Fólio de Descartes - Folium of Descartes
Na geometria , o fólio de Descartes é uma curva algébrica definida pela equação
- .
O nome vem da palavra latina folium, que significa " folha ".
História
A curva foi proposta e estudada pela primeira vez por René Descartes em 1638. Sua reivindicação à fama reside em um incidente no desenvolvimento do cálculo . Descartes desafiou Pierre de Fermat a encontrar a linha tangente à curva em um ponto arbitrário, já que Fermat havia descoberto recentemente um método para encontrar linhas tangentes. Fermat resolveu o problema facilmente, algo que Descartes não foi capaz de fazer. Desde a invenção do cálculo, a inclinação da linha tangente pode ser encontrada facilmente usando a diferenciação implícita .
Representando graficamente a curva
O fólio de Descartes pode ser expresso em coordenadas polares como
que é plotado à esquerda. Isso é equivalente a
Outra técnica é escrever e resolver para e em termos de . Isso produz as equações paramétricas racionais :
.
Podemos ver que o parâmetro está relacionado à posição na curva da seguinte forma:
- corresponde a , : a direita, coloque, "asa".
- corresponde a , : à esquerda, de cima "asa".
- corresponde a , : o circuito da curva.
Outra forma de plotar a função pode ser derivada da simetria . A simetria pode ser vista diretamente de sua equação (xey podem ser trocados). Ao aplicar a rotação de 45 ° CW, por exemplo, pode-se representar graficamente a função simétrica sobre o eixo x rotacionado.
Esta operação é equivalente a uma substituição:
e rendimentos
A plotagem no sistema cartesiano de dá o fólio girado em 45 ° e, portanto, simétrico por eixo.
Propriedades
Ele forma um loop no primeiro quadrante com um ponto duplo na origem e assíntota
- .
É simétrico em relação à linha . Como tal, os dois se cruzam na origem e no ponto .
A diferenciação implícita dá a fórmula para que a inclinação da linha tangente a esta curva seja
Usando qualquer uma das representações polares acima, a área do interior do loop é considerada . Além disso, a área entre as "asas" da curva e sua assíntota inclinada também é .
Relação com a trisectrix de Maclaurin
O fólio de Descartes está relacionado à trissetriz de Maclaurin por transformação afim . Para ver isso, comece com a equação
- ,
e alterar variáveis para encontrar a equação em um sistema de coordenadas girado 45 graus. Isso equivale a definir
No plano, a equação é
- .
Se esticarmos a curva na direção por um fator, isso se torna
que é a equação da trisectrix de Maclaurin.
Notas
Referências
- J. Dennis Lawrence: Um catálogo de curvas planas especiais , 1972, Dover Publications. ISBN 0-486-60288-5 , pp. 106–108
- George F. Simmons : Calculus Gems: Brief Lives and Memorable Mathematics , Nova York 1992, McGraw-Hill, xiv, 355. ISBN 0-07-057566-5 ; nova edição de 2007, The Mathematical Association of America ( MAA )