Universalidade (sistemas dinâmicos) - Universality (dynamical systems)
Na mecânica estatística , universalidade é a observação de que existem propriedades para uma grande classe de sistemas que são independentes dos detalhes dinâmicos do sistema. Os sistemas exibem universalidade em um limite de escala, quando um grande número de partes interativas se reúnem. O significado moderno do termo foi introduzido por Leo Kadanoff na década de 1960, mas uma versão mais simples do conceito já estava implícita na equação de van der Waals e na teoria anterior de Landau de transições de fase, que não incorporava a escala corretamente.
O termo está lentamente ganhando um uso mais amplo em vários campos da matemática, incluindo combinatória e teoria da probabilidade , sempre que as características quantitativas de uma estrutura (como comportamento assintótico) podem ser deduzidas de alguns parâmetros globais que aparecem na definição, sem exigir conhecimento de os detalhes do sistema.
O grupo de renormalização fornece uma explicação intuitivamente atraente, embora matematicamente não rigorosa, da universalidade. Ele classifica os operadores em uma teoria de campo estatística em relevantes e irrelevantes. Operadores relevantes são aqueles responsáveis por perturbações à energia livre, o tempo imaginário Lagrangiano , que afetarão o limite do contínuo , e podem ser vistos a longas distâncias. Operadores irrelevantes são aqueles que apenas alteram os detalhes de curta distância. A coleção de teorias estatísticas invariantes de escala define as classes de universalidade , e a lista de dimensão finita de coeficientes de operadores relevantes parametriza o comportamento quase crítico.
Universalidade em mecânica estatística
A noção de universalidade originou-se no estudo das transições de fase na mecânica estatística. Uma transição de fase ocorre quando um material muda suas propriedades de forma dramática: a água, à medida que é aquecida, ferve e se transforma em vapor; ou um ímã, quando aquecido, perde seu magnetismo. As transições de fase são caracterizadas por um parâmetro de ordem , como a densidade ou a magnetização, que muda em função de um parâmetro do sistema, como a temperatura. O valor especial do parâmetro no qual o sistema muda sua fase é o ponto crítico do sistema . Para sistemas que exibem universalidade, quanto mais próximo o parâmetro estiver de seu valor crítico , menos sensível o parâmetro de ordem depende dos detalhes do sistema.
Se o parâmetro β é crítico no valor β c , então o parâmetro de ordem a será bem aproximado por
O expoente α é um expoente crítico do sistema. A descoberta notável feita na segunda metade do século XX foi que sistemas muito diferentes tinham os mesmos expoentes críticos.
Em 1975, Mitchell Feigenbaum descobriu a universalidade em mapas iterados.
Exemplos
A universalidade recebe esse nome porque é vista em uma grande variedade de sistemas físicos. Exemplos de universalidade incluem:
- Avalanches em pilhas de areia. A probabilidade de uma avalanche está na proporção da lei de potência com o tamanho da avalanche, e avalanches ocorrem em todas as escalas de tamanho. Isso é denominado " criticidade auto-organizada ".
- A formação e propagação de fissuras e rasgos em materiais que vão do aço à rocha e ao papel. As variações da direção do rasgo, ou a aspereza de uma superfície fraturada, estão em proporção da lei de potência com a escala de tamanho.
- A quebra elétrica de dielétricos , que se assemelham a rachaduras e rasgos.
- A percolação de fluidos através de meios desordenados, como petróleo através de leitos rochosos fraturados, ou água através de papel de filtro, como na cromatografia . O dimensionamento da lei de potência conecta a taxa de fluxo à distribuição de fraturas.
- A difusão de moléculas em solução e o fenômeno de agregação limitada por difusão .
- A distribuição de rochas de diferentes tamanhos em uma mistura de agregados que está sendo agitada (com a ação da gravidade sobre as rochas).
- O aparecimento de opalescência crítica em fluidos perto de uma transição de fase .
Visão geral teórica
Um dos desenvolvimentos importantes na ciência dos materiais nas décadas de 1970 e 1980 foi a compreensão de que a teoria de campo estatística, semelhante à teoria de campo quântica, poderia ser usada para fornecer uma teoria microscópica de universalidade. A observação central foi que, para todos os sistemas diferentes, o comportamento em uma transição de fase é descrito por um campo contínuo, e que a mesma teoria de campo estatística descreverá sistemas diferentes. Os expoentes de escala em todos esses sistemas podem ser derivados apenas da teoria de campo e são conhecidos como expoentes críticos .
A observação principal é que perto de uma transição de fase ou ponto crítico , os distúrbios ocorrem em todas as escalas de tamanho e, portanto, deve-se procurar uma teoria invariante de escala explicitamente para descrever os fenômenos, como parece ter sido colocado em uma estrutura teórica formal primeiro por Pokrovsky e Patashinsky em 1965. A universalidade é um subproduto do fato de que existem relativamente poucas teorias invariantes de escala. Para qualquer sistema físico específico, a descrição detalhada pode ter muitos parâmetros e aspectos dependentes de escala. No entanto, conforme a transição de fase é abordada, os parâmetros dependentes de escala desempenham cada vez menos um papel importante e as partes invariáveis de escala da descrição física dominam. Assim, um modelo simplificado e frequentemente solucionável com exatidão pode ser usado para aproximar o comportamento desses sistemas próximo ao ponto crítico.
A percolação pode ser modelada por uma rede de resistores elétricos aleatórios , com eletricidade fluindo de um lado da rede para o outro. A resistência geral da rede é descrita pela conectividade média dos resistores na rede.
A formação de rasgos e rachaduras pode ser modelada por uma rede aleatória de fusíveis elétricos . À medida que o fluxo de corrente elétrica pela rede aumenta, alguns fusíveis podem estourar, mas, no geral, a corrente é desviada em torno das áreas problemáticas e uniformemente distribuída. No entanto, em um certo ponto (na transição de fase) uma falha em cascata pode ocorrer, onde o excesso de corrente de um fusível estourado sobrecarrega o próximo fusível por sua vez, até que os dois lados da rede estejam completamente desconectados e não mais flua corrente.
Para realizar a análise de tais sistemas de rede aleatória, considera-se o espaço estocástico de todas as redes possíveis (ou seja, o conjunto canônico ) e realiza um somatório (integração) sobre todas as configurações de rede possíveis. Como na discussão anterior, cada configuração aleatória dada é entendida como tirada do conjunto de todas as configurações com alguma distribuição de probabilidade dada; o papel da temperatura na distribuição é normalmente substituído pela conectividade média da rede.
Os valores esperados dos operadores, como a taxa de fluxo, a capacidade de calor e assim por diante, são obtidos integrando todas as configurações possíveis. Este ato de integração sobre todas as configurações possíveis é o ponto de comunhão entre os sistemas da mecânica estatística e da teoria quântica de campos . Em particular, a linguagem do grupo de renormalização pode ser aplicada à discussão dos modelos de rede aleatórios. Nos anos 1990 e 2000, conexões mais fortes entre os modelos estatísticos e a teoria de campo conforme foram descobertas. O estudo da universalidade continua sendo uma área vital de pesquisa.
Aplicações para outros campos
Como outros conceitos da mecânica estatística (como entropia e equações mestras ), a universalidade provou ser uma construção útil para caracterizar sistemas distribuídos em um nível superior, como sistemas multiagentes . O termo tem sido aplicado a simulações multiagentes, onde o comportamento em nível de sistema exibido pelo sistema é independente do grau de complexidade dos agentes individuais, sendo conduzido quase inteiramente pela natureza das restrições que governam suas interações. Na dinâmica de rede, a universalidade se refere ao fato de que, apesar da diversidade de modelos dinâmicos não lineares, que diferem em muitos detalhes, o comportamento observado de muitos sistemas diferentes adere a um conjunto de leis universais. Essas leis são independentes dos detalhes específicos de cada sistema.