Fólio de Descartes - Folium of Descartes

O fólio de Descartes (verde) com assíntota (azul) quando

Na geometria , o fólio de Descartes é uma curva algébrica definida pela equação

.

O nome vem da palavra latina folium, que significa " folha ".

História

A curva foi proposta e estudada pela primeira vez por René Descartes em 1638. Sua reivindicação à fama reside em um incidente no desenvolvimento do cálculo . Descartes desafiou Pierre de Fermat a encontrar a linha tangente à curva em um ponto arbitrário, já que Fermat havia descoberto recentemente um método para encontrar linhas tangentes. Fermat resolveu o problema facilmente, algo que Descartes não foi capaz de fazer. Desde a invenção do cálculo, a inclinação da linha tangente pode ser encontrada facilmente usando a diferenciação implícita .

Representando graficamente a curva

Fólio de Descartes em coordenadas polares

O fólio de Descartes pode ser expresso em coordenadas polares como

que é plotado à esquerda. Isso é equivalente a

Outra técnica é escrever e resolver para e em termos de . Isso produz as equações paramétricas racionais :

.

Podemos ver que o parâmetro está relacionado à posição na curva da seguinte forma:

  • corresponde a , : a direita, coloque, "asa".
  • corresponde a , : à esquerda, de cima "asa".
  • corresponde a , : o circuito da curva.

Outra forma de plotar a função pode ser derivada da simetria . A simetria pode ser vista diretamente de sua equação (xey podem ser trocados). Ao aplicar a rotação de 45 ° CW, por exemplo, pode-se representar graficamente a função simétrica sobre o eixo x rotacionado.

Esta operação é equivalente a uma substituição:

e rendimentos

A plotagem no sistema cartesiano de dá o fólio girado em 45 ° e, portanto, simétrico por eixo.

Propriedades

Ele forma um loop no primeiro quadrante com um ponto duplo na origem e assíntota

.

É simétrico em relação à linha . Como tal, os dois se cruzam na origem e no ponto .

A diferenciação implícita dá a fórmula para que a inclinação da linha tangente a esta curva seja

Usando qualquer uma das representações polares acima, a área do interior do loop é considerada . Além disso, a área entre as "asas" da curva e sua assíntota inclinada também é .

Relação com a trisectrix de Maclaurin

Trisectrix de Maclaurin

O fólio de Descartes está relacionado à trissetriz de Maclaurin por transformação afim . Para ver isso, comece com a equação

,

e alterar variáveis ​​para encontrar a equação em um sistema de coordenadas girado 45 graus. Isso equivale a definir

No plano, a equação é

.

Se esticarmos a curva na direção por um fator, isso se torna

que é a equação da trisectrix de Maclaurin.

Notas

Referências

  • J. Dennis Lawrence: Um catálogo de curvas planas especiais , 1972, Dover Publications. ISBN  0-486-60288-5 , pp. 106–108
  • George F. Simmons : Calculus Gems: Brief Lives and Memorable Mathematics , Nova York 1992, McGraw-Hill, xiv, 355. ISBN  0-07-057566-5 ; nova edição de 2007, The Mathematical Association of America ( MAA )

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