Trisectrix de Maclaurin - Trisectrix of Maclaurin

Trisectrix de Maclaurin como o locus da interseção de duas linhas rotativas

Em geometria , a trissetriz de Maclaurin é uma curva plana cúbica notável por sua propriedade trissetriz , o que significa que pode ser usada para trissecionar um ângulo. Ele pode ser definido como o local do ponto de intersecção de duas linhas, cada uma girando a uma taxa uniforme em torno de pontos separados, de modo que a razão das taxas de rotação seja 1: 3 e as linhas inicialmente coincidam com a linha entre os dois pontos . Uma generalização dessa construção é chamada de sectrix de Maclaurin . A curva recebeu o nome de Colin Maclaurin, que a investigou em 1742.

Equações

Deixe duas linhas girarem em torno dos pontos e de forma que quando a linha girando tiver ângulo com o eixo x , a linha girando tenha ângulo . Let Ser o ponto de intersecção, então o ângulo formado pelas linhas em is . Pela lei dos senos , ${\ displaystyle P = (0,0)}$${\ displaystyle P_ {1} = (a, 0)}$${\ displaystyle P}$${\ displaystyle \ theta}$${\ displaystyle P_ {1}}$${\ displaystyle 3 \ theta}$${\ displaystyle Q}$${\ displaystyle Q}$${\ displaystyle 2 \ theta}$

${\ displaystyle {r \ over \ sin 3 \ theta} = {a \ over \ sin 2 \ theta} \!}$

então a equação em coordenadas polares é (até a translação e rotação)

${\ displaystyle r = a {\ frac {\ sin 3 \ theta} {\ sin 2 \ theta}} = {a \ over 2} {\ frac {4 \ cos ^ {2} \ theta -1} {\ cos \ theta}} = {a \ over 2} (4 \ cos \ theta - \ sec \ theta) \!}$.

A curva é, portanto, um membro da família Conchoid de Sluze .

Em coordenadas cartesianas, a equação desta curva é

${\ displaystyle 2x (x ^ {2} + y ^ {2}) = a (3x ^ {2} -y ^ {2}) \!}$.

Se a origem for movida para ( a , 0), então uma derivação semelhante à dada acima mostra que a equação da curva em coordenadas polares torna-se

${\ displaystyle r = {\ frac {a} {2 \ cos {\ theta \ over 3}}} \!}$

tornando-se um exemplo de uma epispira .

A propriedade de trissecção

A Trisectrix de Maclaurin mostrando a propriedade de trissecção do ângulo

Dado um ângulo , desenhe um raio de cujo ângulo com o eixo -é . Desenhe um raio da origem até o ponto onde o primeiro raio intercepta a curva. Então, pela construção da curva, o ângulo entre o segundo raio e o eixo é${\ displaystyle \ phi}$${\ displaystyle (a, 0)}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle \ phi}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle \ phi / 3}$

Pontos e características notáveis

A curva tem uma interceptação x em e um ponto duplo na origem. A linha vertical é uma assíntota. A curva intersecta a linha x = a, ou o ponto correspondente à trissecção de um ângulo reto, em . Como cúbica nodal, é do gênero zero. ${\ displaystyle 3a \ over 2}$${\ displaystyle x = {- {a \ over 2}}}$${\ displaystyle (a, {\ pm {1 \ over {\ sqrt {3}}} a})}$

Relação com outras curvas

A trisectrix de Maclaurin pode ser definida a partir de seções cônicas de três maneiras. Especificamente:

• É o inverso em relação ao círculo unitário da hipérbole

${\ displaystyle 2x = a (3x ^ {2} -y ^ {2})}$.

• É cissoide do círculo

${\ displaystyle (x + a) ^ {2} + y ^ {2} = a ^ {2}}$

e a linha relativa à origem.${\ displaystyle x = {a \ over 2}}$

• É o pedal em relação à origem da parábola

${\ displaystyle y ^ {2} = 2a (x - {\ tfrac {3} {2}} a)}$.

Além do que, além do mais:

• O inverso em relação ao ponto é a trisectrix Limaçon .${\ displaystyle (a, 0)}$
• A trisectrix de Maclaurin está relacionada ao Folium de Descartes por transformação afim .

Referências

• J. Dennis Lawrence (1972). Um catálogo de curvas planas especiais . Publicações de Dover. pp.  36, 95, 104–106 . ISBN 0-486-60288-5.
• Weisstein, Eric W. "Maclaurin Trisectrix" . MathWorld .
• "Trisectrix de Maclaurin" no Índice de Curvas Famosas de MacTutor
• Maclaurin Trisectrix em mathcurve.com
• "Trisectrix de Maclaurin" no Visual Dictionary Of Special Plane Curves

links externos

• Loy, Jim "Trissection of an Angle", Parte VI