 \\ - A_ {1} & \ operatorname {frac} (ft)> 0,75 \ end {cases}}}$	${\ displaystyle {\ frac {A_ {1}} {\ sqrt {2}}}}$
Onda triangular	${\ displaystyle y = \ left \| 2A_ {1} \ operatorname {frac} (ft) -A_ {1} \ right \|}$	${\ displaystyle A_ {1} \ over {\ sqrt {3}}}$
Onda dente de serra	${\ displaystyle y = 2A_ {1} \ operatorname {frac} (ft) -A_ {1} \,}$	${\ displaystyle A_ {1} \ over {\ sqrt {3}}}$
Onda de pulso	${\ displaystyle y = {\ begin {cases} A_ {1} & \ operatorname {frac} (ft) <D \\ 0 & \ operatorname {frac} (ft)> D \ end {cases}}}$	${\ displaystyle A_ {1} {\ sqrt {D}}}$
Tensão fase-fase	${\ displaystyle y = A_ {1} \ sin (t) -A_ {1} \ sin \ left (t - {\ frac {2 \ pi} {3}} \ right) \,}$	${\ displaystyle A_ {1} {\ sqrt {\ frac {3} {2}}}}$
Onde: y é o deslocamento, t é o tempo, f é frequência, A _i é a amplitude (valor de pico), D é o ciclo de trabalho ou a proporção do período de tempo (1 / f ) gasto alto, frac ( r ) é a parte fracionária de r .

Em combinações de formas de onda

As formas de onda feitas pela soma das formas de onda simples conhecidas têm um valor RMS que é a raiz da soma dos quadrados dos valores RMS do componente, se as formas de onda do componente forem ortogonais (ou seja, se a média do produto de uma forma de onda simples com outra for zero para todos os pares, exceto uma forma de onda com o tempo próprio).

{\ displaystyle {\ text {RMS}} _ {\ text {Total}} = {\ sqrt {{\ text {RMS}} _ {1} ^ {2} + {\ text {RMS}} _ {2} ^ {2} + \ cdots + {\ text {RMS}} _ {n} ^ {2}}}}

Alternativamente, para formas de onda que são perfeitamente correlacionadas positivamente, ou "em fase" entre si, seus valores RMS somam diretamente.

Usos

Em engenharia elétrica

Voltagem

Um caso especial de RMS de combinações de formas de onda é:

{\ displaystyle {\ text {RMS}} _ {\ text {AC + DC}} = {\ sqrt {{\ text {RMS}} _ {\ text {DC}} ^ {2} + {\ text {RMS }} _ {\ text {AC}} ^ {2}}}}

onde se refere ao componente de corrente contínua (ou média) do sinal e é o componente de corrente alternada do sinal. ${\ displaystyle {\ text {RMS}} _ {\ text {DC}}}$ ${\ displaystyle {\ text {RMS}} _ {\ text {AC}}}$

Potência elétrica média

Os engenheiros electrotécnicos frequentemente precisa de saber a potência , P , dissipadas por uma resistência eléctrica , R . É fácil fazer o cálculo quando existe uma corrente constante , I , através da resistência. Para uma carga de R ohms, a potência é definida simplesmente como:

{\ displaystyle P = I ^ {2} R.}

No entanto, se a corrente é uma função variável no tempo, I ( t ), esta fórmula deve ser estendida para refletir o fato de que a corrente (e, portanto, a potência instantânea) está variando ao longo do tempo. Se a função for periódica (como energia CA doméstica), ainda é significativo discutir a energia média dissipada ao longo do tempo, que é calculada tomando a dissipação de energia média:

{\ displaystyle {\ begin {alinhado} P_ {av} & = \ left (I (t) ^ {2} R \ right) _ {av} && {\ text {onde}} \ left (\ cdots \ right) _ {av} {\ text {denota a média temporal de uma função}} \\ [3pt] & = \ left (I (t) ^ {2} \ right) _ {av} R && {\ text {(as} } R {\ text {não varia com o tempo, pode ser fatorado)}} \\ [3pt] & = I _ {\ text {RMS}} ^ {2} R && {\ text {por definição de raiz média -quadrado}} \ end {alinhado}}}

Assim, o valor RMS, I _RMS , da função I ( t ) é a corrente constante que produz a mesma dissipação de potência que a dissipação de potência média do tempo da corrente I ( t ).

A potência média também pode ser encontrada usando o mesmo método que, no caso de uma tensão variável no tempo , V ( t ), com valor _RMSV _RMS ,

{\ displaystyle P _ {\ text {Avg}} = {V _ {\ text {RMS}} ^ {2} \ over R}.}

Essa equação pode ser usada para qualquer forma de onda periódica , como uma forma de onda sinusoidal ou dente de serra , permitindo-nos calcular a potência média fornecida a uma carga especificada.

Ao tirar a raiz quadrada de ambas as equações e multiplicá-las, a potência é:

{\ displaystyle P _ {\ text {Avg}} = V _ {\ text {RMS}} I _ {\ text {RMS}}.}

Ambas as derivações dependem de a tensão e a corrente serem proporcionais (ou seja, a carga, R , é puramente resistiva). Reativas cargas (isto é, cargas capazes de não apenas dissipar a energia, mas também armazená-lo) são discutidos sob o tema da alimentação AC .

No caso comum de corrente alternada quando I ( t ) é uma corrente senoidal , como é aproximadamente verdadeiro para a energia da rede elétrica, o valor RMS é fácil de calcular a partir da equação do caso contínuo acima. Se I _p for definido como a corrente de pico, então:

{\ displaystyle I _ {\ text {RMS}} = {\ sqrt {{1 \ over {T_ {2} -T_ {1}}} \ int _ {T_ {1}} ^ {T_ {2}} \ left [I _ {\ text {p}} \ sin (\ omega t) \ right] ^ {2} dt}},}

onde t é o tempo e ω é a frequência angular ( ω = 2 $π$ / T , onde T é o período da onda).

Uma vez que I _p é uma constante positiva:

{\ displaystyle I _ {\ text {RMS}} = I _ {\ text {p}} {\ sqrt {{1 \ over {T_ {2} -T_ {1}}} {\ int _ {T_ {1}} ^ {T_ {2}} {\ sin ^ {2} (\ omega t)} \, dt}}}.}

Usando uma identidade trigonométrica para eliminar a quadratura da função trigonométrica:

{\ displaystyle {\ begin {alinhados} I _ {\ text {RMS}} & = I _ {\ text {p}} {\ sqrt {{1 \ over {T_ {2} -T_ {1}}} {\ int _ {T_ {1}} ^ {T_ {2}} {1- \ cos (2 \ omega t) \ over 2} \, dt}}} \\ [3pt] & = I _ {\ text {p}} {\ sqrt {{1 \ over {T_ {2} -T_ {1}}} \ left [{t \ over 2} - {\ sin (2 \ omega t) \ over 4 \ omega} \ right] _ { T_ {1}} ^ {T_ {2}}}} \ end {alinhado}}}

mas, uma vez que o intervalo é um número inteiro de ciclos completos (por definição de RMS), os termos senoidais serão cancelados, deixando:

{\ displaystyle I _ {\ text {RMS}} = I _ {\ text {p}} {\ sqrt {{1 \ over {T_ {2} -T_ {1}}} \ left [{t \ over 2} \ direita] _ {T_ {1}} ^ {T_ {2}}}} = I _ {\ text {p}} {\ sqrt {{1 \ over {T_ {2} -T_ {1}}} {{T_ {2} -T_ {1}} \ over 2}}} = {I _ {\ text {p}} \ over {\ sqrt {2}}}.}

Uma análise semelhante leva à equação análoga para a tensão senoidal:

{\ displaystyle V _ {\ text {RMS}} = {V _ {\ text {p}} \ over {\ sqrt {2}}},}

onde I _P representa a corrente de pico e V _P representa a tensão de pico.

Devido à sua utilidade na realização de cálculos de energia, as tensões listadas para tomadas (por exemplo, 120 V nos EUA ou 230 V na Europa) são quase sempre cotadas em valores RMS, e não em valores de pico. Os valores de pico podem ser calculados a partir dos valores RMS da fórmula acima, o que implica V _P = V _RMS × √ 2 , assumindo que a fonte seja uma onda senoidal pura. Assim, o valor de pico da tensão da rede elétrica nos EUA é de cerca de 120 × √ 2 , ou cerca de 170 volts. A tensão pico a pico, sendo o dobro disso, é de cerca de 340 volts. Um cálculo semelhante indica que a tensão de pico da rede elétrica na Europa é de cerca de 325 volts e a tensão de pico a pico de cerca de 650 volts.

Quantidades RMS, como corrente elétrica, são normalmente calculadas ao longo de um ciclo. No entanto, para alguns fins, a corrente RMS por um período mais longo é necessária ao calcular as perdas de potência de transmissão. O mesmo princípio se aplica, e (por exemplo) uma corrente de 10 amperes usada por 12 horas a cada dia de 24 horas representa uma corrente média de 5 amperes, mas uma corrente RMS de 7,07 amperes, no longo prazo.

O termo potência RMS às vezes é erroneamente usado na indústria de áudio como sinônimo de potência média ou potência média (é proporcional ao quadrado da tensão RMS ou corrente RMS em uma carga resistiva). Para uma discussão sobre medições de potência de áudio e suas deficiências, consulte Potência de áudio .

Velocidade

Na física das moléculas de gás , a velocidade quadrada média é definida como a raiz quadrada da velocidade quadrada média. A velocidade RMS de um gás ideal é calculada usando a seguinte equação:

{\ displaystyle v _ {\ text {RMS}} = {\ sqrt {3RT \ over M}}}

onde R representa a constante do gás , 8,314 J / (mol · K), T é a temperatura do gás em kelvins e M é a massa molar do gás em quilogramas por mol. Na física, a velocidade é definida como a magnitude escalar da velocidade. Para um gás estacionário, a velocidade média de suas moléculas pode ser da ordem de milhares de km / h, embora a velocidade média de suas moléculas seja zero.

Erro

Quando dois conjuntos de dados - um conjunto de predição teórica e outro de medição real de alguma variável física, por exemplo - são comparados, o RMS das diferenças entre pares dos dois conjuntos de dados pode servir como uma medida de quão longe, em média, o erro está de 0. A média dos valores absolutos das diferenças entre pares pode ser uma medida útil da variabilidade das diferenças. No entanto, o RMS das diferenças é geralmente a medida preferida, provavelmente devido à convenção matemática e compatibilidade com outras fórmulas.

No domínio da frequência

O RMS pode ser calculado no domínio da frequência, usando o teorema de Parseval . Para um sinal amostrado , onde é o período de amostragem, ${\ displaystyle x [n] = x (t = nT)}$ ${\ displaystyle T}$

{\ displaystyle \ sum _ {n = 1} ^ {N} {x ^ {2} [n]} = {\ frac {1} {N}} \ sum _ {m = 1} ^ {N} \ left | X [m] \ right | ^ {2},}

onde e N é o tamanho da amostra, ou seja, o número de observações na amostra e os coeficientes FFT. ${\ displaystyle X [m] = \ operatorname {FFT} \ {x [n] \}}$

Nesse caso, o RMS calculado no domínio do tempo é o mesmo que no domínio da frequência:

{\ displaystyle {\ text {RMS}} \ {x [n] \} = {\ sqrt {{\ frac {1} {N}} \ sum _ {n} {x ^ {2} [n]}} } = {\ sqrt {{\ frac {1} {N ^ {2}}} \ sum _ {m} {{\ bigl |} X [m] {\ bigr |}} ^ {2}}} = { \ sqrt {\ sum _ {m} {\ left | {\ frac {X [m]} {N}} \ right | ^ {2}}}}.}

Relação com outras estatísticas

Prova geométrica sem palavras que max ( a , b ) > raiz quadrada média ( RMS ) ou média quadrática ( QM ) > média aritmética ( AM ) > média geométrica ( GM ) > média harmônica ( HM ) > min ( a , b ) de dois números positivos a e b

Se for a média aritmética e o desvio padrão de uma população ou forma de onda , então: ${\ displaystyle {\ bar {x}}}$ ${\ displaystyle \ sigma _ {x}}$

{\ displaystyle x _ {\ text {rms}} ^ {2} = {\ overline {x}} ^ {2} + \ sigma _ {x} ^ {2} = {\ overline {x ^ {2}}} .}

A partir disso, fica claro que o valor RMS é sempre maior ou igual à média, em que o RMS inclui também o "erro" / desvio quadrado.

Os cientistas físicos frequentemente usam o termo root mean square como sinônimo de desvio padrão quando pode ser assumido que o sinal de entrada tem média zero, isto é, referindo-se à raiz quadrada do desvio médio quadrático de um sinal de uma determinada linha de base ou ajuste. Isso é útil para engenheiros elétricos no cálculo do RMS "somente CA" de um sinal. O desvio padrão sendo o RMS da variação de um sinal sobre a média, em vez de cerca de 0, o componente DC é removido (isto é, RMS (sinal) = stdev (sinal) se o sinal médio for 0).

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